用二重积分计算旋转体的体积

作为定积分的几何应用，旋转体的体积一般是用定积分来计算。 本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式。 将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式、 最后，举例加以说明。 先看特殊的情形旋转轴为坐标轴 设D是上半平面内的一个有界闭区域。 将D绕x轴旋转一周得一旋转体，求该旋转体的体积Vx。 我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式。D d( , )x y D在区域D的(x,y)处取一个面积元素d它到x轴的距离是 y （如图）。该面积元素绕x轴旋转而成的旋转体的体积约为：2xV yd d（体积元素）于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：2x D DdV dyV y d( , )x y D命题1：上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为：2x D ydV y d( , )x y D命题2：右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为：2y D xdV 同理x 下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式 x型区域绕 x轴旋转 ( , )| ,0 ( )D x y a x b y f x xy=f(x) bDa 如果( ) 202 2 ( )b f x bx a aDV dx ydy fd dxy x 圆片法则D绕 x轴旋转的旋转体体积为： 2( )bx aV f x dx ( , )| ,0 ( ) ( )D x y a x b g x y f x y=f(x) bDa y=g(x) 如果则D绕 x轴旋转的旋转体体积为( )( ) 2 22 2 ( ) ( )b f xx a g xDbaV dx ydyf x g x dxdy 垫圈法2 2 ( ) ( )bx aV f x g x dx x y型区域绕 y轴旋转 ( , )| ,0 ( )D x y c y d x f y x=f(y)d Dc 如果则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：( )0 22 2( ) d f yy cDdcV dy xdxf d dyx y 圆片法2( )dy cV f y dy y y x=f(y)d Dc x=g(y)( , )| ,0 ( ) ( )D x y c y d g y x f y 如果则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：( )( )2 22 2 ( ) ( )d f yy c g yDdcV dy xdxf y g y dydx 垫圈法2 2 ( ) ( )dy cV f y g y dy x型区域绕 y轴旋转！注意：一般教材没有介绍这个公式。 ( , )|0 , ( ) ( )D x y a x b g x y f x xy=f(x) bDa y=g(x)如果则D绕 y轴旋转的旋转体体积为：( ) ( )222 ( ) ( )y Db f xa g xbaV dx dyf x g x dxxdx x 柱壳法y2 ( ) ( )by aV f x g x xx d 下面看一个极坐标的情形 ( , )|0 ,0 ( )D r r r D如果D是曲边扇形：( )0 32 2 sin2 ( )sin3 rx DV d r rdrryd d 则D绕极轴(x轴)旋转的旋转体体积为：( )r r 32 ( )sin3xV r d 我们用命题1来推导一个有关区域D的形心(质心)和旋转体体积之间的关系的定理：古尔丁定理Paul G uldin（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity. ( , )x yD上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积。12x D ydV 证由命题y古尔丁定理2 D dy 12 DA A dy 2A y 形心A ( , )x yD y形心A如果你很容易求得D的面积和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积。 下面来看一般的情形一般的区域x1:=0:x2:=2:y1:=x-x2:y2:=x-2*x:int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);(2*Pi/sqrt(5)*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=(2*Pi/sqrt(5)*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);25 5 d02 dx22x 2x y y x 16 575 D 22y x 2y x with(plots):quxian:=plot(x2,2*x,x=-1.3,y=-1.5,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained); 例2 求由x=y2和y=x2所围区域D绕直线 y=x-1旋转的旋转体体积V。 21022 ( 1)2 123D xxV dx dy x yx y d 解 f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2); D 12y x2x y with(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y =x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d01 dx2x y x 1 y x 2 3 例3 求由y=0,y=lnx和x=e所围区域D绕直线 y=-x旋转的旋转体体积V。ln 1 0222 ( )32 ( )4 2 42D e xV dx x y dydex ye 解 f:=(x,y)-y-x+1;x1:=0:x2:=1:y1:=x-x2:y2:=x-sqrt(x):int(f(x,y),y=y1.y2);int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2);sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),y=y1(x).y2(x),x=x1.x2); D1 lny x with(plots):quxian:=implicitplot(y=x2,x=y2,y=x-1,x=-1.3,y=-1.2,thickness=4):display(quxian,tickmarks=0,0,scaling=constrained);2 d1e d0 ( )ln x y x y x 2 34 12e 14e2 ey x 也可以按先x后y的积分次序计算二重积分：1 0222 ( )322 ( )4 2 4yD eeV dy x y dex ye dy f:=(x,y)-x+y; y1:=0:y2:=1:x1:=y-exp(y):x2:=y-exp(1):sqrt(2)*Pi*Int(Int(f(x,y),x=x1(y).x2(y),y=y1.y2)=sqrt(2)*Pi*int(int(f(x,y),x=x1(y).x2(y),y=y1.y2);2 d01 deye y x x y 2 34 12e 14e2 D1 yx e ey x1 以上几个例子说明用二重积分计算旋转体的体积是很方便的尤其是旋转轴不平行于坐标轴时这种方法特别显示其优越性。