电磁波的辐射

第 八 章 电 磁 波 的 辐 射 8.1 时 变 场 的 位 函 数 8.2 电 基 本 振 子 的 辐 射 8.3 磁 基 本 振 子 的 辐 射 场 和 对 偶 原 理 8.4 天 线 的 电 参 数 8.5 对 称 振 子 天 线 8.6 均 匀 直 线 阵 8.7 面 天 线 的 辐 射 电 磁 场 理 论 和 实 践 证 明 ， 随 时 间 变 化 的 电 荷 、 电 流 分 布 会激 发 随 时 间 变 化 的 电 磁 场 ， 时 变 电 磁 场 可 以 脱 离 场 源 以 波 的 形式 向 远 处 传 播 ， 这 种 现 象 称 为 电 磁 波 的 辐 射 。 辐 射 电 磁 波 的 装置 称 为 天 线 。 天 线 既 能 辐 射 电 磁 波 ， 又 能 接 收 电 磁 波 ， 故 称 为无 线 电 设 备 的 “ 耳 目 ” ， 它 是 无 线 电 通 信 、 导 航 、 雷 达 、 遥 测 、射 电 天 文 、 电 子 对 抗 和 信 息 战 等 应 用 系 统 的 重 要 组 成 部 分 。 严 格 地 说 ， 求 解 辐 射 问 题 就 是 根 据 天 线 的 边 界 条 件 求 解 麦克 斯 韦 方 程 组 。 然 而 ， 这 种 严 格 求 解 在 数 学 上 往 往 遇 到 很 大 的困 难 ， 有 时 甚 至 是 不 可 能 的 。 因 此 ， 实 践 中 采 用 近 似 解 法 ， 即先 近 似 求 得 场 源 分 布 ， 再 根 据 场 源 分 布 （ 或 等 效 场 源 分 布 ） 求辐 射 场 。 天 线 按 形 式 大 致 可 分 为 线 天 线 和 面 天 线 两 大 类 。 线 天 线 由 半径 远 小 于 工 作 波 长 的 金 属 导 线 构 成 ， 主 要 用 于 长 波 、 中 波 、 短 波和 超 短 波 波 段 ； 面 天 线 由 尺 寸 大 于 工 作 波 长 的 导 体 曲 面 构 成 ， 主要 用 于 微 波 波 段 。 由 于 这 两 类 天 线 的 不 同 特 点 ， 求 解 其 辐 射 场 的方 法 也 不 相 同 。 对 于 前 者 ， 一 般 是 由 天 线 的 电 流 分 布 求 辐 射 场 ，而 对 于 后 者 ， 则 采 用 等 效 场 源 法 求 解 口 径 面 的 衍 射 场 。 在 本 章 中 ， 首 先 根 据 麦 克 斯 韦 方 程 组 引 入 时 变 场 的 位 函 数 ，建 立 其 所 满 足 的 方 程 并 得 出 滞 后 位 解 。 据 此 求 解 两 种 基 本 辐 射 单元 的 辐 射 场 ， 再 由 迭 加 原 理 讨 论 基 本 线 天 线 的 辐 射 。 对 于 面 天 线 ，则 从 惠 更 斯 原 理 出 发 ， 在 已 知 口 径 面 上 电 磁 场 分 布 的 情 况 下 求解 辐 射 场 。 8.1 时 变 场 的 位 函 数8.1.1 有 源 区 域 的 波 动 方 程 在 电 流 、 电 荷 的 分 布 已 知 的 情 况 下 求 解 辐 射 场 ， 其 出 发 点 是 有源 区 域 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 ： tDJH （ 8-1-1a） tBE （ 8-1-1b） D （ 8-1-1c）（ 8-1-1d） 0 B 式 （ 8-1-2） 为 有 源 区 域 的 非 齐 次 矢 量 波 动 方 程 。 由 于 场 源 和 以 较 复 杂 的 形 式 出 现 在 方 程 中 ， 故 根 据 场 源 分 布 直 接 求解 方 程 （ 8-1-2） 相 当 困 难 。 为 了 简 化 分 析 ， 引 入 位 函 数 的 概 念 ，由 位 函 数 间 接 地 求 解 和 。 以 及 式 （ 8-1-1c） 、 （ 8-1-1d） ， 整 理 可 得对 式 （ 8-1-1a） 、 （ 8-1-1b） 取 旋 度 ， 利 用 矢 量 恒 等 式 AAA 2)()( JtHH 222 （ 8-1-2a） tJtEE 222 （ 8-1-2b） J E H 8.1.2 时 变 场 的 位 函 数 由 麦 克 斯 韦 方 程 ， 对 于 时 变 场 仍 可 以 引 入 矢 量 位 ： 0 BA AB （ 8-1-3）将 式 （ 8-1-3） 代 入 式 （ 8-1-1b） ， 有 )( AtE 该 式 可 写 为 0)( tAE 由 此 可 以 引 入 标 量 位 ： tAE 可 见 ， 可 以 用 矢 量 位 和 标 量 位 来 共 同 表 示 时 变 电 磁 场 。 A 将 式 （ 8-1-3） 、 （ 8-1-4） 代 入 式 （ 8-1-1a） 和 （ 8-1-1c） ，得 到 和 所 满 足 的 方 程 ： A tAE （ 8-1-4）即 )(222 tAJtAA （ 8-1-5a） )( 2 At （ 8-1-5b）采 用 洛 仑 兹 规 范 ： tA （ 8-1-6） A和 的 方 程 可 简 化 为 JtAA 222 （ 8-1-7a） 222 t （ 8-1-7b） 严 格 地 求 解 达 朗 贝 尔 方 程 （ 8-1-7） 仍 很 困 难 。 这 里 将 采 用较 为 简 单 的 方 法 进 行 求 解 ， 而 把 重 点 放 在 对 于 解 的 物 理 意 义 的 理解 上 。 设 时 变 电 荷 分 布 在 体 积 元 内 ， 以 外 无 电 荷 分 布 。 体积 元 的 总 电 荷 可 视 为 点 电 荷 ， 所 产 生 的 电 位 为 。 以 电荷 所 在 处 为 坐 标 原 点 ， 则 满 足 方 程 ： 8.1.3 滞 后 位 VdVdVd d )0(0 222 rt （ 8-1-8） 式 （ 8-1-8b） 为 齐 次 波 动 方 程 。 由 于 点 电 荷 激 发 的 电 场 具 有球 对 称 性 ， 故 在 球 坐 标 系 中 ， 标 量 位 仅 与 有 关 。 于 是 ， r 0),(),(1 2222 t trr trrrr （ 8-1-9）设 ， 则 上 式 变 换 为r trutr ),(),( 0),(),( 2222 t trur tru （ 8-1-10）式 (8-1-8)可 写 为该 式 是 标 准 的 一 维 齐 次 波 动 方 程 ， 其 通 解 为 )(t)(t),( 2211 vrfCvrfCtru （ 8-1-11）其 中 ， 和 为 常 数 ； 、 是 任 意 函 数 ； v 为 波 的 传 播 速 度 。1C 2C 1f 2f 式 (8-1-11)右 边 第 一 项 表 示 沿 方 向 传 播 的 波 ； 第 二 项 表示 沿 方 向 传 播 的 波 。 对 于 辐 射 问 题 ， 仅 考 虑 第 一 项 ， 故 令 。 所 以 只 要 确 定 了 函 数 的 形 式 ， 就 求 得 了 。 的 函 数 形 式 应由 位 于 坐 标 原 点 的 电 荷 确 定 。rr02 C )-(1d 1 vrtfr （ 8-1-12）1f 1fVtq d)(已 知 位 于 坐 标 原 点 的 静 止 电 荷 在 处 所 产 生 的 电 位 为dV rrVr d41)(d （ 8-1-13） 静 态 场 是 时 变 场 的 特 例 ， 比 较 式 （ 8-1-12） 和 （ 8-1-13）d 可 得 位 于 坐 标 原 点 的 时 变 电 荷 在 空 间 任 一 点 处 所 产 生的 标 量 位 为 Vt d)( rr Vvrttr d)(41),(d （ 8-1-14） 如 果 电 荷 不 位 于 坐 标 原 点 ， 而 是 在 位 置 矢 径 为 的 任 一 点上 ， 令 ， 则 式 （ 8-1-14） 改 写 为 rrrR R VvRtrtr d),(41),(d （ 8-1-15） 上 式 表 明 ， 时 刻 空 间 任 一 点 处 的 标 量 位 不 是 由 该 时 刻 体积 V内 的 电 荷 分 布 所 决 定 ， 而 是 由 前 一 时 刻 的 电 荷 分 布决 定 。 也 就 是 说 场 点 的 标 量 位 变 化 滞 后 于 场 源 的 变 化 ， 滞 后 时 间 正 是 电 磁 波 传 播 距 离 R 所 需 的 时 间 。 因 此 ， 式 （ 8-1-16） 所表 示 的 标 量 位 称 为 标 量 滞 后 位 。 由 场 的 迭 加 原 理 ， 体 电 荷 分 布 在 空 间 任 一 点 处 所 产生 的 标 量 位 为 ),( tr rVR vRtrtr V d),(41),( （ 8-1-16）t r )( vRt vR 综 上 所 述 ， 只 要 根 据 给 定 的 电 流 分 布 、 电 荷 分 布 ， 由 式 （ 8-1-16） 、 （ 8-1-17） 求 出 和 ， 再 代 入 式 （ 8-1-4） 和（ 8-1-3） ， 即 可 求 得 电 磁 场 和 。 矢 量 位 的 方 程 式 （ 8-1-7a） 可 以 分 解 为 三 个 形 式 相 同 的标 量 方 程 ， 每 个 标 量 方 程 都 具 有 与 式 （ 8-1-16） 相 似 的 解 ， 即),( trA ),(d),(4),( zyxiVR vRtrJtrA V ii 故 矢 量 滞 后 位 表 示 为 VR vRtrJtrA V d),(4),( （ 8-1-17）J A E B 对 于 时 谐 电 磁 场 ， 和 的 复 数 形 式 为J trJtrJ je)(),( （ 8-1-18）trtr je)(),( （ 8-1-19） 故 时 谐 场 的 标 量 位 和 矢 量 位 的 复 数 形 式 为 VRrr V kR de)(41)( j VRrJrA V kR de)(4)( j （ 8-1-20） （ 8-1-21） 由 电 流 连 续 性 方 程 和 洛 仑 兹 条 件 可 以 得 到 ， 时 谐 场 情 形 下 ， 与 、 与 有 简 单 的 关 系 ： J A J j ， A j （ 8-1-22） 可 见 ， 对 于 时 谐 场 只 要 给 定 ， 也 就 确 定 了 ， 因 而 电 磁 场确 定 。 故 时 谐 场 情 形 下 ， 只 要 由 式 （ 8-1-21） 求 出 ， 便 可 确定 电 磁 场 和 。 J AE B 实 际 应 用 中 ， 所 求 辐 射 场 是 被 激 发 后 离 开 场 源 的 电 磁 场 ，通 常 可 以 利 用 下 列 方 程 求 解 ： VRrJrA V kR de)(4)( j （ 8-1-23a） AH 1 （ 8-1-23b）HE j （ 8-1-23c） 8.2 电 基 本 振 子 的 辐 射 电 基 本 振 子 是 一 段 载 有 均 匀 同 相 高 频 电 流 的 直 导 线 ， 其 直 径d 和 长 度 远 小 于 波 长 ， 也 称 为 电 偶 极 子 或 电 流 元 辐 射 体 ， 它 是一 种 基 本 辐 射 单 元 。 l 8.2.1 电 基 本 振 子 的 电 磁 场 设 电 基 本 振 子 沿 z轴 放 置 ， 中 点 位 于 坐 标 原 点 ， 其 上 载 有 沿z轴 的 时 谐 电 流 ， 如 图 8-2-1所 示 。tItI je)( 图 8-2-1 球 坐 标 系 中 的 电 基 本 振 子 及 其 矢 量 磁 位 对 于 沿 z轴 的 线 电 流 ， 有 ， 由 式 （ 8-1-23a） ，该 电 基 本 振 子 所 激 发 的 矢 量 位 ：其 中 ， 。 对 的 场点 ， 有 。 将 其 代 入 式 （ 8-2-1） ， 可 得zIeVJ z dd /2/2 j de4)( ll Rkz R zIerA （ 8-2-1）cos2)( 22222 zrzrzzyxR lr r coszrR /2/2 )cos(j cos de4)( ll zrkz zr zIerA （ 8-2-2） 忽 略 电 基 本 振 子 上 各 点 与 场 点 的 距 离 不 同 对 远 区 场 振 幅 的 影响 ， 即 忽 略 分 母 中 的 。 但 是 指 数 因 子 中 的 一 般 不能 忽 略 ， 因 为 ， 故 还 涉 及 另 一 个 长 度 量 波 长 。只 有 当 时 ， 电 基 本 振 子 上 各 点 的 电 流 在 场 点 不 会 引 起 显著 的 相 位 差 ， 其 影 响 才 可 以 忽 略 。 因 此 ， 式 （ 8-2-2） 可 写 为coszcosz 2k l 22 )cos(j de4)( ll zrkz zIrerA （ 8-2-3）对 于 电 基 本 振 子 ， 有 ， 于 是l AelIrezIrerA zrkzll rkz j22 j e4de4)( （ 8-2-4） 在 球 坐 标 下 ， 的 三 个 分 量 分 别 为A cosAAr （ 8-2-5a） sinAA （ 8-2-5b） 0A （ 8-2-5c） 由 式 （ 8-1-23b） ， 有 0sincos sinsin11 2 rAA r erererAH r 可 得 rkrkrklIkH j22 e)( 1j4 sin （ 8-2-6a）0 HHr （ 8-2-6b）再 由 式 （ 8-1-23c） HE j可 得 rk r rkrklIkE j323 e)( j)( 12 cosd （ 8-2-6c） rkrkrkkrlIkE j323 e)( j)( 1j4 sind （ 8-2-6d）0E （ 8-2-6e） 可 见 ， 电 基 本 振 子 的 和 相 互 垂 直 ， 在 过 振 子 轴 线 的 平 面 内 。 在 垂 直 于 振 子 轴 线 的 平 面 内 。 通 常 把 场 分 为 近 区 和 远 区 加 以 讨 论 。 EE H H 8.2.2 电 基 本 振 子 的 近 区 场 （ 感 应 场 ） 所 谓 近 区 是 指 场 点 与 场 源 的 距 离 远 小 于 工 作 波 长 的 区 域 ， 即 的 区 域 。 在 此 区 域 有12 rkr 32 )( 1)( 11 rkrkrk , 1e j rk此 时 ， 式 （ 8-2-6） 中 只 取 的 高 次 幂 项 ， 得 到kr1 cos2j 3rlIEr （ 8-2-7a） sin4j 3rlIE （ 8-2-7b） sin4 2rlIH （ 8-2-7c） 另 外 ， 载 流 短 导 线 上 下 两 端 有 随 时 间 变 化 的 电 荷 聚 集 ， 其 电荷 量 与 导 线 中 电 流 的 关 系 为 。 故 载 流 短 导 线 可 视 为 一个 振 荡 电 偶 极 子 ， 其 偶 极 矩 为 。 式 （ 8-2-7a） 、（ 8-2-7b） 可 表 示 为 qtqI jdd lIlqp j cos2 3rpEr （ 8-2-8a） sin4 3rpE （ 8-2-8b） 式 （ 8-2-8） 与 静 电 场 中 电 偶 极 子 产 生 的 电 场 表 达 式 相 同 。 因此 ， 电 基 本 振 子 近 区 场 的 性 质 与 静 态 场 的 相 似 ， 称 为 准 静 态 场 。 由 式 （ 8-2-7） 可 见 ， 近 区 场 中 ， 电 场 和 磁 场 的 相 差 为 。因 此 没 有 能 量 的 辐 射 ， 只 有 能 量 在 电 场 与 磁 场 之 间 相 互 转 换 。 故近 区 场 又 称 为 感 应 场 。 2 应 该 指 出 ， 这 些 结 论 是 在 的 条 件 下 ， 忽 略 了 、 后 得 出 的 ， 是 一 个 近 似 结 果 。 实 际 上 ， 正 是 这 些 被 忽 略 的项 构 成 了 远 区 场 中 电 磁 波 的 辐 射 。 1rk rk12)(1 rk 8.2.3 电 基 本 振 子 的 远 区 场 （ 辐 射 场 ） 所 谓 远 区 是 指 场 点 距 场 源 的 距 离 远 大 于 工 作 波 长 的 区 域 ， 即 的 区 域 。 在 该 区 域 ， 有1rk 32 )( 1)( 11 rkrkrk 此 时 ， 式 （ 8-2-6） 中 仅 取 项 ， 可 得kr1 rkrlIE jesin2j （ 8-2-9a） rkrlIH jesin2j （ 8-2-9b） 0 HHEE rr （ 8-2-9c） 可 见 ， 与 同 相 ， 因 而 平 均 坡 印 廷 矢 量 不 为 零 ：E H 2*av 2121Re21 EeHEeHES rr （ 8-2-10） 这 表 明 ， 有 电 磁 能 量 沿 径 向 向 外 辐 射 。 故 远 区 场 又 称 为 辐 射 场 。1 辐 射 场 的 特 性 电 场 只 有 分 量 ， 磁 场 只 有 分 量 ， 它 们 相 互 垂 直 ， 并 且都 与 传 播 方 向 相 垂 直 。 因 此 ， 电 基 本 振 子 的 辐 射 场 是 沿 径 向 的TEM波 。 E Hre 电 场 、 磁 场 的 振 幅 均 与 r 成 反 比 ， 与 l、 （ 电 长 度 ） 成 正比 ， 且 满 足 l HE （ 8-2-11） 、 的 空 间 相 位 因 子 都 是 ， 等 相 位 面 是 r为 常 数 的球 面 ， 故 辐 射 场 是 球 面 波 。 由 于 在 等 相 位 面 上 、 均 是 的 函数 ， 所 以 是 非 均 匀 球 面 波 。 HrkE H 电 基 本 振 子 的 辐 射 具 有 方 向 性 。 在 垂 直 于 天 线 轴 的 方 向（ ） 上 ， 辐 射 场 最 大 ； 沿 着 天 线 轴 的 方 向 （ 和 ） , 辐 射 场 为 零 。o90 o0 o180E2 方 向 性 函 数 和 方 向 图 方 向 性 是 天 线 辐 射 的 一 个 重 要 特 性 ， 可 用 方 向 性 函 数 和 方 向图 来 表 征 。 辐 射 场 的 表 达 式 中 ， 振 幅 中 与 空 间 角 度 有 关 的函 数 称 为 天 线 的 方 向 性 函 数 ， 由 方 向 性 函 数 绘 制 出 的 图 形 称 为 方向 图 。 ),( f 电 基 本 振 子 的 方 向 性 函 数 为 ， 其 方 向 图 如 图 8-2-2所 示 。 图 中 ， (a) 为 三 维 立 体 方 向 图 ， (b) 和 (c)分 别 为 电 场 线 所 在平 面 （ E面 ） 和 磁 场 线 所 在 平 面 （ H面 ） 的 二 维 方 向 图 。 sin),( f图 8-2-2 电 基 本 振 子 的 方 向 图 3 辐 射 功 率 和 辐 射 电 阻 以 电 基 本 振 子 的 中 点 为 球 心 ， 以 r为 半 径 （ ） 作 一 球面 ， 电 基 本 振 子 的 辐 射 功 率 全 部 通 过 该 球 面 ， 其 总 辐 射 功 率 为lr r r eHeESP d2d21d 22avr 2 0 20 2 ddsin)sin2(21 rrlI 220 322 )(31dsin)(41 lIlI （ 8-2-12） 若 辐 射 场 处 在 空 气 填 充 的 空 间 中 ， 则 ， 代 入 上式 可 得 1200 其 中 称 为 辐 射 电 阻 。rR由 式 （ 8-2-13） 可 得 ， 电 基 本 振 子 的 辐 射 电 阻 为202r )(80 lR （ 8-2-15） 电 基 本 振 子 辐 射 出 去 的 能 量 对 场 源 而 言 是 一 种 损 耗 。 可 引 入一 个 等 效 电 阻 ， 此 等 效 电 阻 所 消 耗 的 功 率 就 等 于 电 基 本 振 子 的 辐射 功 率 ， 即 r2r 21 RIP （ 8-2-14）2022r )(40 lIP （ 8-2-13） 由 上 两 式 可 见 ， 在 电 流 幅 度 相 同 的 情 况 下 ， 越 大 ， 则 越 强 。 天 线 的 电 长 度 越 大 ， 辐 射 电 阻 越 大 ， 辐 射 能 力 越 强 。rR rP 8.3 磁 基 本 振 子 的 辐 射 和 对 偶 原 理 磁 基 本 振 子 是 载 有 均 匀 同 相 高 频 电 流 的 圆 环 导 线 ， 其 直 径 d和 长 度 l 都 远 小 于 波 长 ， 也 称 为 磁 偶 极 子 。 它 也 是 一 种 基 本 辐 射单 元 。 求 解 磁 基 本 振 子 辐 射 场 的 基 本 方 法 仍 是 根 据 式 （ 8-1-23） ， 其过 程 类 似 于 电 基 本 振 子 辐 射 场 的 求 解 ； 还 可 利 用 对 偶 原 理 ， 由 电基 本 振 子 辐 射 场 通 过 对 偶 变 换 得 到 。 下 面 ， 先 利 用 式 （ 8-1-23） 计 算 磁 基 本 振 子 辐 射 场 ， 然 后 介绍 对 偶 原 理 方 法 。 8.3.1 磁 基 本 振 子 的 辐 射 场 设 磁 基 本 振 子 位 于 xoy平 面 ， 圆 环 半 径 为 ， 其 上 载 有 等 幅同 相 时 谐 电 流 。 取 坐 标 原 点 位 于 小 圆 环 的 中 心 ， 如 图 8-3-1所 示 。 atItI je)( 图 8-3-1 球 坐 标 系 中 的 磁 基 本 振 子 磁 基 本 振 子 也 是 线 电 流 分 布 ， ， 代 入 式（ 8-1-23a） ， 有 lIVJ dd l Rk lRIrA de4)( j （ 8-3-1） 因 为 ， 故 。 利 用 泰 勒 级 数 展 开 ， 被 积 函 数 中 的 指 数 因 子 可 以 近 似 为 ar rR )(j1eeeee j)(jj)(jj rRkrkrRkrkrrRkRk 故 式 (8-3-1)可 近 似 写 为 lrkl kR lkRrkRIlRIrA d)jj(114ede4)( jj llrk lIklRIrk d4jd14e)j(1 j （ 8-3-2） 等 式 右 边 的 第 二 项 积 分 为 零 。 第 一 项 方 括 号 中 的 表 示 式 与 稳恒 线 电 流 分 布 激 发 的 矢 量 磁 位 具 有 完 全 相 同 的 形 式 。 利 用 3.5【 例 2】 中 圆 形 电 流 矢 量 磁 位 的 计 算 结 果 ， 有 sin4d14d14 2rISelrrIlRI ll 于 是 ， 磁 基 本 振 子 的 矢 量 位 为 rkkrrISerA j2 esin)j1(4)( （ 8-3-3） 由 ， 得 到 其 磁 场 的 表 达 式 为 AH 1 rkr rkrkSIkH j323 e)( 1)( jcos2 （ 8-3-4a）rkkrrkrkSIkH j323 e)( 1)( j1sin4 （ 8-3-4b） 0H （ 8-3-4c）再 由 ， 得 到 其 电 场 为HE j rkrkrkSIkE j23 e)( 1jsin4j （ 8-3-4d） 0 EEr （ 8-3-4e） 可 见 ， 电 场 和 磁 场 相 互 垂 直 ， 在 包 含 圆 环 法 向 的 平 面 内 ， 在 平 行 于 圆 环 的 平 面 内 。 HE 磁 基 本 振 子 的 电 磁 场 也 分 为 近 区 和 远 区 加 以 讨 论 ， 这 里 我 们仅 讨 论 远 区 场 ， 即 辐 射 场 。对 于 远 区 ， ， 式 （ 8-3-4） 中 仅 保 留 项 ， 于 是 得 到1rk rk1 rkrSIE j2 esin （ 8-3-5a） rk rSIH j2 esin （ 8-3-5b） 0 HHEE rr （ 8-3-5c） 磁 基 本 振 子 的 辐 射 功 率 为 HSP d2d 2avr ddsin)sin(21 2220 0 2 rrSI 2 2230 32223 )(34dsin)( SISI （ 8-3-6a） 若 辐 射 场 处 在 空 气 填 充 的 空 间 中 ， 辐 射 功 率 为402622024r )(160)(160 aISIP （ 8-3-6b） 其 辐 射 电 阻 为 4062r )(3202 aIPR （ 8-3-7） 将 磁 基 本 振 子 的 辐 射 场 表 达 式 （ 8-3-5） 和 电 基 本 振 子 的 辐 射场 表 达 式 （ 8-2-9） 加 以 比 较 ， 可 知 ， 两 种 基 本 振 子 的 相 互 垂 直 ， 也 相 互 垂 直 。 利 用 这 一 特 性 ， 可 用 一 个 电 基 本 振 子 和 一 个 磁 基本 振 子 ， 并 使 振 子 轴 线 与 小 圆 环 平 面 中 心 法 向 相 重 合 ， 构 成 圆 极化 波 天 线 。 EH 麦 克 斯 韦 方 程 组 的 两 个 旋 度 方 程 及 两 个 散 度 方 程 是 不 对 称 的 ，如 果 引 入 磁 荷 和 磁 流 的 概 念 ， 就 可 以 将 麦 克 斯 韦 方 程 组 改 写 为 对称 的 形 式 。 如 果 两 个 方 程 具 有 相 同 的 数 学 形 式 ， 这 两 个 方 程 就 称 为 对 偶方 程 ， 方 程 中 对 应 位 置 的 物 理 量 称 为 对 偶 量 。 若 已 知 一 个 方 程 的解 ， 通 过 对 偶 变 换 便 可 写 出 其 对 偶 方 程 的 解 ， 该 原 理 称 为 对 偶 原理 。 8.3.2 对 偶 原 理 假 设 存 在 磁 荷 和 磁 流 。 仿 照 电 流 、 电 荷 之 间 的 关 系 ， 可 定 义磁 流 ： tqI dd mm （ 8-3-8） 并 且 有 磁 流 连 续 性 方 程 ： tJ mm （ 8-3-9） 与 电 荷 产 生 电 场 ， 电 流 产 生 磁 场 相 对 应 ， 可 认 为 磁 荷 产 生 磁场 ， 磁 流 产 生 电 场 。 于 是 麦 克 斯 韦 方 程 组 可 写 为 下 面 对 称 的 形 式 ：EJH j （ 8-3-10a） HJE j m （ 8-3-10b） m B （ 8-3-10c） D （ 8-3-10d） 按 式 （ 8-3-10a） ， 电 流 所 产 生 的 磁 场 与 电 流 满 足 右 手 螺 旋关 系 ， 故 式 （ 8-3-10b） 等 号 右 边 的 负 号 表 示 磁 流 所 产 生 的 电 场与 磁 流 成 左 手 螺 旋 关 系 。 在 方 程 组 （ 8-3-10） 中 出 现 了 两 种 类 型 的 场 源 ： 电 型 源 电 荷 和 电 流 ， 以 及 磁 型 源 磁 荷 和 磁 流 。 根 据 场 的 叠加 原 理 ， 电 磁 场 可 视 为 这 两 种 源 所 产 生 场 的 叠 加 ， 即 J m mJ me EEE （ 8-3-11a） me HHH （ 8-3-11b） 其 中 ， 下 标 e和 m分 别 表 示 由 电 型 源 和 磁 型 源 激 发 的 场 。 将 式 （ 8-3-11） 代 入 式 （ 8-3-10） ， 便 可 得 到 、 和 、 所 分 别 满 足 的 麦 克 斯 韦 方 程 组 ： eE mE eHmH ee j EJH （ 8-3-12a） ee j HE （ 8-3-12b）0 e B （ 8-3-12c） eD （ 8-3-12d） 和 mm j EH （ 8-3-13a） mmm j HJE （ 8-3-13b） mm B （ 8-3-13c）0m D （ 8-3-13d）与 方 程 组 （ 8-3-12） 对 应 的 边 界 条 件 为0)( e1e2n EEe （ 8-3-14a）SJHHe )( 1e2en （ 8-3-14b） SDDe )( 1e2en （ 8-3-14c）0)( 1e2en BBe （ 8-3-14d） 与 方 程 组 （ 8-3-13） 对 应 的 边 界 条 件 为SJEEe m1m2mn )( （ 8-3-15a） 0)( 1m2mn HHe （ 8-3-15b） 0)( 1m2mn DDe （ 8-3-15c） SBBe m1m2mn )( （ 8-3-15d） 显 而 易 见 ， 式 （ 8-3-12） 与 （ 8-3-13） 是 对 偶 方 程 ， 边 界 条件 （ 8-3-14） 与 （ 8-3-15） 也 是 对 偶 的 ， 其 对 偶 量 的 对 偶 关 系 为me HE me EH mJJ m ， ， ， ， （ 8-3-16） 如 果 有 两 个 问 题 ， 一 个 满 足 式 （ 8-3-12） 和 （ 8-3-14） ， 另一 个 满 足 式 （ 8-3-13） 和 （ 8-3-15） ， 则 后 者 的 解 可 以 由 前 者 的解 做 对 偶 量 变 换 得 到 ， 反 之 亦 然 。 这 就 是 电 磁 场 的 对 偶 原 理 。 下 面 应 用 对 偶 原 理 ， 利 用 电 基 本 振 子 的 辐 射 场 计 算 结 果 ， 导出 磁 基 本 振 子 的 辐 射 场 。 电 基 本 振 子 的 辐 射 场 由 式 （ 8-2-9） 给 出 ， 利 用 式 （ 8-3-16） ，对 其 进 行 对 偶 量 置 换 ， 可 得 rkrlIH jm esin12j （ 8-3-17a） rkrlIE jm esin2j （ 8-3-17b）0 HHEE rr （ 8-3-17c） 关 键 在 于 写 出 磁 基 本 振 子 的 磁 流 。 磁 基 本 振 子 的 磁 偶 极 矩 与 圆 环 电 流 I 的 关 系 为 mImp )(S)( nm tIetISp （ 8-3-18） 其 中 ， 为 圆 环 面 积 ， 其 法 向 单 位 矢 量 与 圆 环 电 流 I成 右手 螺 旋 关 系 。 2aS ne 引 入 磁 荷 概 念 后 ， 仿 照 电 偶 极 矩 与 电 荷 的 定 义 ， 磁 偶 极 矩 可定 义 为 lqlqp z mmm e （ 8-3-19） 由 式 （ 8-3-18） 和 （ 8-3-19） ， 可 得 磁 基 本 振 子 的 磁 荷 为l tIStq )()(m （ 8-3-20） 将 上 式 代 入 磁 流 的 定 义 式 （ 8-3-8） ， 可 得 磁 基 本 振 子 的 磁 流 为IlStIlStqI jdddd mm （ 8-3-21） 将 式 (8-3-21)代 入 （ 8-3-17） ， 就 得 到 了 磁 基 本 振 子 的 辐 射 场 ：rkrISH j2 esin- rkrISE j2 esin 0 HHEE rr结 果 与 式 （ 8-3-5） 相 同 。 8.4 天 线 的 电 参 数 天 线 的 电 参 数 包 括 方 向 图 、 主 瓣 宽 度 、 主 瓣 张 角 、 旁 瓣 电 平 、方 向 性 系 数 、 天 线 效 率 、 增 益 、 极 化 形 式 、 输 入 驻 波 比 、 输 入 阻抗 和 频 带 宽 度 等 ， 它 们 是 描 述 天 线 辐 射 性 能 的 参 量 。8.4.1 归 一 化 方 向 性 函 数 与 方 向 图 由 天 线 的 方 向 性 函 数 绘 制 的 图 形 称 为 天 线 方 向 图 。 在 绘 制 方向 图 和 比 较 不 同 天 线 的 方 向 特 性 时 ， 常 采 用 归 一 化 方 向 性 函 数 ，其 定 义 为 相 同 r 的 球 面 上 点 的 场 强 与 最 大 场 强 之 比 ， 即),( maxmax ),(),(),( ffEEF （ 8-4-1） 另 外 ， 常 用 的 还 有 功 率 方 向 性 函 数 ， 其 定 义 为),(),( 2 FFP （ 8-4-2） 设 某 天 线 的 方 向 图 如 图 8-4-1所 示 。 该 方 向 图 呈 现 出 多 波 瓣 ，有 主 瓣 、 第 一 旁 瓣 、 第 二 旁 瓣 和 尾 瓣 。 旁 瓣 也 称 为 副 瓣 ， 尾 瓣 也称 为 后 瓣 。 图 8-4-1 极 坐 标 系 下 的 方 向 图 1. 主 瓣 宽 度 主 瓣 宽 度 定 义 为 主 瓣 最 大 辐 射 方 向 （ 主 向 ） 两 侧 或 的 两 矢 径 之 间 的 夹 角 ， 记 为 ， 也 称 为 半 功 率角 或 3dB主 瓣 宽 度 。 主 瓣 宽 度 愈 小 ， 天 线 辐 射 的 能 量 愈 集 中 ， 即方 向 性 愈 强 。 707.0),( F5.0),( PF 5.022. 主 瓣 张 角 主 瓣 张 角 定 义 为 主 瓣 两 侧 两 个 零 辐 射 矢 径 之 间 的 夹 角 ， 记 为 ， 也 称 为 零 功 率 主 瓣 宽 度 。 023. 旁 瓣 电 平 旁 瓣 电 平 定 义 为 第 一 旁 瓣 最 大 辐 射 方 向 的 功 率 密 度 与 主 瓣最 大 辐 射 方 向 上 的 功 率 密 度 之 比 ， 通 常 用 分 贝 表 示 ， 即 1S0S dB)(lg20lg10 0101SLL EESSP （ 8-4-3） 方 向 图 的 旁 瓣 是 所 不 希 望 的 ， 故 在 天 线 设 计 中 应 使 旁 瓣 电 平尽 可 能 地 低 。4. 前 后 比 前 后 比 也 称 前 后 抑 制 比 ， 定 义 为 尾 瓣 的 最 大 辐 射 方 向 的 功 率密 度 与 主 瓣 最 大 辐 射 方 向 上 的 功 率 密 度 之 比 ， 通 常 用 分 贝 表示 ， 即 bS 0S dB)(lg20lg10 0b0bFBR EESSP （ 8-4-4）方 向 图 的 尾 瓣 也 是 所 不 希 望 的 ， 故 应 尽 量 降 低 。 8.4.2 方 向 性 系 数 方 向 性 函 数 或 方 向 图 能 够 表 示 天 线 各 方 向 辐 射 的 相 对 大 小 ，但 不 能 明 确 表 示 场 在 特 定 方 向 上 能 量 集 中 的 程 度 ， 即 聚 束 能 力 。为 了 定 量 描 述 天 线 辐 射 能 量 的 集 中 程 度 ， 引 入 方 向 性 系 数 。 方 向 性 系 数 定 义 为 在 辐 射 功 率 相 同 的 条 件 下 ， 定 向 天 线 在 主向 远 区 某 点 的 功 率 密 度 与 理 想 的 无 方 向 性 天 线 在 该 点 的 功 率 密 度之 比 ， 即 相 同相 同 ，相 同相 同 ， rPrP EESSD 20 2max0max （ 8-4-5） 方 向 性 系 数 也 可 定 义 为 定 向 天 线 在 主 向 远 区 r 处 得 到 相 同 电 场强 度 E的 条 件 下 ， 理 想 天 线 的 辐 射 功 率 与 被 研 究 天 线 的 辐 射 功 率 之比 ， 即 相 同 ，相 同 ErPPD ,r0 （ 8-4-6） 理 想 的 无 方 向 性 天 线 可 视 为 点 源 天 线 ， 在 空 气 空 间 中 ， 其 辐 射功 率 为 0202020 244 ErSrP （ 8-4-7）对 于 被 研 究 的 天 线 ， 其 辐 射 功 率 为 ESP d),(21d),( 20avr ddsin),(2 220 0 20 2max rFE （ 8-4-8） 由 式 （ 8-4-7） 和 （ 8-4-8） ， 根 据 式 （ 8-4-5） 或 （ 8-4-6） ，可 得 20 0 2 ddsin),( 4FD （ 8-4-9） 欲 使 天 线 的 方 向 性 系 数 大 ， 不 仅 要 求 主 瓣 窄 ， 而 且 要 求 全 空间 的 旁 瓣 电 平 小 。 8.4.3 其 它 电 参 数1. 天 线 效 率 天 线 效 率 定 义 为 天 线 的 辐 射 功 率 与 输 入 功 率 之 比 ， 记 为 ，即 ALr rinrA PP PPP （ 8-4-10） 式 中 ， 为 天 线 的 导 体 损 耗 、 介 质 损 耗 和 感 应 等 损 耗 的 总 和 。 LP由 于 可 视 为 等 效 辐 射 电 阻 的 功 率 损 耗 ， 若 把 视 为 等 效 损耗 电 阻 的 损 耗 功 率 ， 则 有 rP rR LPLR Lr rA RR R （ 8-4-11）可 见 ， 欲 提 高 天 线 效 率 ， 就 要 提 高 ， 减 小 。 常 用 微 波 天 线 的 。 rR LR1 A 2. 天 线 增 益 天 线 增 益 是 综 合 衡 量 天 线 能 量 转 换 和 方 向 特 性 的 一 个 参 数 ，定 义 为 在 输 入 功 率 相 同 的 条 件 下 ， 定 向 天 线 在 主 向 远 区 某 点 的 功率 密 度 与 理 想 无 方 向 性 天 线 在 该 点 的 功 率 密 度 之 比 ， 理 想 无 方 向性 天 线 的 ， 即 。 或 定 义 为 定 向 天 线 在 主 向 远 区 r 处产 生 相 同 电 场 强 度 E的 条 件 下 ， 理 想 天 线 所 需 的 输 入 功 率 与 被 研究 天 线 所 需 的 输 入 功 率 之 比 ， 即1A 0in PP 相 同相 同相 同相 同 rErP PPSSG ,in0,0max in （ 8-4-12） 将 式 （ 8-4-6） 和 式 （ 8-4-10） 代 入 ， 可 得DG A （ 8-4-13） 3. 极 化 形 式 某 天 线 的 极 化 形 式 是 指 在 该 天 线 的 最 大 辐 射 方 向 上 电 场 的 极化 状 态 。 常 用 的 有 线 极 化 波 天 线 和 圆 极 化 波 天 线 两 类 。 线 极 化 波天 线 又 分 为 水 平 极 化 和 垂 直 极 化 两 种 ； 圆 极 化 波 天 线 又 分 左 旋 圆极 化 和 右 旋 圆 极 化 两 种 。 在 通 信 和 雷 达 中 ， 通 常 采 用 线 极 化 波 天线 ， 但 若 相 互 通 信 中 的 一 方 处 于 剧 烈 摆 动 或 高 速 运 动 状 态 时 ， 则常 采 用 圆 极 化 波 天 线 。 例 如 在 电 磁 干 扰 和 电 子 对 抗 应 用 中 ， 就 采用 圆 极 化 波 天 线 。 4. 输 入 阻 抗 天 线 的 输 入 阻 抗 是 指 天 线 馈 电 点 向 天 线 看 入 的 阻 抗 ， 欲 使 天线 效 率 高 ， 就 必 须 使 天 线 与 馈 线 良 好 的 匹 配 。 天 线 的 输 入 阻 抗 定义 为 天 线 输 入 端 （ 馈 电 点 ） 的 电 压 与 电 流 之 比 ， 即 ininininin jXRIUZ （ 8-4-14） 一 般 取 天 线 的 输 入 阻 抗 等 于 馈 线 的 特 性 阻 抗 ， 即 ，可 达 到 无 反 射 匹 配 。 0in ZZ 5. 频 带 宽 度 天 线 的 电 参 数 与 频 率 有 关 ， 当 工 作 频 率 偏 离 所 设 计 天 线 的 中心 频 率 时 ， 会 引 起 天 线 电 参 数 的 变 化 。 天 线 的 频 带 宽 度 定 义 为 所有 电 参 数 均 在 所 要 求 的 范 围 内 时 ， 所 对 应 的 频 率 范 围 ， 简 称 天 线带 宽 。 8.5 对 称 振 子 天 线 由 横 截 面 半 径 远 小 于 波 长 的 金 属 导 线 构 成 的 天 线 称 为 线 天 线 。线 天 线 广 泛 用 于 通 信 、 广 播 电 视 、 雷 达 等 无 线 电 系 统 中 。 这 里 仅讨 论 对 称 振 子 天 线 ， 它 是 一 种 常 用 的 线 天 线 。 8.5.1 对 称 振 子 天 线 的 辐 射 场 对 称 振 子 天 线 由 两 根 直 径 和 长 度 均 相 同 的 导 线 所 构 成 ， 其 结构 如 图 8-5-1所 示 。 设 对 称 振 子 沿 z轴 放 置 ， 其 中 心 位 于 坐 标 原 点 ，每 一 个 臂 长 为 l， 总 长 度 为 2l。图 8-5-1 对 称 振 子 天 线 根 据 传 输 线 理 论 ， 对 称 振 子 上 的 电 流 分 布 可 近 似 表 示 为lzlzlkItzI )(sin),( m （ 8-5-1） 式 中 ， 为 驻 波 电 流 的 波 腹 值 ； 为 相 位 常 数 。mI 2k 由 于 沿 天 线 分 布 的 电 流 不 再 是 振 幅 和 相 位 处 处 相 同 的 均 匀 电流 ， 因 此 不 能 将 整 个 天 线 看 作 一 个 电 基 本 振 子 。 但 可 以 将 对 称 振子 分 解 为 无 限 多 个 电 流 元 ， 每 一 个 电 流 元 即 是 一 个 电 基 本 振 子 。这 无 限 多 个 基 本 振 子 的 辐 射 场 的 叠 加 即 为 天 线 的 辐 射 场 。 为 便 于 计 算 ， 在 对 称 振 子 上 取 对 称 点 z和 -z， 在 两 对 称 点 处 各取 一 个 长 度 相 同 的 电 流 元 。 由 式 （ 8-2-9a） ， 这 两 个 电 基本 振 子 的 辐 射 场 分 别 为 zIez d 1j11 esin2 d)(jd rkr zzIE （ 8-5-2a） 2j22 esin2 d)(jd rkr zzIE （ 8-5-2b）其 中 ， 、 分 别 表 示 z和 -z处 的 电 流 元 与 场 点 的 距 离 。1r 2r 设 场 点 的 位 矢 为 ， ， 故 可 认 为 各 电 流 元 至 场 点 的 距离 矢 径 与 场 点 的 位 矢 相 互 平 行 。 由 图 8-5-1可 知r lr ir rcos1 zrr cos2 zrr ， （ 8-5-3） 将 式 （ 8-5-3） 代 入 （ 8-5-2） ， 并 在 分 母 中 忽 略 ， 即分 母 中 的 可 写 为 ， 此 即 忽 略 各 电 流 元 与 场 点间 距 离 的 不 同 对 远 区 场 振 幅 的 影 响 。 但 是 指 数 因 子 中 的 cosz21,rr rrr 21 zIez d cosz 不 能 忽 略 ， 因 为 的 线 度 为 l ， 而 l 并 不 满 足 。 因 此 各 电流 元 将 在 场 点 引 起 显 著 的 相 位 差 ， 其 影 响 不 可 忽 略 。z l于 是 ， 两 个 对 称 电 流 元 的 辐 射 场 之 和 为 )ee(sin2 d)(jddd 21 jj21 rkrkrzzIEEE rkzkzkzlkrzI jcosjcosjm e)ee)(sinsin2 dj rkzkzlkrzI jm e)coscos()(sinsindj （ 8-5-4） 整 个 对 称 振 子 在 远 区 场 点 所 产 生 的 电 场 为 zzkzlkrIE lrk d)coscos()(sinesinj 0jm rkklklrI jm esin )cos()coscos(2j （ 8-5-5a） rkklklrIEH jm esin )cos()coscos(2j （ 8-5-5b） 由 式 可 见 ， 对 称 振 子 的 辐 射 场 为 球 面 波 ， 电 场 只 有 分 量 ，磁 场 只 有 分 量 ， 是 沿 径 向 传 播 的 TEM波 ， 这 与 电 基 本 振 子 的 辐射 特 性 相 似 。 但 对 称 振 子 的 方 向 性 与 电 基 本 振 子 显 著 不 同 。EH 8.5.2 对 称 振 子 的 方 向 性 函 数 和 方 向 图由 式 （ 8-5-5） 可 知 ， 对 称 振 子 的 方 向 性 函 数 为 sin )cos()coscos(),( klklf （ 8-5-6） 可 见 ， 对 称 振 子 的 方 向 性 函 数 仅 与 有 关 ， 而 与 无 关 。 因此 ， H面 方 向 图 是 个 圆 ， 也 就 是 说 H面 无 方 向 性 ； E面 方 向 图 关 于z 轴 对 称 ， 也 关 于 的 平 面 对 称 ， 其 形 状 随 对 称 振 子 的 电 长度 的 不 同 而 不 同 。 图 8-5-2分 别 给 出 了 、 、 和 四 种 情 况 下 ， 沿 z方 向 放 置 的 对 称 振 子 的 E面 方 向 图 。 2 l 4l 2l 43ll 图 8-5-2 不 同 电 长 度 对 称 振 子 的 E面 方 向 图 由 图 可 见 ， 当 时 ， E面 方 向 图 均 为 8字 形 ， 最 大 辐 射 方向 在 的 方 向 上 ， 且 随 电 长 度 的 增 加 ， 波 瓣 变 尖 锐 ； 当 时 ， 方 向 图 除 主 瓣 外 ， 还 出 现 旁 瓣 ， 这 是 由 于 对 称 振子 上 出 现 了 反 向 电 流 ； 当 时 ， E面 方 向 图 是 相 同 大 小 的 四 个波 瓣 ， 其 立 体 方 向 图 为 两 个 波 瓣 。 通 常 选 取 ， 常 用 的 是 的 半 波 对 称 振 子 ， 其 方 向 性 函 数 为o90 l2 l2l4l sin )cos2cos(),(),( Ff （ 8-5-7） 2l 8.5.3 对 称 振 子 的 辐 射 功 率 与 辐 射 电 阻 以 对 称 振 子 的 中 点 为 球 心 ， 以 r为 半 径 作 一 球 面 ， 且 ，并 设 空 间 为 空 气 填 充 ， 则 其 总 辐 射 功 率 为 lr ddsin21d 220 0 20avr rESP dsin )cos()coscos(4 0 202m klklI （ 8-5-8） 辐 射 电 阻 为 dsin )cos()coscos(2 0 20r klklR （ 8-5-9） 2m0 202mr 56.36dsin )cos2(cos4 IIP )(13.73dsin )cos2(cos2 0 20r R （ 8-5-10）（ 8-5-11） 对 于 半 波 对 称 振 子 ， 将 代 入 上 两 式 ， 可 得 ， 其 辐 射功 率 和 辐 射 电 阻 分 别 为 4l 8.6 均 匀 直 线 阵 为 了 提 高 天 线 的 方 向 性 或 得 到 所 需 的 辐 射 方 向 ， 往 往 采 用 阵列 天 线 ， 简 称 天 线 阵 。 所 谓 天 线 阵 是 将 许 多 相 同 的 辐 射 单 元 按 一定 规 律 排 列 构 成 的 辐 射 系 统 。 构 成 天 线 阵 的 辐 射 单 元 称 为 阵 元 ，它 可 以 是 任 意 形 式 的 独 立 天 线 。 这 些 阵 元 的 中 心 可 以 是 排 列 在 一条 直 线 上 或 一 平 面 上 或 三 维 空 间 内 ， 分 别 称 为 直 线 阵 或 面 阵 或 体阵 。 这 里 只 讨 论 直 线 阵 。 如 果 直 线 阵 由 N个 具 有 相 同 电 流 振 幅 、 电 流 相 位 按 等 差 级 数递 增 或 递 减 的 阵 元 等 间 距 、 同 极 化 方 向 排 列 构 成 ， 则 称 为 N元 均匀 直 线 阵 ， 各 阵 元 中 心 的 连 线 称 为 阵 轴 。 第 i 个 阵 元 上 的 电 流 为 NiIII iii 3,2,1,ee 1)-(j1j1 （ 8-6-1）第 i个 阵 元 中 心 距 远 区 场 点 的 距 离 可 表 示 为 设 N元 均 匀 直 线 阵 的 阵 轴 沿 x方 向 ， 阵 元 为 对 称 振 子 ， 振 子 轴线 沿 z方 向 ， 相 邻 阵 元 的 间 距 为 d， 相 邻 阵 元 电 流 的 相 位 差 为 ，各 阵 元 至 场 点 的 距 离 矢 径 分 别 为 ， 与 阵 轴 之间 的 夹 角 为 ， 如 图 8-6-1