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1)“大化大化小小”.2)“常代变”把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共26页3)“近似近似和和”4)“取极限”(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共26页2.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线.称为被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共26页若 为空间曲线弧,记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记,对坐标的曲线积分也可写作类似地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共26页3.性质性质(1)若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)用L 表示 L 的反向弧,则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共26页二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,证明:下面先证存在,且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共26页对应参数设分点根据定义由于对应参数因为L 为光滑弧,同理可证机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页/共26页特别是,如果 L 的方程为则对空间光滑曲线弧:类似有定理 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共26页例例1.计算计算其中L 为沿抛物线解法1 取 x 为参数,则解法2 取 y 为参数,则从点的一段.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共26页例例2.计算计算其中 L 为(1)半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2)从点 A(a,0)沿 x 轴到点 B(a,0).解:(1)取L的参数方程为(2)取 L 的方程为则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共26页例例3.计算计算其中L为(1)抛物线 (2)抛物线 (3)有向折线 解:(1)原式(2)原式(3)原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共26页例例4.设在力设在力场场作用下,质点由沿移动到解:(1)(2)的参数方程为试求力场对质点所作的功.其中为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共26页例例5.求求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解:取 的参数方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共26页三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为已知L切向量的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共26页类似地类似地,在在空间曲线空间曲线 上的两类曲线积分的联系上的两类曲线积分的联系是是令记 A 在 t 上的投影为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共26页二者夹角为 例例6.设设曲线段 L 的长度为s,证明续,证:设说明:上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共26页例例7.将积分化为对弧长的积分,解：其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共26页1.定义2.性质(1)L可分成 k 条有向光滑曲线弧(2)L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共26页3.计算计算 对有向光滑弧 对有向光滑弧机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共26页4.两类曲线积分的联系 对空间有向光滑弧对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共26页原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1.设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:(解见 P139 例5)F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功.思考:若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共26页2.已已知知为折线 ABCOA(如图),计算提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共26页备用题备用题 1.解:线移动到向坐标原点,其大小与作用点到 xoy 面的距离成反比.沿直求 F 所作的功 W.已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共26页2.设曲线设曲线C为曲为曲面面与曲面从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线 C 的参数方程;(2)计算曲线积分解:(1)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共26页(2)原式=令利用“偶倍奇零”机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共26页感谢您的欣赏！第26页/共26页
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