《数学模型》淋雨模型-数学模型淋雨模型

淋 雨 量 模 型 要 在 雨 中 从 一 处 沿 直 线 跑 到 另 一 处 ， 若 雨 速 为 常数 且 方 向 不 变 ， 试 建 立 数 学 模 型 讨 论 是 否 跑 得 越 快淋 雨 量 越 少 。 将 人 体 简 化 成 一 个 长 方 体 ， 高 a=1.5m（ 颈 部 以下 ） ， 宽 b=0.5m， 厚 c=0.2m， 设 跑 步 的 距 离d=1000m， 跑 步 的 最 大 速 度 vm=5m/s， 雨 速 u=4m/s，降 雨 量 =2cm/h， 及 跑 步 速 度 为 v， 情 形 1、 不 考 虑 雨 的 方 向 ， 设 降 雨 淋 遍 全 身 ， 以最 大 速 度 跑 步 ， 估 计 跑 完 全 程 的 总 淋 雨 量 ;问 题提 出问 题分 析 情 形 2、 雨 从 迎 面 吹 来 ， 雨 线 与 跑 步 方向 在 同 一 平 面 内 ， 且 与 人 体 的 夹 角 为 ，如 图 1.建 立 总 淋 雨 量 与 速 度 v及 参 数 a， b，c， d， u， ， 之 间 的 关 系 ， 问 速 度 v多大 ， 总 淋 雨 里 最 少 。 计 算 =0， =30 的总 淋 雨 量 . 情 形 3、 雨 从 背 面 吹 来 ， 雨 线 方 向 跑 步 方向 在 同 一 平 面 内 ， 且 与 人 体 的 夹 角 为 ，如 图 2.建 立 总 淋 雨 量 与 速 度 v及 参 数 a， b，c， d， u， ， 之 间 的 关 系 ， 问 速 度 v多 大 ，总 淋 雨 量 最 小 。 计 算 =30 的 总 淋 雨 量 . 淋 雨 量 是 指 人 在 雨 中 行 走 时 全 身 所 接 收 到 得雨 的 体 积 ， 可 表 示 为 单 位 时 间 单 位 面 积 上 淋 雨 的 多少 与 接 收 雨 的 面 积 和 淋 雨 时 间 的 乘 积 。可 得 ： 淋 雨 量 （ V） =降 雨 量 （ ） 人 体 淋 雨 面 积 （ S） 淋 浴 时 间 （ t） 时 间 （ t） =跑 步 距 离 （ d） 人 跑 步 速 度 （ v） 由 得 ： 淋 雨 量 （ V） = S d/v （ 1） 、 将 人 体 简 化 成 一 个 长 方 体 ， 高 a=1.5m（ 颈 部 以下 ） ， 宽 b=0.5m， 厚 c=0.2m.设 跑 步 距 离 d=1000m， 跑 步 最大 速 度 vm=5m/s， 雨 速 u=4m/s， 降 雨 量 =2cm/h， 记 跑 步 速度 为 v； （ 2） 、 假 设 降 雨 量 到 一 定 时 间 时 ， 应 为 定 值 ； （ 3） 、 此 人 在 雨 中 跑 步 应 为 直 线 跑 步 ； （ 4） 、 降 雨 地 区 是 地 面 是 平 面 且 不 考 虑 分 的 因 素 ； （ 5） 、 降 雨 时 ， 雨 在 空 中 是 均 匀 分 布 的 。模 型假 设 情 形 1建 立 及 求 解 ： 设 不 考 虑 雨 的 方 向 ， 降 雨 淋 遍 全 身 ， 则 淋 雨 面 积 ： S 2ab+2ac+bc 雨 中 奔 跑 所 用 时 间 为 ： t=d/v 总 降 雨 量 V S d/v 2cm/h=2 10-2/3600 (m/s) 将 相 关 数 据 代 入 模 型 中 ， 可 解 得 ： S 2.2（ ） V 0.00244446 (cm)=2.44446 (L)模 型建 立求 解 情 形 2建 立 及 求 解 ： 若 雨 从 迎 面 吹 来 ， 雨 线 与 跑 步 方 向 在 同 一 平 面内 ， 且 与 人 体 的 夹 角 为 .， 则 淋 雨 量 只 有 两 部 分 ：顶 部 淋 雨 量 和 前 部 淋 雨 量 . （ 如 图 1） 设 雨 从 迎 面 吹来 时 与 人 体 夹 角 为 . ， 且 0 90 ， 建 立 a， b， c，d， u， ， 之 间 的 关 系 为 ：（ 1） 、 考 虑 前 部 淋 雨 量 ： （ 由 图 可 知 ） 雨 速 的 水平 分 量 为 且 方 向 与 v相 反 ， 故 人 相 对 于 雨 的水 平 速 度 为 ： 则 前 部 单 位 时 间 单 位 面 积 淋 雨 量 为 ： 又 因 为 前 部 的 淋 雨 面 积 为 ： ， 时 间 为 ： d/v 于 是 前 部 淋 雨 量 V2为 ： 即 ： sinu vsinu u/vsinu ）（ ba v/du/vsinuV2 ba vu/vsinuaV2 db （ 2） 、 考 虑 顶 部 淋 雨 量 ： （ 由 图 可 知 ） 雨 速 在 垂 直 方向 只 有 向 下 的 分 量 ， 且 与 v无 关 ， 所 以 顶 部 单 位 时 间 单 位面 积 淋 雨 量 为 ， 顶 部 面 积 为 ， 淋 雨 时 间为 ， 于 是 顶 部 淋 雨 量 为 ： 由 可 算 得 总 淋 雨 量 : cos cb v/d v/cosbV1 dc vu/vsinuav/coscbVVV 21 dbd代 入 数 据 求 得 ： 由 V（ v)函 数 可 知 ： 总 淋 雨 量 （ V） 与 人 跑 步 的 速 度（ v） 以 及 雨 线 与 人 的 夹 角 （ ） 两 者 有 关 。v1800 v875.1sin5.7cosV 对 函 数 V（ v） 求 导 ， 得 ： 显 然 ： 0对 式 求 导 ， 易 知 u sin时 ， 且 0 90 ， 对 式 求 导 ， 解 得 ： ( )、 当 1.5sin 0.2 cos0时 ， 即 ： tan2/15,即 V0时 ， 即 ： tan2/15,即 V0；从 而 推 出 ， 总 淋 雨 量 （ V） 随 着 速 度 （ v） 的 增 加 而 增 加 ，所 以 ， 当 速 度 （ v） 取 最 小 ，即 v=u sin 总 淋 雨 量 最 小 。 当 30 ， tan2/15 ， 由 模 型 分 析 的 ， 当 v=u sin=4 1/2=2（ m/s）总 淋 雨 量 最 小 ， 且 V=0.0002405（ m） =0.2405(L)2v180 cos2.0sin5.1V ）（ （ 1） 在 该 模 型 中 考 虑 到 雨 的 方 向 问 题 ， 这 个 模 型 跟 模 型二 相 似 ， 将 模 型 二 与 模 型 三 综 合 起 来 跟 实 际 的 生 活 就 差 不多 很 相 似 了 。 由 这 三 个 模 型 可 以 得 出 在 一 定 的 速 度 下 人跑 的 越 快 淋 雨 量 就 越 少 。 （ 2） 若 雨 迎 面 吹 来 时 ， 跑 得 越 快 越 好 （ 3） 若 雨 从 背 面 吹 来 时 ， 分 为 两 种 情 况 ： 当 tanc/a时 ， 跑 步 速 度 v=u sin时 V最 小 ； 当 tanc/a时 ， 跑 得 越 快 越 好 。模 型解 释