空间解析几何复习重点

（ 一 ） 向 量 代 数向量的表示方向余弦内积外积混合积 向量的分解式：, zyx aaaa .,轴上的投影分别为向量在其中zyxaaa zyx kajaiaa zyx 在三个坐标轴上的分向量：kajaia zyx ,向量的坐标表示式：向量的坐标：zyx aaa ,3、 向 量 的 表 示 法 222| zyx aaaa 向量模长的坐标表示式222cos zyx x aaa a 222cos zyx y aaa a 222cos zyx z aaa a 向量方向余弦的坐标表示式)1coscoscos( 222 4、 数 量 积 cos| baba 其中为a与b的夹角 (点积、内积) zzyyxx babababa 数量积的坐标表达式ba 0 zzyyxx bababa 222222cos zyxzyx zzyyxx bbbaaa bababa 两向量夹角余弦的坐标表示式 5、 向 量 积 sin| bac 其中为a与b的夹角c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合 右手系. (叉积、外积)kbaba jbabaibaba xyyx zxxzyzzy )( )()( 向量积的坐标表达式ba zyx zyx bbb aaa kjiba ba / zzyyxx bababa cba cba )( zyx zyx zyx ccc bbb aaa6、 混 合 积 重点 1-2，1-4，1-5 （ 二 ） 直 线 和 平 面 方 程平面方程直线方程平面与直线位置关系距离、夹角异面直线平面束 平面的点位式方程0 0 01 1 12 2 2 0 x x y y z zX Y ZX Y Z 0 DCzByAx 平 面 的 一 般 方 程 0000 zzZyyYxxX已 知 一 个 平 面 过 空 间 中 的 一 点 且 其 法 向 量 为 则 平 面 的 点 法 式 方 程 为 ： ZYXn , 0000 , zyxM pzznyymxx 000 直 线 的 对 称 式 方 程 ptzz ntyy mtxx 000直 线 的 参 数 方 程 002222 1111 DzCyBxA DzCyBxA空 间 直 线 的 一 般 方 程 平面与直线位置关系直线与平面平行平面与平面平行两直线异面的判定 平面束定理2.3.1 设两个平面交于一条直线 ，则以 为轴的共轴平面束方程是 其中 是不全为零的任意实数.1 1 1 1 12 2 2 2 2: 0,: 0Ax B y C z DA x B y C z D 1 1 1 1 2 2 2 2 0,Ax By Cz D Ax By Cz D , l适用于求过已知直线的平面方程 距离、夹角点到直线的距离0 .M Md vv 两异面直线之间的距离 1 2 1 21 2, , .M Md v vv v 0111 111 ZYX ZYX zzyyxx 0222 222 ZYX ZYX zzyyxx 公 垂 线 方 程异面直线 例2.4.5 试求直线在平面 上的射影直线方程，并求 与 的夹角.解 直线 的方向向量为为简单起见，取为 又平面 的法向量 依公式(2.4.9)，直线 与平面 的夹角 满足 1 0,: 1 0 x y zl x y z : 0 x y z l l 1,1, 1 1, 1,1 2 0,1,1 l 6sin .3 n vn v6 arcsin .3 所以 1,1,1 .v 1,1,1 .n下面求直线 在平面 上的射影直线方程.l 以直线 为轴的平面束方程为 即在平面束中找一个平面与平面 垂直，那么依两平面垂直的条件，有解得 ，于是经过直线 且与平面 垂直的平面方程为所求的射影直线方程为l 1 1 0,x y z x y z 0,x y z 1 1 1 0, : 1: 1 l1 0,y z 0,1 0.x y zy z 重点、难点 2-4 （ 三 ） 常 见 的 曲 面柱面方程锥面方程 旋转曲面方程曲线族生成的曲面直纹曲面 柱面由它的准线和母线方向所确定柱面方程 , , , , .x x y y z zl m nF x y zG x y z 图3.1 .锥面由它的准线和顶点所确定锥面方程 设点 不是顶点 ,则点 在锥面上当且仅当由点 与 所确定的直线必与准线 相交于某点 ,因此(3.2.3) , ,P x y z , ,P x y z , , , , .x x y y z zx x y y z zF x y zG x y z 0P0P PP . 旋转曲面方程 点 当且仅当存在点 ,使得点 位于过点 的纬圆上, 因此有从上述方程组中消去 ,便得到旋转曲面 的一般方程. P x,y,z S 1 1 1 1P x ,y ,z (3.3.1) 2 2 2 2 2 20 0 0 1 0 1 0 1 01 1 11 1 11 1 1 ,0,0,0.x x y y z z x x y y z zl x x m y y n z zF x ,y ,zG x ,y ,z P1P 1 1 1, ,x y z S P1P0OX YZ 五种常见的二次曲面1222222 Czbyax 1222222 czbyax1222222 czbyax zqypx 22 22 zqypx 22 22（ 与 同号）p q 2 2 =16 4x y z3 2 4 1=0 x y z 习题4在双曲抛物面 上, 试求平行于平面 的直母线方程. 解 族直母线 的方向向量为依题意,于是 是所求的一条直母线. ,4 24 2x yx y z 1 1, , .2 4 4 1 13 2 4 0,2 4 4 2 12 1 1x y z 4 22 1 2x y z 2 (此时 ).同法可求出属于 族的另一条直母线为 直纹曲面 解 在已知二直线上分别取点 和 其中 是参数，于是动直线方程为因直线(3.4.8)与已知双曲线相交，令 ,有故得 ，代入 中得 ( , , )c ( , , )c , (3.4.8).x y z cc x y ,x y xy c . c 0z , (3.4.9) ,y z c , ( )x z c c ,xy c z 例3.4.7 求与两直线 与 均相交，且与双曲线 也相交的动直线所产生的曲面方程.消去参数即得所求曲面方程为 .z xy c 曲线族生成曲面 重点柱面方程锥面方程 旋转曲面方程曲线族生成的曲面直纹曲面五种常见的二次曲面 （ 四 ） 二 次 曲 面 的 一 般 理 论坐标变换利用旋转变换和平移（绕轴旋转）化简二次曲面的方程 坐标变换 11 12 1321 22 2331 32 33, , , , ,i j k i j k c c cc c cc c c 11 12 13 021 22 031 32 33 0,.x c x c y c z xy c x c y c z yz c x c y c z z 23+ + + + 课后作业： P122 1,3,5选做：9 4-2 课件、作业。