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一 、 复 习 引 入定 义 : (三 线 合 一 )等 腰 三 角 形有 两 边 相 等 的 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 。性 质 1: 等 腰 三 角 形 的 两 个 底 角 相 等 。(等 边 对 等 角 )性 质 2: 等 腰 三 角 形 的 底 边 上 的 中 线 和 高 线 、顶 角 平 分 线 互 相 重 合 。 OA B 如 图 , 位 于 海 上 A、 B两 处 的 两 艘 救 生 船 接 到 O处遇 险 船 只 的 报 警 , 当 时 测 得 A= B。 如 果 这 两 艘 救生 船 以 同 样 的 速 度 同 时 出 发 , 能 不 能 同 时 赶 到 出 事 地 点( 不 考 虑 风 浪 因 素 ) ?问 题 情 境 : 探究新知 操 作 一做 一 做 你 发 现 了 什 么 结 论 ? 其 他 同 学 的 结 果 与 你的 相 同 吗 ? 操 作 二量 一 量 , 线 段 AB与 AC的 长 度 。画 ABC.使 B C 30AB=AC 怎 样 用 数学 推 理 进行 证 明 呢 ? AB CD1 2已 知 : 如 图 ,在 ABC中 , B= C。求 证 : AB=AC 你 还 有 其他 证 法 吗 ?证 明 : 作 BAC的 平 分 线 AD 1= 2在 BAD和 CAD中如 果 一 个 三 角 形 有 两 个 角 相 等 ,那 么 这 两 个 角 所 对 的 边 也 相 等 B= C(已 知 ) 1= 2(已 证 )AD=AD (公 共 边 ) AB= AC (全 等 三 角 形 的 对 应 边 相 等 ) BAD CAD (A.A.S.) 证 明 : 作 AD BC, 垂 足 为 D ADB= ADC=900在 BAD和 CAD中 , B= C(已 知 ) ADB= ADC(已 证 ) AD=AD(公 共 边 ) BAD CAD( A.A.S.) AB=AC( 全 等 三 角 形 的 对 应边 相 等 )已 知 : 如 图 ,在 ABC中 , B= C。求 证 : AB=ACAB CD AB C如 果 一 个 三 角 形 有 两 个 角 相 等 , 那 么这 两 个 角 所 对 的 边 也 相 等几 何 语 言 : B = C (已 知 ) AB=AC(等 角 对 等 边 ) 等 腰 三 角 形 的 判 定 定 理 :(简 写 成 “ 等 角 对 等 边 ” )。注 意 : 在 同 一 个三 角 形 中 应 用 哟 ! 等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定 有 区 别 吗 ?性 质 是 :1.等 边 等 角 2.三 线 合 一判 定 是 :等 角 等 边 已 知 :如 图 ,DE BC, 1= 2.求 证 :BD=CE. 证 明 : DE BC 1= B, 2= C 1= 2 AD=AE(等 角 对 等 边 ) B= C(等 量 代 换 ) AB=AC (等 角 对 等 边 ) AB-AD=AC-AE 即 BD=CE B CEAD 21 已 知 : 如 图 , AD BC, BD平 分 ABC求 证 : AB=AD AB CD证 明 : AD BC ADB= DBC BD平 分 ABC ABD= DBC ABD= ADB(等 量 代 换 ) AB=AD(等 角 对 等 边 ) AB=AC (等 角 对 等 边 ) 已 知 : 在 ABC 中 , 1= 3, 2= 4, AD平 分 BAC。 求 证 : AD BC AB CD1 2 34证 明 : 1= 3, 2= 4 1+ 2= 3+ 4 即 ABC= ACB AB=AC (等 角 对 等 边 ) AD平 分 BAC BAD= CAD AD在 等 腰 ABC 的 顶 角 的 角 平 分 线 上 AD BC (等 腰 三 角 形 的 “ 三 线 合 一 ” ) 例 : 如 图 ,上 午 10 时 , 一 条 船 从 A处 出 发 以 20海 里每 小 时 的 速 度 向 正 北 航 行 , 中 午 12时 到 达 B处 , 从 A、B望 灯 塔 C, 测 得 NAC=40 NBC=80 求 从 B处 到灯 塔 C的 距 离 解 : NAC=40 NBC=80 C= NBC- NAC =80 -40 = 40 C = A BA=BC( 等 角 对 等 边 ) AB=20 ( 12-10) =40( 海 里 ) BC=40 ( 海 里 )答 : B处 到 达 灯 塔 C的 距 离 为 40海 里 。小试牛刀8040 NBAC 北 在 ABC中 , AB=AC, ABC和 ACB的 平 分 线 交 于 点 O.过 O作 EF BC交 AB于 E, 交 AC于 F.请 你 写 出 图 中 所 有等 腰 三 角 形 , 并 探 究 EF、 BE、 FC之 间 的 关 系 2 ABO , 3 ACO OAB CE F若 ABAC, 其 他条 件 不 变 , 图 中还 有 等 腰 三 角 形吗 ? (1)中 结 论 还成 立 吗 ?解 : EF=BE+CF 理 由 如 下 : AB CE F1 32 4 EF BC 1 2 , 3 4 BO、 CO分 别 平 分 ABC、 ACB 1 ABO 4 ACO BE EO FC=FO (等 角 对 等 边 ) EF=EO+FO EF BE+FC 求 证 : 如 果 三 角 形 一 个 外 角 的 平 分 线 平 行 于 三角 形 的 一 边 , 那 么 这 个 三 角 形 是 等 腰 三 角 形 。EB A DC21 已 知 : 如 图 , CAE是 ABC的 外 角 , 1= 2, AD BC求 证 : AB=AC分 析 : 要 证 AB=AC, 就 要 证 B= C, 而 已知 有 1= 2, 只 要 找 出 B、 C与 1、 2的 关 系 就 可 以 了 。 解 : AD BC 1= B (两 直 线 平 行 , 同 位 角 相 等 ) 2 C(两 直 线 平 行 , 内 错 角 相 等 ) 1= 2 B C(等 量 代 换 ) AB=AC (等 角 对 等 边 )EB A DC21已 知 : 如 图 , CAE是 ABC的 外 角 , 1= 2,AD BC。 求 证 : AB=AC AB C从以上讲解我们可以得到什么结论?已 知 : 在 ABC中 , A= B= C求 证 : AB=AC=BC 这是由判定定理推导出的一个定理,即判定一个三角形是等边三角形的一种方法。推 论 1: 三 个 角 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 。 符 号 语 言 :在 ABC 中 , A= B = C , ABC 是 等 边 三 角 形 细 心 观 察 , 探 索 性 质 等 边 三 角 形 的 判 定 定 理 1: 三 个 角 都 相 等 的 三 角 形 是 等 边 三 角 形 C A B AB C6060你 又 可 以 得 到 什 么 ?已 知 : 在 等 腰 ABC中 , AB=AC, A=60 (或 者 B=60 )求 证 : AB=AC=BC 推 论 2: 有 一 个 角 等 于 60 的 等 腰 三角 形 是 等 边 三 角 形 。这是由判定定理推导出的又一个定理,即判定一个三角形是等边三角形的另外一种方法。 等 边 三 角 形 的 判 定 定 理 2: 有 一 个 角 为 60 的 等 腰 三 角 形 是 等 边 三 角 形 C A B 符 号 语 言 :在 ABC 中 , BC =AC, A =60 ABC 是 等 边 三 角 形 证 明 : ABC 是 等 边 三 角 形 , A = B = C =60 DE BC, ADE = B =60 , AED= C =60 A= ADE = AED =60 ADE 是 等 边 三 角 形 ABC 是 等 边 三 角 形 , DE BC, 分 别 交 AB,AC 于 点 D, E 求 证 : ADE 是 等 边 三 角 形 . AB CD E 证 明 : ABC 是 等 边 三 角 形 , A = ABC = ACB =60 DE BC ABC = D=60 ACB = E =60 A = D = E =60 ADE 是 等 边 三 角 形动 脑 思 考 , 变 式 训 练 变 式 1: 若 点 D、 E 在 边 AB、 AC 的 延 长 线 上 ,且 DE BC, 结 论 还 成 立 吗 ? AD EB C 变 式 2: 若 点 D、 E 在 边 AB、 AC 的 反 向 延 长 线上 , 且 DE BC, 结 论 依 然 成 立 吗 ? 证 明 : ABC 是 等 边 三 角 形 BAC = B = C =60 DE BC B = D =60 C = E =60 EAD = D = E =60 ADE 是 等 边 三 角 形 ADEB C 证 明 : 延 长 BC 到 D, 使 BD =AB, 连 结 AD, AC B=90 , BAC =30 , B =180 - ACB - BAC =180 -90 -30 = 60 ABD 是 等 边 三 角 形 (有 一 个 角 等 于 60 的 等 腰 三角 形 是 等 边 三 角 形 )由 等 边 三 角 形 的 性 质 可 知 , AC 也 是 BD 边 上 的 中 线 , 已 知 : 如 图 , 在 Rt ABC 中 , C =90 , A = 30 . 求 证 : BC = AB21 AB C D 21 21 BC = BD = AB 追 问 : 你 还 能 用 其 他 方法 证 明 吗 ? 3060 证 明 : 作 BCE =60 , 交 AB于 E, 连 结 CE, ACB =90 ACE =90 -60 =30在 ABC中 ACB=90 , A =30 B =90 - A=60 在 BCE 中 , BCE=60 , B =60 BEC = BCE = B =60 BCE 是 等 边 三 角 形 BC =BE =CE E AB C已 知 : 在 Rt ABC 中 , C =90 , A =30 . 求 证 : BC = AB21 在 ACE 中 , A=30 , ACE =30 AEC是 等 腰 三 角 形 CE =AE BC =BE =CE =AE 21 BC = AB 60 30 3060 符 号 语 言 : 在 Rt ABC 中 , C =90 , A =30 , 动 手 操 作 , 探 索 性 质 在 直 角 三 角 形 中 , 如 果 一 个 锐 角 等 于 30 ,那 么 它 所 对 的 直 角 边 等 于 斜 边 的 一 半 . AB C BC = AB 21 30 5课 堂 练 习 练 习 1 如 图 , 在 ABC 中 , C =90 , A = 30 , AB =10, 则 BC 的 长 为 A B C 30 1课 堂 练 习 练 习 2 如 图 , 在 ABC 中 , ACB =90 , CD 是 高 , A =30 , AB =4 则 BD = . A B C D 30 4 26030 如 图 , 已 知 P、 Q是 ABC的 边 BC上 两 点 , 并 且BP PQ QC AP AQ, 求 BAC的 大 小 X 0 X02X0 X02X0 2X0X0X0+X0+2X0+X0+X0=1800 解 得 X0=300 BAC=4 300=1200 如 图 , 已 知 P、 Q是 ABC的 边 BC上 两 点 , 并 且BP PQ QC AP AQ, 求 BAC的 大 小 解 : PQ=AP=AQ PAQ= APQ= AQP= 600 B+ BAP= APQ=600 C+ CAQ= AQP=600 AP=BP,QC=AQ, B= BAP=300 C= CAQ=300, BAC= BAP+ PAQ+ CAQ=30 0+600+300=1200 1、 如 图 , A=36 , DBC=36 , C=72 。 分 别 计 算 1、 2的 度 数 ,并 说 明 图 中 有 哪 些 等 腰 三 角 形 。72 等 腰 三 角 形 有 : ABC, ABD, BCD。3636 7236 2、 如 图 , 把 一 张 矩 形 的 纸 沿 对 角 线 折 叠 , 重 合部 分 是 一 个 等 腰 三 角 形 吗 ?解 : 根 据 题 意 , 得 D= F, AD=CF在 DEA和 FEC中A BCD EA BCD E F DEA= FEC(对 顶 角 相 等 ) D= F(已 证 )AD=CF(已 证 ) DEA FEC(A.A.S.) EA=EC(全 等 三 角 形 的 对 应边 相 等 ) AEC是 等 腰 三 角 形 3、 如 图 , AC和 BD相 交 于 点 O, 且AB DC, OA=OB。求 证 : OC=OD。 B A D C5、 已 知 : 如 图 , AD BC, BD平 分 ABC。求 证 : AB=AD 证 明 : AD BC ADB= DBC BD平 分 ABC ABD= DBC ABD= ADB AB=AD4、 已 知 : 如 图 , CD是 等 腰 直 角 三角 形 ABC斜 边 上 的 高 , 找 出 图 中 有哪 些 等 腰 直 角 三 角 形 。等 腰 直 角 三 角 形 有 : ABC , ACD , BCD。 A CD B
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