离散型随机变量的方差(展示课)

美 丽 丰 中 魅 力 丰 中离 散 性 随 机 变 量 的 方 差 一 、 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 值 nnii pxpxpxpxXE 2211)(P 1x ix2x 1p 2p ip nxnpX二 、 数 学 期 望 的 性 质 bXaEbaXE )()(随 机 变 量 的 均 值 与 样 本 的 平 均 值 有 何 联 系 与 区 别 ？随 机 变 量 的 均 值 是 常 数 ， 而 样 本 的 平 均 值 是 随 着 样 本 的 不 同而 变 化 的 ， 因 此 样 本 的 平 均 值 是 随 机 变 量 .对 于 简 单 随 机 样 本 ， 随 着 样 本 容 量 的 增 加 ， 样 本 的 平 均 值 越 来越 接 近 总 体 的 平 均 值 ， 因 此 常 用 样 本 的 平 均 值 来 估 计 总 体 的 均 值 . 复 习 、 探 究 要 从 两 名 同 学 中 挑 选 出 一 名 ， 代 表 班 级 参 加 射 击 比 赛 .根 据 以 往 的 成 绩 记 录 ， 第 一 名 同 学 击 中 目 标 靶 的 环 数 的分 布 列 为 1X1XP 5 6 7 8 9 100.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10第 二 名 同 学 击 中 目 标 靶 的 环 数 的 分 布 列 为 2X2XP 5 6 7 8 90.01 0.05 0.20 0.41 0.33应 该 派 哪 名 同 学 参 赛 ？ 1 ,E X 2E X 8 8 看来选不出谁参赛了，谁能帮帮我？ 、 随 机 变 量 的 方 差（ 1） 分 别 画 出 的 分 布 列 图 .1 2,X XO 5 6 7 1098P 1X0.10.20.30.40.5 O 5 6 7 98 P 2X0.10.20.30.40.5（ 2） 比 较 两 个 分 布 列 图 形 ， 哪 一 名 同 学 的 成 绩 更 稳 定 ？ 除 平 均 中 靶 环 数 以 外 ， 还 有 其 他 刻 画 两 名 同 学 各 自射 击 特 点 的 指 标 吗 ？第 二 名 同 学 的 成 绩 更 稳 定 .1、 定 性 分 析 2、 定 量 分 析怎 样 定 量 刻 画 随 机 变 量 的 稳 定 性 ？（ 1） 样 本 的 稳 定 性 是 用 哪 个 量 刻 画 的 ？ 方 差（ 2） 能 否 用 一 个 与 样 本 方 差 类 似 的 量 来 刻 画 随 机 变 量 的 稳 定 性 呢 ？（ 3） 随 机 变 量 X 的 方 差设 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为XP 1x 2x ix nx1p 2p ip np则 描 述 了 相 对 于 均 值的 偏 离 程 度 . 2( )ix E X ( 1,2,., )ix i n E X而 为 这 些 偏 离 程 度 的 加 权 平 均 ， 刻 画了 随 机 变 量 X 与 其 均 值 E（ X） 的 平 均 偏 离 程 度 .我 们 称 D（ X） 为随 机 变 量 X 的 方 差 .其 算 术 平 方 根 为 随 机 变 量 X的 标 准 差 。 21 ( )n i iiD X x E X p D X 3、 对 方 差 的 几 点 说 明（ 1） 随 机 变 量 的 方 差 和 标 准 差 都 反 映 了 随 机 变 量 取 值 偏 离 于 均 值 的 平 均 程 度 .方 差 或 标 准 差 越 小 ， 则 随 机 变 量 偏 离 于 均 值 的 平 均 程 度 越 小 .说 明 ： 随 机 变 量 集 中 的 位 置 是 随 机 变 量 的 均 值 ； 方 差 或 标 准 差 这 种 度 量 指 标 是 一 种 加 权 平 均 的 度 量 指 标 .（ 2） 随 机 变 量 的 方 差 与 样 本 的 方 差 有 何 联 系 与 区 别 ？随 机 变 量 的 方 差 是 常 数 ， 而 样 本 的 方 差 是 随 着 样 本 的 不 同而 变 化 的 ， 因 此 样 本 的 方 差 是 随 机 变 量 .对 于 简 单 随 机 样 本 ， 随 着 样 本 容 量 的 增 加 ， 样 本 方 差 越 来越 接 近 总 体 方 差 ， 因 此 常 用 样 本 方 差 来 估 计 总 体 方 差 . 、 公 式 运 用1、 请 分 别 计 算 探 究 中 两 名 同 学 各 自 的 射 击 成 绩 的 方 差 .1XP 5 6 7 8 9 100.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.102XP 5 6 7 8 90.01 0.05 0.20 0.41 0.33 10 21 15 ( 8) ( )iD X i P X i 9 22 25 ( 8) ( )iD X i P X i 1.50, 0.82因 此 第 一 名 同 学 的 射 击 成 绩 稳 定 性 较 差 ， 第 二 名 同 学 的 射 击成 绩 稳 定 性 较 好 ， 稳 定 于 8环 左 右 .如 果 其 他 班 级 参 赛 选 手 的 射 击 成 绩 都 在 9环 左 右 ， 本 班应 该 派 哪 一 名 选 手 参 赛 ？ 如 果 其 他 班 级 参 赛 选 手 的 成 绩在 7环 左 右 ， 又 应 该 派 哪 一 名 选 手 参 赛 ？ 3、 方 差 的 性 质 2( )D aX b a D X （ 1） 线 性 变 化平 移 变 化 不 改 变 方 差 ， 但 是 伸 缩 变 化 改 变 方 差（ 2） 方 差 的 几 个 恒 等 变 形 2 1 ( )n i iiD X x E X p 2( )E X E X 2 2( )E X E X 注 ： 要 求 方 差 则 先 求 均 值 2、 两 个 特 殊 分 布 的 方 差（ 1） 若 X 服 从 两 点 分 布 ， 则 (1 )D X p p （ 2） 若 ， 则 ( , )X B n p (1 )D X np p 4、 应 用 举 例例 4 随 机 抛 掷 一 枚 质 地 均 匀 的 骰 子 ,求 向 上 一 面 的 点 数 X的 均 值 、方 差 和 标 准 差 .解 ： 抛 掷 骰 子 所 得 点 数 X 的 分 布 列 为 161616161616P 654321X 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 3.56 6 6 6 6 6E X 2 2 2 22 21 1 1 1(1 3.5) (2 3.5) (3 3.5) (4 3.5)6 6 6 61 1(5 3.5) (6 3.5) 2.926 6D X 从 而 ;1.71DX . （ 1） 计 算 例 5 有 甲 乙 两 个 单 位 都 愿 意 聘 用 你 ， 而 你 能 获 得 如 下 信 息 ：甲 单 位 不 同 职 位 月 工 资 X1/元 1200 1400 1600 1800获 得 相 应 职 位 的 概 率 P1 0.4 0.3 0.2 0.1乙 单 位 不 同 职 位 月 工 资 X2/元 1000 1400 1800 2200获 得 相 应 职 位 的 概 率 P2 0.4 0.3 0.2 0.1根 据 工 资 待 遇 的 差 异 情 况 ， 你 愿 意 选 择 哪 家 单 位 ？（ 2） 决 策 问 题解 ： 根 据 月 工 资 的 分 布 列 ， 利 用 计 算 器 可 算 得 1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400E X 2 2 21 (1200-1400) 0. 4 (1400-1400 ) 0.3 (1600 -1400 ) 0.2D X 2(1800-1400) 0. 1 40 000 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400 E X 2 2 22 (1000-1400) 0. 4 (1 400-1400) 0.3 (1800-1400) 0.2 D X 2+ (2200-1400 ) 0.l = 160000 . 因 为 ， 所 以 两 家 单 位 的 工 资 均 值相 等 ， 但 甲 单 位 不 同 职 位 的 工 资 相 对 集 中 ， 乙 单 位 不 同 职 位 的 工 资相 对 分 散 这 样 ， 如 果 你 希 望 不 同 职 位 的 工 资 差 距 小 一 些 ，就 选 择 甲 单 位 ； 如 果 你 希 望 不 同 职 位 的 工 资 差 距 大 一 些 ，就 选 择 乙 单 位 1 2 1 2, ,E X E X D X D X 2 1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.2 2200 0.1 1400 E X 2 2 22 (1000-1400) 0. 4 (1 400-1400) 0.3 (1800-1400) 0.2 D X 2+ (2200-1400 ) 0.l = 160000 . 1 1200 0.4 + 1 400 0.3 + 1600 0.2 + 1800 0.1 =1400E X 2 2 21 (1200-1400) 0. 4 (1400-1400 ) 0.3 (1600 -1400 ) 0.2D X 2(1800-1400) 0. 1 40 000 、 练 习 1 .已 知 ， 则 的 值 分 别 是 （ ） , , 8, 1.6B n p E D ,n pA B C. D.100 0.08和 20 0.4和 10 0.2和 10 0.8和 D 2. 有 一 批 数 量 很 大 的 商 品 的 次 品 率 为 1%， 从 中 任 意 地 连 续 取 出200件 商 品 ， 设 其 中 次 品 数 为 X， 求 E（ X） ， D（ X）E（ X） =2 ; D（ X） =1.98 3.有 场 赌 博 ， 规 则 如 下 ： 如 掷 一 个 骰 子 ，出 现 1， 你 赢 8元 ； 出 现 2或 3或 4， 你 输 3元 ； 出现 5或 6， 不 输 不 赢 这 场 赌 博 对 你 是 否 有 利 ? 1 1 1 18 3 0 .6 2 3 6E 红 色 预 警 ： 此局对你不利，劝君珍爱生命，远离赌博！ 1、 离 散 型 随 机 变 量 X 的 均 值 （ 数 学 期 望 ） 1n i iiE X x p2、 性 质 线 性 性 质 (1) ( )E aX b aE X b (2) ( )E aX bY aE X bE Y 3、 两 种 特 殊 分 布 的 均 值（ 1） 若 随 机 变 量 X服 从 两 点 分 布 ， 则 E X p（ 2） 若 ， 则 ( , )X B n p E X np均 值 反 映 了 离 散 型 随 机 变 量 取 值 的 平 均 水 平 . 小 结 5、 求 离 散 型 随 机 变 量 X的 方 差 、 标 准 差 的 一 般 步 骤 ： D X 根 据 方 差 、 标 准 差 的 定 义 求 出 D X 理 解 X 的 意 义 ， 写 出 X 可 能 取 的 全 部 值 ； 求 X取 各 个 值 的 概 率 ， 写 出 分 布 列 ； 根 据 分 布 列 ， 由 期 望 的 定 义 求 出 E（ X） ； 4、 熟 记 方 差 计 算 公 式 21 ( )n i iiD X x E X p 2( )E X E X 2 2( )E X E X 8、 对 于 两 个 随 机 变 量 和 在 与 相 等 或很 接 近 时 ， 比 较 和 ， 可 以 确 定 哪 个 随 机 变 量的 性 质 更 适 合 生 产 生 活 实 际 ， 适 合 人 们 的 需 要 .1X 2X 1E X 2E X 1D X 2D X7、 掌 握 方 差 的 线 性 变 化 性 质 2( )D aX b a D X 6、 能 熟 练 地 直 接 运 用 两 个 特 殊 分 布 的 方 差 公 式（ 1） 若 X 服 从 两 点 分 布 ， 则 (1 )D X p p （ 2） 若 ， 则 ( , )X B n p (1 )D X np p ( )E aX b aE X b