函数的凸凹性与函数作图

4-6 函数的凸凹性与函数作图1. 函数的凸凹性 函数的凸(向上凸)凹(向下凸)性定义设 在 上可导, y f x ,a b 0 ,x a b若对于每一点 ,都有 0 0 0 0, , ;f x f x f x x x x a b x x 则称 在 是凸的; f x ,a b 0 0 0 0, , ;f x f x f x x x x a b x x 则称 在 是凹的. f x ,a b (曲线弧总是在它的切线的下方)(曲线弧总是在它的切线的上方)几何意义：)()( 000 xxxfxfy 的切线方程，的过点（是曲线)(,)( 00 xfxxfy 上在),()( baxf,向上凸曲线弧总是在它的切线的下方，,向下凸上在),()( baxf曲线弧总是在它的切线的上方. 定 理 1 (曲 线 凹 凸 性 的 判 定 法 ) 设f(x)在(a b)内具有二阶导数 对于每一点 若在(a b)内f (x)0 则f(x)在(a b)上的图形是凹的 ,x a b证),(),0 baxbax 一点为任意一点，对于任意（设, 0 xx勒公式有由带拉格朗日余项的泰,)(!21)()()( 20000 xxfxxxfxfxf 之间的一点，与是介于其中xx0若在(a b)内f (x)0则),)()()( 000 xxxfxfxf .)(是凹的即xfy 证毕. 例1 ).0(23 adcxbxaxy设研究函数的凹凸区间.解,23 2 cbxaxy baxy 26 ，令0y，即026 bax ,3abx ),3(6 abxa 于是当解得;03 yabx时，.03 yabx时，而当根据定理1，上向上凸，这个函数在)3,( ab .)3上向下凸，在（ ab 拐点连续曲线yf(x)上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 .3就是一个拐点上例中点abx 定理是的拐点，设在 内有连续的二阶导数, 若点 y f x ,a b y f x ,c a b则 0.f c 证用反证法 .的连续性，由不妨设设)(.0)(,0)( xfcfcf 使（的一个邻域必存在),U cc ).(,0)( cUxxf ,)(U)(1内都是向下凸的在整个，由定理cxf ,的右侧附近侧附近还是在c的左是在不论cx .证毕是拐点矛盾这与c .分条件的必要条件，但不是充二阶导数为零仅是拐点 补例 判断曲线4xy 的凹凸性.解,4 3xy 212xy 时，当0 x ;0y ,0时x ,0y故曲线4xy 在),( 上是向上凹的.说明:1) 若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:若曲线)(xfy ,0连续在点x 0)( 0 xf或不存在,但)(xf 在 两侧异号,0 x则点)(,( 00 xfx是曲线)(xfy 的一个拐点.则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号, xyo 拐点拐点在拐点处不存在. 0 0,x f x 0 0f x 或如果在的左右两侧异号, 则是拐点. 0 x f x 0 0,x f x 补例 求曲线3 xy 的拐点. 解,3231 xy 3592 xyxyy 0)0,( ),0( 不存在0 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线3 xy 的拐点 . o xy凹凸 xxy 2436 2 )(36 32 xx补例 求曲线143 34 xxy的凹凸区间及拐点.解1) 求y ,1212 23 xxy 2) 求拐点可疑点坐标令0y得,0 3221 xx对应3) 列表判别271121 ,1 yy)0,( ),0( 32 ),(32 yxy 0 32 0 01 2711 故该曲线在)0,( ),(32 及上向上凹,向上凸 ,点 ( 0 , 1 ) 及),( 271132均为拐点.上在),0( 32凹凹凸 32)1,0( ),( 271132 0,)(x xxf(x) 00 f数，如果的某邻域内具有三阶导在设是是否为极值点？又试问：)(,(x x 0)(,0)(xf 00000 xfxxf 为什么？是否拐点? 0)(xf 0 设证0)()(lim)( 0 00 0 xx xfxfxf xx时，的某邻域内，且在当00 xxxxx 0)()( 0 0 xx xfxf;0)(),x(x 0 x-x;0)(),x(x 0 x-x ,0)( 0 0000 xf xfxx xf当当取得极大值：在所以，0)( xxxf :,0)( 0又根据极大值定义 xf ,0)()( 000 xfxfxxxx时有，的某邻域内且在点则当 思考题： 不取得极值在故时，或即当 xxf(x), 0)( 000 xfxxxx故时，当时，式，当又由 ,0)( ,0)()( 00 xfxxxfxxA为拐点)(,( 00 xfx且阶导数的某邻域内有直到在点推广：设,1)( 0 nxxf 0)(f ,0)()()( 01)(n0)(00 xxfxfxf n在为偶数时，处没有极值；当在为奇数时，当)(1)(1 0 xfnxxfn .为极大值)(0)()(0)( 00)1(00)1(0 xfxfxfxfx nn时，为极小值，时，处有极值： 2. 函数作图1. 确定函数)(xfy 的定义域 ,期性 ;2. 求,)(,)( xfxf 并求出)(xf及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;4. 求渐近线 以及其他变化趋势；为 0 和不存在的点 ,并考察其对称性及周步骤 :用这些点把函数的定义域化分成几个部分区间; 5. 算出 的零点以及不存在的点所对应的 函数值定出图形上相应的点；确定某些特殊点 , 描绘函 数图形 . )()( xfxf 和 2xy 无渐近线 .点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 曲线的渐近线定义 . 若曲线 C上的点M 沿着曲线无限地远离原点时,则称直线 L 为曲线C 的渐近线 .例如, 双曲线12222 byax有渐近线0byax但抛物线或为“纵坐标差”NL bxay M xyoC )(xfy P xyo)( baxxf 1. 水平与铅直渐近线若,)(lim bxfx 则曲线)(xfy 有水平渐近线.by )( x或若,)(lim0 xfcx则曲线)(xfy 有垂直渐近线.cx)0( cx或例 求曲线211 xy的渐近线 .解2)211(lim xx 2 y为水平渐近线;,)211(lim1 xx 1 x为垂直渐近线.2 1 lim , lim .x xf xa b f x axx 设函数 在 上有定义,则直线 是 当 时之渐近线 y f x ,c y ax b x y f x定理32. 斜渐近线若当 或( 或 )时 或，此时为垂直渐近线 0, lim .xa b f x 此时 为水平渐近线；y b若x c 0 x c 0 x c f x f x x c 有则曲线)(xfy斜渐近线.bxay 若,0)(lim xfx )( bxa 0)(lim xbaxxfxx 0)(lim xfx )( bxa 0)(lim xbaxxfx )(lim xbxxfa x xxfa x )(lim )(lim axxfb x 证 例2 求曲线322 3 xx xy的渐近线 .解,)1)(3( 3 xx xy ,lim3 yx )1( x或所以有铅直渐近线3x及1x又因xxfa x )(lim 32lim 2 2 xx xx 1)(lim xxfb x 32 32lim 2 2 xx xxx 22 xy为曲线的斜渐近线 . 3 1 2 xy )1(4 )3( 2 xxy例3描绘的图形.解 1)定义域为),1(,)1,( 2) 求关键点y ,)1(4 )1)(3( 2 x xx y 3)1( 2 x得令0y ;3,1x1 1 3)1,( )1,1( )3,1( ),3( xyyy 2 03) 判别曲线形态0 0 (极大) (极小)无定义 4) 求渐近线,lim1 yx为铅直渐近线1x又因xxfx )(lim ,41 41a即)41)(lim xxfb x 41)1(4 )3(lim 2 xxxx )1(4 95lim xxx 45为斜渐近线4541 xy )1(4 )3( 2 xxy5) 求特殊点xy 049 241 6）绘图斜渐近线1x铅直渐近线4541 xy特殊点(极大) (极小)2无定义xy 1 1 3)1,( )1,1( )3,1( ),3( 0 xy 049 241 11 30 2 )1(4 )3( 2 xxy 补例 描绘22331 xxy的图形.解 1) 定义域为,),( 无对称性及周期性.2) ,22 xxy ,22 xy,0y令2,0 x得,0y令1x得3) xyyy 0 1 2)0,( )1,0( )2,1( ),2( 0 0 2 34(极大) (拐点）32(极小)4) xy 1 332 2 0 5）变化趋势；时当 yx , ., yx时当1 2 31 M1 M2N1 N2 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系：* 4-7 曲线的曲率 一条曲线的弯曲程度可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达. CM0 M M Ds)s xyO D 0 x x D 0 x 设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧长为D s切线的转角为 D设在 上连续，且在 内有二阶导数曲线弧 上任一点处的切线与轴的夹角 y f x ,a b ,ab f x ,x f x x arctan .x f x 定义: 曲线的曲率K d /ds 2 ,1 f xddx f x 21ds f x dx 所以曲线弧 上处的曲率为 f x 0 0,x f xdd dxK dsds dx 0 3201 f xf x 时，称为曲线在该点处的曲率半径0K 1K 曲线在M点的曲率中心 y=f(x) xyO D r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆|DM| K1 r M 0 0,x y习题 4-5 1.2.4.5.7. 第四章总练习题 6. 7.15.18.19.23.24.(1),(3).