高考数学第一轮复习用书 第56课 立体几何中的翻折问题 文

第56课 立体几何中的翻折问题 1.（2012东城一模）如图，在边长为的正三角形中，分别为，上的点，且满足.将沿折起到的位置，使平面平面，连结，.（如图）（1）若为中点，求证：平面；（2）求证：. 证明：（1）取中点，连结在中，分别为的中点， ，且 ， ,且， ，且 四边形为平行四边形， 又平面，且平面， 平面 （2） 取中点，连结.，而，即是正三角形. 又, . 在图2中有. 平面平面，平面平面，平面. 又平面，. 2（2012海淀一模）已知菱形中， （如图1所示），将菱形沿对角线翻折，使点翻折到点的位置（如图2所示），点，分别是，的中点（1）证明： /平面；（2）证明：；（3）当时，求线段的长证明：（1）点分别是的中点， 又平面，平面， 平面 （2）在菱形中，设为的交点， 则 在三棱锥中，.又 平面 又平面，（3）连结在菱形中， 是等边三角形， 为中点， 又 ， 平面，即平面 又 平面， ， 3（2012汕头二模）如图，在边长为4的菱形中，点、分别在边、上点与点、不重合，沿将翻折到的位置，使平面平面（1）求证：平面；（2）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长【解析】（1）证明：在菱形中， ， 平面平面，平面平面，且平面，平面， 平面，平面（2）设由（1）知，平面， 为三棱锥及四棱锥的高， ， ， ， ， 4（2012西城一模）如图，矩形中，分别在线段和上，将矩形沿折起记折起后的矩形为，且平面平面（1）求证：平面；（2）若，求证：； （3）求四面体体积的最大值【解析】（1）证明：四边形，都是矩形， ， 四边形是平行四边形， ， 平面， 平面（2）证明：设平面平面，且， 平面， 又 ， 四边形为正方形， 平面， （3）设，则，其中由（1）得平面，四面体的体积为 当且仅当，即时，取等号，时，四面体的体积最大