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第四章傅里叶变换和系统的频域分析4.0引言时域分析，以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和；而yzs(t) = h(t)*f(t)。本章将以正弦信号和虚指数信号 ejt 为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。发展历史? 1822 年，法国数学家傅里叶 (J.Fourier,1768-1830) 在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。? 泊松 (Poisson) 、高斯 (Guass) 等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。? 进入 20 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。? 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。? “FFT ”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。4.1信号分解为正交函数? 矢量正交与正交分解? 信号正交与正交函数集? 信号的正交分解一、矢量正交与正交分解矢量正交的定义：指矢量 Vx = ( v x1, v x2, vx3 )与 Vy = ( v y1 , vy2 , vy3)的内积为 0。正交矢量集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合二、信号正交与正交函数集1. 信号正交：定义在 (t1 ，t2) 区间的 j 1(t) 和 j 2(t) 满足则称 j 1(t) 和 j 2(t) 在区间 (t1 ，t2)内正交。t2*1 (t)2 (t ) d t 0t 1(两函数的内积为 0)2. 正交函数集：若 n 个函数 j 1(t) ， j 2(t) ， j n(t) 构成一个函数集，这些函数在区间(t1， t2)内满足t 2*0,iji (t )j (t) d tt1K i0,ij则称此函数集为在区间 (t1 ， t2)的正交函数集。3. 完备正交函数集：如果在正交函数集 j1(t) ， j 2(t) ，j n(t) 之外，不存在函数 (t)( 0）满足t 2* (t ) i (t ) d t0t1( i =1 ，2， n) 则称此函数集为完备正交函数集。例如：三角函数集1 ，cos(n t)， sin(n t)， n=1,2, 虚指数函数集 e jnt， n=0 ，1，2， 是两组典型的在区间 (t0 ，t0+T)(T=2 /)上的完备正交函数集。三、信号的正交分解设有 n 个函数 j 1(t) ， j 2(t) ， j n(t) 在区间 (t1 ，t2) 构成一个正交函数空间。将任一函数f(t) 用这n 个正交函数的线性组合来近似，可表示为 f(t) C1j1+ C2j2+ + Cnjn函数 f(t)可分解为无穷多项正交函数之和f (t )Ci i (t ) Ci1t2K it22 (t)d tf (t) i (t) d tii1K it1t1t22 (t ) d tCi2 Kift1i 1巴塞瓦尔能量公式4.2傅里叶级数? 傅里叶级数的三角形式? 波形的对称性与谐波特性? 傅里叶级数的指数形式? 周期信号的功率 Parseval 等式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号 f(t)，其周期为 T，角频率 W=2p/T ，当满足狄里赫利 (Dirichlet) 条件时，它可分解为如下三角级数 称为 f(t) 的傅里叶级数a0an cos(n t)bn sin(n t)f (t )2 n 1n 1系数 an , bn 称为傅里叶系数2T2Tan2T f (t) cos(n t) d tbn2T f (t ) sin(n t) d tT2T2可见， an 是 n 的偶函数，bn 是 n 的奇函数。A0An cos(n tn )f (t )2将上式同频率项合并，可写为n 1二、波形的对称性与谐波特性1.f(t) 为偶函数 bn =0 ，展开为余弦级数。2.f(t) 为奇函数 an =0 ，展开为正弦级数。3.f(t) 为奇谐函数 f(t) = f(tT/2)此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即a0=a2= =b2=b4= =04 f(t) 为偶谐函数 f(t) = f(t T/2)此时 其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量即a1=a3= =b1=b3= =0三、傅里叶级数的指数形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。虚指数函数集 ejn t，n=0 ，1，2， f (t )Fnej n tn1Tf (t )e j n tF2d tnTT系数 Fn2称为复傅里叶系数傅里叶系数之间关系1 An ej n1 (anbnFnFn e nj bn )1a2b21 AnarctanFan22n2nn2nanAn cos nbnAn sinnn 的偶函数： an ， An ， |Fn |n 的奇函数 :bn ， jn四、周期信号的功率Parseval 等式周期信号一般是功率信号，其平均功率为1T2(t) dtA0)212| Fn |2f(AnT02n 1 2n直流和 n 次谐波分量在 1W 电阻上消耗的平均功率之和。n0 时，|Fn| = An/2 。这是 Parseval 定理在傅里叶级数情况下的具体体现。4.3周期信号的频谱? 信号频谱的概念? 周期信号频谱的特点? 频带宽度一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将 An 和 jn的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图， 分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为 n0，所以称这种频谱为单边谱。也可画 |Fn| 和 jn 的关系，称为双边谱。若Fn 为实数，也可直接画Fn 。二、周期信号频谱的特点令 Sa(x)=sin(x)/x ( 取样函数）FnSa(nSa(n)TT2T, n = 0 , 1，2，周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散 )性。谱线位置是基频的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。三频带宽度在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：B2或 B f1 ，带宽与脉宽成反比。对于一般周期信号，将幅度下降为0.1|Fn|max的频率区间定义为频带宽度。系统的通频带 信号的带宽，才能不失真。
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