高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数1 第3讲 函数的奇偶性与周期性习题 理 新人教A版-新人教A版高三数学试题

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第二章 函数概念与基本初等函数1 第3讲 函数的奇偶性与周期性习题 理 新人教A版基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1.(2015肇庆二检)下列函数为偶函数的是()A.ysin x B.yln(x)C.yex D.yln解析A选项定义域为R,f(x)sin(x)sin xf(x),f(x)为奇函数;B选项定义域为R,f(x)ln(x)ln(x)f(x),函数不是偶函数;C选项定义域为R,f(x)exf(x),函数不是偶函数;D选项定义域为R,f(x)lnlnf(x),函数为偶函数.故选D.答案D2.(2016莱芜模拟)设函数f(x)为偶函数,当x(0,)时,f(x)log2x,则f()()A. B. C.2 D.2解析由已知得f()f()log2.故选B.答案B3.(2014福建卷)已知函数f(x)则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为1,)解析函数f(x)的图象如图所示,由图象知只有D正确.答案D4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且在0,)上单调递增,若f(lg x)0,则x的取值范围是()A.(0,1) B.(1,10)C.(1,) D.(10,)解析依题意,函数f(x)在R上是增函数,且f(0)0,不等式f(lg x)0f(0)等价于lg x0,故0x1,故选A.答案A5.(2015沈阳质量监测)已知函数f(x),若f(a),则f(a)()A. B. C. D.解析先将表达式化简为f(x)1,由此可得f(x)1,有f(x)f(x)2,即有f(a)f(a)2,f(a),故选C.答案C二、填空题6.函数f(x)在R上为奇函数,且x0时,f(x)1,则当x0时,f(x)_.解析令x0,则x0,f(x)f(x)(1),即x0时,f(x)(1)1.答案17.若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)1,f(2)2,则f(3)f(4)_.解析由f(x)是R上周期为5的奇函数知f(3)f(2)f(2)2,f(4)f(1)f(1)1,f(3)f(4)1.答案18.(2016辽宁五校联考)已知f(x)是定义在R上的偶函数,在区间0,)上为增函数,且f0,则不等式f(x)0的解集为_.解析由已知f(x)在R上为偶函数,且f0,f(x)0等价于f(|x|)f,又f(x)在0,)上为增函数,|x|,即x或x.答案二、解答题9.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2,且当x(0,1)时,f(x).(1)求f(1)和f(1)的值;(2)求f(x)在1,1上的解析式.解(1)f(x)是周期为2的奇函数,f(1)f(12)f(1)f(1),f(1)0,f(1)0.(2)由题意知,f(0)0.当x(1,0)时,x(0,1).由f(x)是奇函数,f(x)f(x),综上,在1,1上,f(x)10.已知函数f(x)是奇函数.(1)求实数m的值;(2)若函数f(x)在区间1,a2上单调递增,求实数a的取值范围.解(1)设x0,所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数,所以f(x)f(x),于是x0时,f(x)x22xx2mx,所以m2.(2)由(1)知f(x)在1,1上是增函数,要使f(x)在1,a2上单调递增.结合f(x)的图象知所以1a3,故实数a的取值范围是(1,3.能力提升题组(建议用时:20分钟)11.(2016昆明统考)下列函数中,在其定义域内既是偶函数又在(,0)上单调递增的函数是()A.f(x)x2 B.f(x)2|x|C.f(x)log2 D.f(x)sin x解析函数f(x)x2是偶函数,但在区间(,0)上单调递减,不合题意;函数f(x)2|x|是偶函数,但在区间(,0)上单调递减,不合题意;函数f(x)log2是偶函数,且在区间(,0)上单调递增,符合题意;函数f(x)sin x是奇函数,不合题意.故选C.答案C12. (2016乳山一中模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x),且在0,1)上单调递增,记af,bf(2),cf(3),则a,b,c的大小关系为()A.abc B.bac C.bca D.acb解析依题意得,f(x2)f(x1)f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,f(2)f(0)0,又f(3)f(2)0,且f(x)在0,1)上是增函数,于是有ff(0)f(2)f(3),即abc.答案A13.(2016杭州七校联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2),且对任意的x都有f(x3),则f(8)_;f(2 015)_.解析由f(x3),得f(x6)f(x),故函数f(x)是周期为6的周期函数.故f(8)f(2),f(2 015)f(63355)f(5)5.答案514.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x有ff成立.(1)证明yf(x)是周期函数,并指出其周期;(2)若f(1)2,求f(2)f(3)的值;(3)若g(x)x2ax3,且y|f(x)|g(x)是偶函数,求实数a的值.解(1)由ff,且f(x)f(x),知f(3x)fff(x)f(x),所以yf(x)是周期函数,且T3是其一个周期.(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)0,且f(1)f(1)2,又T3是yf(x)的一个周期,所以f(2)f(3)f(1)f(0)202.(3)因为y|f(x)|g(x)是偶函数,且|f(x)|f(x)|f(x)|,所以|f(x)|为偶函数.故g(x)x2ax3为偶函数,即g(x)g(x)恒成立,于是(x)2a(x)3x2ax3恒成立.于是2ax0恒成立,所以a0.
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