《二元一次方程组与一次函数》教学设计

二元一次方程组与一次函数教学设计一教学目标(一)教学知识点1. 二元一次方程和一次函数的关系 .2. 二元一次方程组的图象解法 .(二)能力训练要求1. 使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.2. 通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法 .同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力 .(三)情感与价值观要求通过学生的自主探索， 提示出方程和图象之间的对应关系， 加强了新旧知识的联系， 培养了学生的创新意识， 激发了学生学习数学的兴趣 .二教学重点1. 二元一次方程和一次函数的关系 .2. 能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解 .三教学难点方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.四教学方法学生操作自主探索的方法学生通过自己操作和思考， 结合新旧知识的联系， 自主探索出方程与图象之间的对应关系， 以引入二元一次方程组的图象解法， 同时也建立了“数”二元一次方程组与“形”函数的图象(直线 )之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力 .五教具准备投影片两张：第一张：问题串 (记作7.4 A) ；第二张：补充练习 (记作7.4 B).六教学过程.回忆旧知识，引入新课师举例说明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的个数如何？为什么？生例如 x+y=8 含有两个未知数 x,y 且未知数的项的次数是一次，所以 x+y=8 是二元一次方程 .x6是适合方程 x+y=8 的一组未知数的值， 所以 x6 是二元一y2y2次方程 x+y=8 的一个解 .我们不难发现适合 x+y=8 的一组未知数的值不只x6 再例如1 ;2 ;y2xxx3 都适合方程 x+y=8，所以说它们都是 x+y=8 的y7y6y5解.x+y=8 有无数多个解，只要给出一个 x 的值，代入 x+y=8 中，就可得到一个 y 的值 .这样一组一组的未知数的值都是 x+y=8 的解 .师如果将方程x+y=8 利用等式的性质变形，就可得到y=8x，同学们能联想到什么？生y=8x 是一个一次函数， x、y 在一次函数中不是未知数，而是两个变量， x 是自变量， y 是因变量 .师这位同学回答得很好， 他能够把所学的知识联系起来，这正是我们学习数学最可贵的地方之一.我们说到函数，不得不想到函数的图象，因为函数的图象可直观地反映出y 随 x 变化的情况 .那么函数的图象如何画出来的呢？生我们知道在函数中，给出自变量x 的值，就对应着一个y的值 .我们把 x 的值作为点的横坐标，对应的y 的值作为这个点的纵坐标 .在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 .师下面就请同学们画出一次函数y=8x 的图象 .我们观察 y=8x 的图象可知：(1) 满足关系式 y=8x 的 x、y 所对应的点 (x,y)都在一次函数 y=8 x 的图象上 .(2) 一次函数 y=8x 的图象上的点 (x,y)都满足关系式 y=8x.(3) 满足关系式 y=8x 的 x、y 的值恰好就是二元一次方程 x+y=8的解因此我们猜想二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢这节课我们主要就来研究二元一次方程与一次函数的关系.讲授讲课出示投影片 (7.4 A)(1)方程 x+y=5 的解有多少个？写出其中几个？(2) 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5x 的图象上吗？(3)在一次函数 y=5x 的图象上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？(4)以方程 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5x的图象相同吗？师对于以上几个问题分组讨论， 并归纳出二元一次方程和一次函数的关系 .生 (1)方程 x+y=5的 解 有 无 数 个 . 例 如x1,x2,x3x0,x1 y4;y3;y2;y5;y6(2) 我们不妨先画出 y=5x 的图象 .在上面直角坐标系中描出以 x+y=5 的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数 y=5x 的图象上 .(3) 在函数 y=5 x 的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x+y=5.(4) 由(2) 、(3) 可知以 x+y=5 的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数 y=5x 的图象是相同的 .综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：(1) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.(2) 反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程 .做一做在同一坐标系内分别画出一次函数y=5x和 y=2x1 的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组xy5 的2xy 1解有何关系？师同学们以同桌为单位，一个同学在同一坐标系中画出一次函数y=5x 和 y=2x1 的图象，并观察得出两个函数图象交点的坐标 . x y 52xy1生一次函数y =5x 和 y=2x 1 的图象如图所示：所以一次函数 y=5x 与 y=2x1 的图象的交点是 P(2，3).生根据二元一次方程和一次函数图象的关系可知：P(2,3) 在一次函数 y=5x 的图象上，所以x2 是二元一次方程 x+y=5 的一y32 也个解；同时 P(2,3) 也是一次函数 y=2x1 的图象上的点，所以 xy3是二元一次方程2xy=1 的一个解 .根据二元一次方程组的解的定义可知 x2 是 xy5 的解y32xy1xy5 得到的解也是生老师，用消元法解二元一次方程组2xy1x 2 .y 3师因此，我们又有了解二元一次方程组的新的方法图象法.下面我们来看一个例题 .x2y2,例 1用作图象的方法解方程得2xy2.分析：在同一坐标中作出相应的两个一次函数的图象.观察图象的交点便可得出方程的解.解：由 x2y=2 可得 y= 1 x+1,2同理，由 2xy=2 可得 y=2x2,在同一坐标系内作出一次函数y= 1 x+1 的图象 l1 和 y=2x2 的2图象 l2.如下图 .观察图象，得 l1,l2 的交点为 P(2， 2).所以方程组 x2y22 的解是 x22xyy2.随堂练习1. 课本 P136(1) 用作图解的方法解方程组解：由 2x+y=4 得 y=42x2 xy4 .2 x3y12同理，由 2x3y=12 得 y= 2 x4,3在同一坐标系中作函数y=42x 的图象 l1 和函数 y= 2 x4 的图3象 l2,如下图所示：观察图象，得 l1,l2 的交点 P(3， 2)所以方程组 2xy4,的解为 x3,2x3 y12y2.(2) 下图中的两直线l1,l2 的交点坐标可以看作方程组 _的解 .解：由图象可知 l1 过点 (1，3)、(0，1).设 l1 是函数 y=k1x+b1 的图象，根据题意，得 k1 b1 3b11解得 k1=2, b1 =1.所以 l1 是函数 y=2x+1 的图象 .l1 同理可得 l2 是函数 y=4x 的图象 .所以 l1、l2 交点的坐标可看做二元一次方程组 x y 4 的解 .2xy12. 补充练习 (出示投影片7.4 B)如图，l 甲 ，l 乙 分别表示甲走路与乙骑自行车 (在同一条路上 )行走的路程 s 与时间 t 的关系观察图象并回答下列问题：(1)乙出发时，与甲相距 _千米；(2) 走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为 CD#2时；(3)乙从出发起，经过 _时与甲相遇；(4)甲行走的路程s(千米 )与时间 t(时)之间的函数关系式是 _.(5)如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过 _时与甲相遇，相遇处离乙的出发点_千米，并在图中标出其相遇点.解：由图示得：(1)10 千米(2)1 小时(3)3 小时(4) 设甲行走的路程 s 与时间 t 之间的函数关系为 S=kt+b(t0). 由于此函数的图象过 (0，10) 和(3，22.5) ，根据题意可得b=10，k= 25 .6所以甲行走的路程s 与时间 t 之间的函数关系为s= 25 t+10( t0)6(5) 如果乙不出现故障， 乙行走的路程 s 与 t 之间的函数关系式为s=15 t(t0).在同一坐标系中画出甲走路和乙骑自行车行走的路程 s与时间 t 的关系，如下图：由图可知乙出发后经过12 小时与甲相遇，相遇时离乙的出发点为122(180 21312，180)点.( )13.9 千米 .相遇点为图中 P(13131313.课时小结本节课我们通过操作和思考， 揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系， 从而引出了二元一次方程组的图象解法， 同时也建立了“数”二元一次方程组与“形”函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力 .其实，在我们平时解二元一次方程组时，大多还用的消元法 .但对于我们将来要学习的高次方程、无理方程等的求解，画图象的方法更具一般性 .无疑这节的学习为我们的后继学习打下了基础 .因此这节课用图象法求二元一次方程组的解必须理解和掌握 .课后作业1. 课本 P136 、习题 7.42. 收集有关科学家和方程的故事 .活动与挖究有一组数同时适合方程x+y=2 和 x+y=5 吗？一次函数 y=2x，y=5x 的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么？过程：学生经过尝试是很容易发现 x+y=2和 x+y=5 时没有一组数同时适合这两个二元一次方程的. 即 xy2这个二元一次方程组xy5无解 .对于一次函数 y=2x，y=5x 的图象可以让学生作出它们的图象 (下图 )观察可以发现它们的图象 (直线 )是互相平行的，即它们无公共点 .结果：我们从中可以“悟”出：方程组的解与函数图象交点之间的关系：当函数的图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数的图象 (直线 )平行即无交点时， 说明相应的二元一次方程组无解.反之也成立 .七板书设计7.4二元一次方程与一次函数一、二元一次方程和一次函数的关系(1)以二元一次方程的解为坐标的点在相应的一次函数图象上.(2)一次函数图象上的点的坐标是相应的二元一次方程的解.二、用图象法解二元一次方程组做一做例题三、随堂练习(学生板演 )四、课时小结