算法设计与分析.ppt

算法设计与分析山东师范大学信息科学与工程学院软件工程研究所徐连诚 E-Mail：2006年9月18日 2 第2章 递归与分治策略本章主要知识点： 2.1 递归的概念 2.2 分治法的基本思想 2.3 二分搜索技术 2.4 大整数的乘法 2.5 Strassen矩阵乘法 2.6 棋盘覆盖 2.7 合并排序 2.8 快速排序 2.9 线性时间选择 2.10 最接近点对问题 2.11 循环赛日程表计划授课时间：68课时 3 2.1 递归的概念直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。在计算机算法设计与分析中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。 下面来看几个实例。 4 2.1 递归的概念例1 阶乘函数可递归地定义为：其中： n=0时，n!=1为边界条件 n0时，n!=n(n-1)!为递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。 0)!1( 01! nnn nn 5 2.1 递归的概念例2 Fibonacci数列无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，被称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：第n个Fibonacci数可递归地计算如下：public static int fibonacci(int n) if (n 1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，(rn)perm(Rn)构成。 9 2.1 递归的概念例5 整数划分问题将正整数n表示成一系列正整数之和：n=n1+n2+nk，其中n1n2nk1，k1。正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分个数。 例如正整数6有如下11种不同的划分： 6； 5+1； 4+2，4+1+1； 3+3，3+2+1，3+1+1+1； 2+2+2，2+2+1+1，2+1+1+1+1； 1+1+1+1+1+1。 10 2.1 递归的概念前面的几个例子中，问题本身都具有比较明显的递归关系，因而容易用递归函数直接求解。在本例中，如果设p(n)为正整数n的划分数，则难以找到递归关系，因此考虑增加一个自变量：将最大加数n1不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系： 1) q(n,1)=1，n1；当最大数n1不大于1时，任何正整数n只有一种划分形式：n=1+1+.+1(共n个)。2) Q(n,m)=q(n,n)，mn；最大加数n1实际上不能大于n。因此，q(1,m)=1。3) q(n,n)=1+q(n,n-1)；正整数n的划分由n1=n的划分和n1n-1的划分组成。4) q(n,m)=q(n,m-1)+q(n-m,m),nm1；正整数n的最大加数n1不大于m的划分由n1=m的划分和n1m-1 的划分组成。 11 2.1 递归的概念 正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。 1,1, 1,1 , 1,11, mnmmnqmnq mnnnq mnnnq mnmnq 12 2.1 递归的概念例6 Hanoi塔问题设a,b,c是3个塔座。开始时，在塔座a上有一叠共n个圆盘，这些圆盘自下而上，由大到小地叠在一起。各圆盘从小到大编号为1,2,n,现要求将塔座a上的这一叠圆盘移到塔座b上，并仍按同样顺序叠置。在移动圆盘时应遵守以下移动规则：1)每次只能移动1个圆盘；2)任何时刻都不允许将较大的圆盘压在较小的圆盘之上；3)在满足移动规则1和2的前提下，可将圆盘移至a,b,c中任一塔座上。 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c)if (n 0)hanoi(n-1, a, c, b);move(a,b);hanoi(n-1, c, b, a); 思考：如果塔的个数变为a,b,c,d四个，现要将n个圆盘从a全部移动到d，移动规则不变，求移动步数最小的方案。 13 2.1 递归的概念递归小结优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。缺点：递归算法的运行效率较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转化为非递归算法。1.采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归，只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。2.用递推来实现递归函数。3.通过Cooper变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。 14 2.2 分治法的基本思想分治法的基本思想分治法的基本思想是将一个规模为n的问题分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题相同。对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。凡 治 众 如 治 寡 ， 分 数 是 也 。 孙子兵法 15 2.2 分治法的基本思想nT(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n/2)T(n) = nT(n) =n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) nT(n) =n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) n/2T(n/4)T(n/4)T(n/4)T(n/4) 16 2.2 分治法的基本思想分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 这条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的，则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然也可用分治法，但一般用动态规划较好。 17 2.2 分治法的基本思想分治法的基本步骤 divide-and-conquer(P)if ( | P | = n0) adhoc(P); /解决小规模的问题divide P into smaller subinstances P1,P2,.,Pk；/分解问题for (i=1,i=k,i+)yi=divide-and-conquer(Pi); /递归的解各子问题return merge(y1,.,yk); /将各子问题的解合并为原问题的解 人们从大量实践中发现，在用分治法设计算法时，最好使子问题的规模大致相同。即将一个问题分成大小相等的k个子问题的处理方法是行之有效的。这种使子问题规模大致相等的做法是出自一种平衡(balancing)子问题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。 18 2.2 分治法的基本思想分治法的复杂性分析一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为nm的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有（右上）。 通过迭代法求得方程解（右下） 。注意：递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当minmi+1时，T(mi)T(n)T(mi+1)。11)()/( )1()( nnnfmnkT OnT 1log 0log )/()( nmj jjkm mnfknnT 19 2.3 二分搜索技术给定已按升序排好序的n个元素a0:n-1，现要在这n个元素中找出一特定元素x。适用分治法求解问题的基本特征：该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题;分解出的子问题的解可以合并为原问题的解；分解出的各个子问题是相互独立的。 很显然此问题分解出的子问题相互独立，即在ai的前面或后面查找x是独立的子问题，因此满足分治法的第四个适用条件。 20 算法及其复杂性据此容易设计出二分搜索算法：public static int binarySearch(int a, int x, int n) / 在 a0 = a1 = . = an-1 中搜索 x/ 找到x时返回其在数组中的位置，否则返回-1int left = 0; int right = n - 1;while (left amiddle) left = middle + 1;else right = middle - 1;return -1; / 未找到x 算法复杂度分析：每执行一次算法的while循环， 待搜索数组的大小减少一半。因此，在最坏情况下，while循环被执行了O(logn) 次。循环体内运算需要O(1) 时间，因此整个算法在最坏情况下的计算时间复杂性为O(logn) 。思考题：给定a，用二分法设计出求an的算法。 nOnm TTnT TT TTT nnT nnT mm log1log1 1223124 2112 11 112 11 1 21 2.4 大整数的乘法设计一个有效的算法，可以进行两个n位大整数的乘法运算小学的方法：O(n2) 效率太低分治法: X=a2n/2+b Y=c2n/2+d XY=ac2n+(ad+bc)2n/2+bd复杂度分析 T(n)=O(n2) 没有改进 n/2位 n/2位 n/2位 n/2位X= Y=A B C D 12/4 11 nnOnT nOnT 22 算法改进为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。为此，我们把XY写成另外的形式： XY = ac 2n + (a-c)(b-d)+ac+bd) 2n/2 + bd 或 XY = ac 2n + (a+c)(b+d)-ac-bd) 2n/2 + bd复杂性： 这两个算式看起来更复杂一些，但它们仅需要3次n/2位乘法ac、bd和(ac)(bd)，于是 T(n)=O(nlog3) =O(n1.59) 较大的改进细节问题：两个XY的复杂度都是O(nlog3)，但考虑到a+c,b+d可能得到m+1位的结果，使问题的规模变大，故不选择第2种方案。 12/3 11 nnOnT nOnT 23 更快的方法小学的方法：O(n2)效率太低分治法: O(n1.59)较大的改进更快的方法？如果将大整数分成更多段，用更复杂的方式把它们组合起来，将有可能得到更优的算法。 最终的，这个思想导致了快速傅利叶变换(Fast Fourier Transform)的产生。该方法也可以看作是一个复杂的分治算法，对于大整数乘法，它能在O(nlogn)时间内解决。是否能找到线性时间的算法？目前为止还没有结果。 24 2.5 Strassen矩阵乘法 nn矩阵A和B的乘积矩阵C中的元素Ci,j定义为：若依此定义来计算A和B的乘积矩阵C，则每计算C的一个元素Cij，需要做n次乘法和n-1次加法。因此，算出矩阵C的 个元素所需的计算时间为O(n 3) nk kjikij bac 1 25 简单分治法求矩阵乘首先假定n是2的幂。使用与上例类似的技术，将矩阵A，B和C中每一矩阵都分块成4个大小相等的子矩阵。由此可将方程C=AB重写为： 由此可得：复杂度分析 T(n)=O(n3) 没有改进 2221 12112221 12112221 1211 BB BBAA AACC CC 22221221222122112121 22121211122112111111 BABACBABAC BABACBABAC 22/8 21 2 nnOnT nOnT 26 改进算法为了降低时间复杂度，必须减少乘法的次数。而其关键在于计算2个2阶方阵的乘积时所用乘法次数能否少于8次。为此，Strassen提出了一种只用7次乘法运算计算2阶方阵乘积的方法（但增加了加/减法次数）：M1=A11(B12-B22)M2=(A11+A12)B22M3=(A21+A22)B11M4=A22(B21-B11)M5=(A11+A22)(B11+B22)M6=(A12-A22)(B21+B22)M 7=(A11-A21)(B11+B12)做了这7次乘法后，在做若干次加/减法就可以得到：C11=M5+M4-M2+M6C12=M1+M2C21=M3+M4C22=M5+M1-M3-M7复杂度分析 T(n)=O(nlog7) =O(n2.81) 较大的改进 22/7 21 2 nnOnT nOnT 27 更快的方法 Hopcroft和Kerr已经证明(1971)，计算2个矩阵的乘积，7次乘法是必要的。因此，要想进一步改进矩阵乘法的时间复杂性，就不能再基于计算22矩阵的7次乘法这样的方法了。或许应当研究33或55矩阵的更好算法。在Strassen之后又有许多算法改进了矩阵乘法的计算时间复杂性。 目前最好的计算时间上界是 O(n2.376)是否能找到O(n2)的算法？目前为止还没有结果。 28 2.6 棋盘覆盖在一个2k2k个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊棋盘。在棋盘覆盖问题中，要用图示的4种不同形态的L型骨牌覆盖给定的特殊棋盘上除特殊方格以外的所有方格，且任何2个L型骨牌不得重叠覆盖。易知，覆盖任意一个2k2k的特殊棋盘，用到的骨牌数恰好为(4K-1)/3。 29 分治策略求解当k0时，将2k2k棋盘分割为4个2k-12k-1 子棋盘(a)所示。特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如 (b)所示，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘11。 30 算法描述void CB(int tr,tc,dr,dc,size) if (size = 1) return;int t = tile+; / L型 骨 牌 号s = size/2; / 分 割 棋 盘/ 覆 盖 左 上 角 子 棋 盘if (dr tr + s else / 此 棋 盘 中 无 特 殊 方 格/ 用 t 号 L型 骨 牌 覆 盖 右 下 角boardtr + s - 1tc + s - 1 = t;/ 覆 盖 其 余 方 格CB(tr, tc, tr+s-1, tc+s-1, s);/ 覆 盖 右 上 角 子 棋 盘 if (dr = tc + s)/ 特 殊 方 格 在 此 棋 盘 中CB(tr, tc+s, dr, dc, s);else / 此 棋 盘 中 无 特 殊 方 格/ 用 t 号 L型 骨 牌 覆 盖 左 下 角boardtr + s - 1tc + s = t;/ 覆 盖 其 余 方 格CB(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s, s); / 覆 盖 左 下 角 子 棋 盘if (dr = tr + s else / 用 t 号 L型 骨 牌 覆 盖 左 上 角boardtr + stc + s = t;/ 覆 盖 其 余 方 格CB(tr+s, tc+s, tr+s, tc+s, s); 31 复杂度分析说明：整形二维数组Board表示棋盘，Borad00使棋盘的左上角方格。 tile是一个全局整形变量，用来表示L形骨牌的编号，初始值为0。 tr：棋盘左上角方格的行号；tc：棋盘左上角方格的列号； dr：特殊方各所在的行号；dc：特殊方各所在的列号； size：size=2k，棋盘规格为2k2k。复杂度分析： T(k)=4k-1=O(4k) 渐进意义下的最优算法 1114 01 kOkT kOkT 32 2.7 合并排序基本思想：将待排序元素分成大小大致相同的2个子集合，分别对2个子集合进行排序，最终将排好序的子集合合并成为所要求的排好序的集合。递归算法描述：public static void mergeSort(Comparable a, int left, int right) if (leftright) /至少有2个元素int i=(left+right)/2; /取中点mergeSort(a, left, i);mergeSort(a, i+1, right);merge(a, b, left, i, right); /合并到数组bcopy(a, b, left, right); /复制回数组a 复杂度分析 T(n)=O(nlogn) 渐进意义下的最优算法 12/2 11 nnOnT nOnT 33 算法改进算法mergeSort的递归过程可以消去。初始序列 49 38 65 97 76 13 27第一步 38 49 65 97 13 76 27 第二步 38 49 65 97 13 27 76第三步 13 27 38 49 65 76 97 34 改进后的算法描述及其复杂性算法描述：略复杂性分析：最坏时间复杂度：O(nlogn)平均时间复杂度：O(nlogn)辅助空间：O(n) 思考题：给定有序表A1:n，修改合并排序算法，求出该有序表的逆序对数。 35 2.8 快速排序快速排序是基于分治策略的另一个排序算法，其基本思想是：分解以ap为基准元素将ap：r划分成3段ap：q-1、aq和aq+1：r，使得ap：q-1中任何元素小于aq ，aq+1：r中任何元素大于aq ；下标q在划分过程中确定；递归求解通过递归调用快速排序算法分别对ap：q-1和aq+1：r进行排序；合并由于对ap：q-1和aq+1：r的排序是就地进行的，所以在ap：q-1和aq+1：r都已排好序后不需要执行任何计算ap：r就已排好序。 在快速排序中，记录的比较和交换是从两端向中间进行的，关键字较大的记录一次就能交换到后面单元，关键字较小的记录一次就能交换到前面单元，记录每次移动的距离较大，因而总的比较和移动次数较少。快速算法描述：templatevoid QuickSort (Type a, int p, int r) if (pr) int q=Partition(a,p,r);QuickSort (a,p,q-1); /对左半段排序QuickSort (a,q+1,r); /对右半段排序 36 分解/划分算法描述分解/划分算法描述：templateint Partition (Type a, int p, int r) int i = p, j = r + 1; Type x=ap;/ 将 x的元素交换到右边区域while (true) while (a+i x); if (i = j) break; Swap(ai, aj);ap = aj;aj = x;return j; 6, 7, 51, 2, 5, 8 初始序列6, 7, 51, 2, 5, 8 j-;ij5, 7, 51, 2, 6, 8 i+; i j5, 6, 51, 2, 7, 8 j-; i j5, 2, 51, 6, 7, 8 i+;i j5, 2, 5167, 8 完成快速排序具有不稳定性！ 37 复杂性分析及随机化的快速排序算法算法复杂性分析：最坏时间复杂度：O(n2)平均时间复杂度：O(nlogn)辅助空间：O(n)或O(logn)快速排序算法的性能取决于划分的对称性。通过修改算法partition，可以设计出采用随机选择策略的快速排序算法。在快速排序算法的每一步中，当数组还没有被划分时，可以在ap:r中随机选出一个元素作为划分基准，这样可以使划分基准的选择是随机的，从而可以期望划分是较对称的。 算法描述： template int RandomizedPartition (Type a, int p, int r) int i = Random(p,r); Swap(ai, ap); return Partition (a, p, r); 38 2.9 线性时间选择元素选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1kn，要求找出这n个元素中第k小的元素。 RandomizedSelect算法：模仿快速排序算法，首先对输入数组进行划分，然后对划分出的子数组之一进行递归处理。算法描述如下：templateType RandomizedSelect(Type a,int p,int r,int k) if (p=r) return ap;int i=RandomizedPartition(a,p,r),j=i-p+1;if (k=j) return RandomizedSelect(a,p,i,k); else return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);算法复杂性：在最坏情况下，算法randomizedSelect需要O(n2)计算时间。但可以证明，算法RandomizedSelect可以在O(n)平均时间内找出n个输入元素中的第k小元素。 39 改进算法基本思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准，使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的倍(01是某个正常数)，那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，若=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递归式T(n)T(9n/10)+O(n) 。由此可得T(n)=O(n)。 40 一个较好的基准划分步骤步骤（如图所示）：将n个输入元素划分成n/5个组，每组5个元素，只可能有一个组不是5个元素。用任意一种排序算法，将每组中的元素排好序，并取出每组的中位数，共n/5个。 递归调用select来找出这n/5个元素的中位数。如果n/5是偶数，就找它的2个中位数中较大的一个。以这个元素作为划分基准。说明：设所有元素互不相同。在这种情况下，找出的基准x至少比3(n-5)/10个元素大，因为在每一组中有2个元素小于本组的中位数，而n/5个中位数中又有(n-5)/10个小于基准x（如图）。同理，基准x也至少比3(n-5)/10个元素小。而当n75时，3(n-5)/10n/4所以按此基准划分所得的2个子数组的长度都至少缩短1/4。图 2-7 选 择 划 分 基 准其 中 ， n个 元 素 用 小 圆 点 表 示 ， 空 心 圆 点 为 每 组 元 素 的 中 位 数 ； x为 中 位 数 的 中 位 数 ； 箭 头 由 较 大 元 素 指 向 较 小 元 素 。只 要 等 于 基 准 的 元 素 不 太 多 ， 利 用 这 个基 准 来 划 分 的 两 个 数 组 的 大 小 就 不 会 相差 太 远 。 ai3(n-5)/10 aixn/5+(n/5-1)/23(n-5)/10 41 算法描述及复杂性分析private static Comparable select (int p, int r, int k) /用 某 个 简 单 排 序 算 法 对 数 组 ap:r排 序 ; if (r-p75) bubbleSort(p,r);return ap+k-1;/将 ap+5*i至 ap+5*i+4的 第 3小 元 素 与 ap+i交 换 ;/找 中 位 数 的 中 位 数 ， r-p-4即 前 述 n-5;for ( int i = 0; i=(r-p-4)/5; i+ ) int s=p+5*i,t=s+4;for (int j=0;j3;j+) bubble(s,t-j);MyMath.swap(a, p+i, s+2); Comparable x = select(p, p+(r-p-4)/5, (r-p+6)/10);int i=partition(p,r,x),j=i-p+1;if (k=j) return select(p,i,k);else return select(i+1,r,k-j); 复杂度分析 C1为直接简单排序时间 C2n为执行for循环的时间解递归方程得T(n)=O(n)说明： 上 述 算 法 将 每 一 组 的 大 小 定 为5， 并 选 取 75作 为 是 否 作 递 归调 用 的 分 界 点 。 这 2点 保 证 了T(n)的 递 归 式 中 2个 自 变 量 之和 n/5+3n/4=19n/20=n，01。 这 是 使 T(n)=O(n)的 关键 之 处 。 当 然 ， 除 了 5和 75之外 ， 还 有 其 他 选 择 。 上 述 算 法 中 我 们 假 设 元 素 互 不相 等 已 保 证 划 分 后 子 数 组 不 超过 3n/4。 当 元 素 可 能 相 等 时 ，设 有 m个 （ 将 他 们 集 中 起 来 ） ，若 jkj+m-1时 返 回 ai； 否 则 调用 select(i+m+1, r, k-j-m)。 754/35/ 752 1 nnTnTnC nCnT 42 2.10 最接近点对问题问题描述：给定平面上n个点，找其中的一对点，使得在n个点所组成的所有点对中，该点对间的距离最小。说明：严格来讲，最接近点对可能多于一对，为简便起见，我们只找其中的一对作为问题的解。 一个简单的做法是将每一个点与其他n-1个点的距离算出，找出最小距离的点对即可。该方法的时间复杂性是T(n)=n(n-1)/2+n=O(n2)，效率较低。已经证明，该算法的计算时间下界是(nlogn)。 43 一维空间中的情形为了使问题易于理解和分析，先来考虑一维的情形。此时，S中的n个点退化为x轴上的n个实数x1,x2,xn。最接近点对即为这n个实数中相差最小的2个实数。一个简单的办法是先把x1,x2,xn排好序，再进行一次线性扫描就可以找出最接近点对，T(n)=O(nlogn)。然而这种方法无法推广到二维情形。假设我们用x轴上某个点m将S划分为2个子集S1和S2 ，基于平衡子问题的思想，用S中各点坐标的中位数来作分割点。 递归地在S1和S2上找出其最接近点对p1,p2和q1,q2，并设d=min|p1-p2|,|q1-q2|，S中的最接近点对或者是p1,p2，或者是q1,q2，或者是某个p3,q3，其中p3S1且q3S2。能否在线性时间内找到p3,q3？ 44 算法描述及复杂性如果S的最接近点对是p3,q3，即|p3-q3|d，则p3和q3两者与m的距离不超过d，即p3(m-d,m，q3(m,m+d。由于在S1中，每个长度为d的半闭区间至多包含一个点（否则必有两点距离小于d），并且m是S1和S2的分割点，因此(m-d,m中至多包含S中的一个点。由图可以看出，如果(m-d,m中有S中的点，则此点就是S1中最大点。 因此，我们用线性时间就能找到区间(m-d,m和(m,m+d中所有点，即p3和q3。从而我们用线性时间就可以将S1的解和S2的解合并成为S的解。分割点m的选取不当，会造成|Si|=1，|Sj|=n-1(i+j=1)的情形，使得T(n) =T(n-1)+O(n)=O(n2)。这种情形可以通过“平衡子问题”方法加以解决：选取各点坐标的中位数作分割点。算法描述：bool CPair1(S, d) n=|S|;if (nS1+S2;/S1=x|xmCPair1(S1, d1);CPair1(S2, d2);p=max(S1);q=min(S2);d=min(d1, d2, q-p);return ture;复杂性分析： T(n)=O(nlogn) 该算法可推广到二维的情形中去。 42/2 41 nnOnT nOnT 45 二维空间的最接近点对问题下面来考虑二维的情形。选取一垂直线l:x=m来作为分割直线。其中m为S中各点x坐标的中位数。由此将S分割为S1和S2。递归地在S1和S2上找出其最小距离d1和d2，并设d=mind1,d2，S中的最接近点对或者是d，或者是某个p,q，其中pP1且qP2 ，如图2-9所示。 能否在线性时间内找到p,q？考虑P1中任意一点p，它若与P2中的点q构成最接近点对的候选者，则必有distance(p，q)d。满足这个条件的P2中的点一定落在一个d2d的矩形R中，如图2-10所示。由d的意义可知，P2中任何2个S中的点的距离都不小于d。由此可以推出矩形R中最多只有6个S中的点。图 2-9距 离 直 线 l小 于 d的 所 有 点图 2-10包 含 q的 d 2d矩 形 R 46 R中至多包含6个S中的点的证明证明：将矩形R的长为2d的边3等分，将它的长为d的边2等分，由此导出6个(d/2)(2d/3)的矩形（如图(a)所示 ）。若矩形R中有多于6个S中的点，则由鸽舍原理易知至少有一个(d/2)(2d/3)的小矩形中有2个以上S中的点。 设u，v是位于同一小矩形中的2个点，则因此，distance(u,v)d。这与d的意义相矛盾。 也就是说，矩形R中最多有6个S中的点。极端情形：图(b)是矩形R中恰有6个S中的点的极端情形。 222 22 36253/22/ ddd vyuyvxux 47 说明因此，在分治法的合并步骤中最多只需要检查6n/2=3n个候选者。为了确切地知道要检查哪6个点，可以将p和P2中所有S2的点投影到垂直线l上。由于能与p点一起构成最接近点对候选者的S2中点一定在矩形R中，所以它们在直线l上的投影点距p在l上投影点的距离小于d。由上面的分析可知，这种投影点最多只有6个。 因此，若将P1和P2中所有S中点按其y坐标排好序，则对P1中所有点，对排好序的点列作一次扫描，就可以找出所有最接近点对的候选者。对P1中每一点最多只要检查P2中排好序的相继6个点。 48 算法描述及复杂性分析算法描述： public static double CPair2(S) n=|S|; if (n 2) return ; m=S中 各 点 x间 坐 标 的 中 位 数 ; 构 造 S1和 S2； /S1=pS|x(p)m d1=cpair2(S1); d2=cpair2(S2); dm=min(d1,d2); 设 P1是 S1中 距 垂 直 分 割 线 l的 距离 在 dm之 内 的 所 有 点 组 成 的 集合 ； P2是 S2中 距 分 割 线 l的 距 离 在 dm之 内 所 有 点 组 成 的 集 合 ； 将 P1和 P2中 点 依 其 y坐 标 值 排 序 ； 并 设 X和 Y是 相 应 的 已 排 好 序 的点 列 ； 通 过 扫 描 X以 及 对 于 X中 每 个 点检 查 Y中 与 其 距 离 在 dm之 内 的所 有 点 (最 多 6个 )可 以 完 成 合 并 ； 当 X中 的 扫 描 指 针 逐 次 向 上 移动 时 ， Y中 的 扫 描 指 针 可 在 宽为 2dm的 区 间 内 移 动 ； 设 dl是 按 这 种 扫 描 方 式 找 到 的点 对 间 的 最 小 距 离 ； d=min(dm,dl); return d; 复杂度分析： T(n)=O(nlogn)算法的具体实现：略。 42/2 41 nnOnT nOnT 49 2.11 循环赛日程表分治法不仅可以用来设计算法，而且再其他方面也有广泛应用：利用分治法设计电路、构造数学证明等。循环赛日程标问题，设有n=2k个选手要进行循环赛，设计一个满足以下要求的比赛日程表：每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；每个选手一天只能赛一次； 循环赛一共进行n-1天。按此要求，可以将比赛日程表设计成n行n-1列的表格，i行j列表示第i个选手在第j天所遇到的选手。基本思路：按分治策略，将所有的选手分为两组，n个选手的比赛日程表就可以通过为n/2个选手设计的比赛日程表来决定。递归地用对选手进行分割，直到只剩下2个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这2个选手进行比赛就可以了。 50 算法描述及示例算法描述：略。思考题：递归形式的算法描述。选手数n为一般情况时，试设计循环赛日程表算法，并求出循环赛所需要的最少天数。（提示：当n为偶数时，比赛至少需要n-1天；当n为奇数时，比赛至少需要n天。）* 1 2 3 4 5 6 7 82 1 4 3 6 5 8 73 4 1 2 7 8 5 64 3 2 1 8 7 6 55 6 7 8 1 2 3 46 5 8 7 2 1 4 37 8 5 6 3 4 1 2 8 7 6 5 4 3 2 1 51 小结递归的概念分治策略的基本思想和相关实例作业 2.8、2.9、2.10、2.27、2.30、2.31、2.32练习 2.13、2.22、2.33、2.35