用函数模型解决实际问题

4.2.2用 函 数 模 型 解 决 实际 问 题 IBM某 子 公 司 一 年 需 要 一 种 计 算机 元 件 8000个 ， 每 天 需 同 样 多 的 元 件 用 于组 装 整 机 ， 该 元 件 每 年 分 n次 进 货 ， 每 次采 购 元 件 的 数 量 均 为 x个 ， 购 一 次 货 需 要手 续 费 500元 ， 已 购 进 而 未 使 用 的 元 件 要付 库 存 费 ， 可 以 认 为 平 均 库 存 量 为 x/2件 ，每 个 元 件 的 库 存 费 是 一 年 2元 ， 那 么 每 年进 货 总 开 销 怎 么 表 示 ？问 题 1、 8000 x ,n,=500n手 续 费 库 存 费 12 2x x 总 开 销 =手 续 费 +库 存 费 +其 他 (C)=500n+x+Cx2 o 时 间x 库 存 量x 如 果 你 是 项 目 经 理 ， 你 打 算 每 年 进 货 几 次 才能 花 费 最 小 ？ 8000500F n Cn 当 且 仅 当 ， 即 n=4时 ， 总 费 用 最 小 .4n n 解 ： 设 总 花 费 为 F， 则 总 花 费 与 进 货 次数 的 关 系 是 F=500n+x+C且 则8000 x .n16500 n Cn 24500 4000n Cn 4000 C 问 题 2、 电 声 器 材 厂 在 生 产 扬 声 器 的 过 程 中 ， 有一 道 重 要 的 工 序 ： 使 用 胶 水 粘 合 扬 声 器 中 的 磁 钢和 夹 板 .长 期 以 来 ， 由 于 对 胶 水 的 用 量 没 有 一 个 确定 的 标 准 ， 经 常 出 现 用 胶 过 多 ， 胶 水 外 溢 ； 或 用胶 过 少 ， 产 生 脱 胶 ， 影 响 了 产 品 质 量 ， 经 过 实 验 ，已 有 一 些 恰 当 用 胶 量 的 具 体 数 据 .序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10磁 钢 面 积 /mc 2 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4用 胶 量 /g 0.164 0.396 0.404 0.664 0.812 0.972 1.688 2.86 4.076 7.332现 在 需 要 你 提 出 一 个 既 科 学 又 简 便 的 方 法 来 确 定磁 钢 面 积 与 胶 量 的 关 系 . 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 取 磁 钢 面 积 为 横 坐 标 、 用 胶 量 为 纵 坐 标 ， 得 出 以 下 散 点 图 象 5 100 150 200 250 30 350 40 45 1211098 76543 21 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10磁 钢 面 积 /mc2 11.0 19.4 26.2 46.6 56.6 67.2 125.2 189.0 247.1 443.4用 胶 量 /g 0.164 0.396 0.404 0.664 0.812 0.972 1.688 2.86 4.076 7.332可 以 发 现 图 上 的 点 基 本 上 分 布 在 一 条 直 线 附 近 ， 画 出这 条 直 线 ， 使 图 上 的 点 比 较 均 匀 的 分 布 在 直 线 两 侧 . 解 ： 根 据 以 上 所 述 ， 可 以 用 函 数 y=ax+b表 示用 胶 量 与 磁 钢 面 积 的 关 系 . 取 近 似 两 点 (5.66， 0.812)和 (189， 2.86)代入 y=ax+b中 可 得 ： 解 得 a=0.01547， b=-0.06350 812 5 662 86 189. . a b,. a b. 这 条 直 线 是 y=0.01547x-0.0635 问 题 3、 以 下 是 某 地 不 同 身 高 的 未 成 年 男 性的 体 重 平 均 值 表身 高 /cm 60 70 80 90 100 110 体 重 /kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身 高 /cm 120 130 140 150 160 170体 重 /kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05（ 1） 根 据 上 表 中 各 组 对 应 的 数 据 ， 能 否 从 我 们学 过 的 函 数 中 找 到 一 种 函 数 ,使 它 比 较 近 似 地 反映 该 地 未 成 年 男 性 体 重 y关 于 身 高 x的 函 数 关 系 ，试 写 出 这 个 函 数 的 解 析 式 ,并 求 出 a,b的 值 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 分 析 ： 以 身 高 为 横 坐 标 ， 体 重 为 纵 坐 标 ，画 出 散 点 图 些 点 的 分 布 .发 现 各 点 的 连 线 大 体 是 向 弯 曲 的 . 根 据 这 些 点 的 走 向 趋 势 ， 我 们 可 以考 虑 用 哪 些 函 数 表 示 该 图 象 呢 ？身 高 /cm 60 70 80 90 100 110 体 重 /kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身 高 /cm 120 130 140 150 160 170体 重 /kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 解 ： 根 据 上 表 这 些 点 的 分 布 特 征 ， 可 考 虑 以 二 次 函数 或 指 数 函 数 模 型 (y=abx)作 为 刻 画 这 个 地 区 未 成 年男 性 的 体 重 与 身 高 关 系 的 函 数 模 型 . 若 选 二 次 函 数 ， 设 为 y=ax2+bx+c， 取 其 中 的 三组 数 据 (60， 6.13),(80， 99.9),(100， 15.02)， 代 入y=ax2+bx+c， 可 得 y=0.00146x2-0.01175x+1.579 将 已 知 数 据 代 入 上 述 函 数 解 析 式 ， 或 作 出 上 述函 数 的 图 象 : 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 检 验 ： 可 以 发 现 ， 这 个 二 次 函 数 模 型 与已 知 数 据 的 拟 合 程 度 很 不 好 . 于 是 考 虑 指 数 函 数 模 型 ， 设 为 xy a b . 将 （ 70， 7.90） 和 （ 160， 47.25） 两 组 数 据代 入 可 得 xy a b 用 计 算 器 算 得 a2， b1.02 这 样 我 们 得 到 一 个 函 数 模 型 ： 2 1 02xy . . 701607 9047 25. a b. a b 将 已 知 数 据 代 入 上 述 函 数 解 析 式 ， 或 作 出 上 述 函数 的 图 像 . 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 20 40 60 80 100 120 140 160 180 检 验 ： 结 果 发 现 ， 这 个 指 数 函 数 模 型 与 已 知数 据 的 拟 合 程 度 较 好 ， 这 说 明 它 能 较 好 地 反映 这 个 地 区 未 成 年 男 性 的 体 重 与 身 高 关 系 .2 1 02xy . （ 2） 若 体 重 超 过 相 同 身 高 男 性 平 均 值 的 1.2倍为 偏 胖 ， 低 于 0.8倍 为 偏 瘦 ， 那 么 该 地 某 校 一 男生 身 高 175 cm 体 重 78 kg， 他 的 体 重 是 否 正 常 ？解 ： 将 x=175代 入 xy 02.12 得 1752 1 02 63 98y . . 由 于 2.122.198.6378 所 以 ， 这 个 男 生 体 重 偏 胖 用 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题 的 启 示 :实 际问 题 读 懂问 题 将 问 题简 单 化 数 学建 模 解 决问 题基 础 过 程 关 键 目 的 小 结解 决 实 际 问 题 的 步 聚 :实 际 问 题读懂问题 抽象慨括数 学 建 模 推理演算数 学 模 型 的 解 还原说明 实 际 问 题 的 解读 出 新 概 念 丶 新 字 母 丶读 出 相 关 制 约 .在 抽 象 、 简 化 、 明 确 变 量和 参 数 的 基 础 上 建 立 一 个明 确 的 数 学 关 系基 础关 键 作 业 ： P130A组 ： 1、 2.