函数的最大值和最小值

二 次 函 数 图 象 一 次 函 数 图 象 1 函 数 的 最 大 值设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果存 在 实 数 M满 足 ： 对 于 任 意 x I ， 都 有 f(x)M， 存 在 x0 I， 使 f(x0) M.那 么 称 M是 函 数 y f(x)的 最 大 值 准 确 理 解 函 数 最 大 值 的 概 念(1)对 于 定 义 域 内 全 部 元 素 ， 都 有f(x)M成 立 ， “ 任 意 ” 是 说 对 每 一 个 值都 必 须 满 足 不 等 式 (2)定 义 中 M首 先 是 一 个 函 数 值 ， 它 是值 域 的 一 个 元 素 ， 注 意 对 中 “ 存 在 ”一 词 的 理 解 2 函 数 的 最 小 值设 函 数 y f(x)的 定 义 域 为 I， 如 果存 在 实 数 M满 足 ： 对 于 任 意 x I， 都 有 f(x)M， 存 在 x0 I ， 使 f(x0) M.那 么 称 M是 函 数 y f(x)的 最 小 值 函 数 最 大 值 、 最 小 值 的 几 何意 义 是 什 么 ？【 提 示 】 函 数 最 大 值 或 最 小值 是 函 数 的 整 体 性 质 ， 从 图 象 上看 ， 函 数 的 最 大 值 或 最 小 值 是 图象 最 高 点 或 最 低 点 的 纵 坐 标 利 用 函 数 图 象 求 最 值如 图 为 函 数 y f(x)， x 3,8的 图 象 ，指 出 它 的 最 大 值 、 最 小 值 及 单 调 区 间 【 解 析 】 观 察 函 数 图 象 可 以 知 道 ， 图 象上 位 置 最 高 的 点 是 (2,3)， 最 低 的 点 是 ( 1， 3)， 所 以 函 数 y f(x)当 x 2时 ， 取 得 最 大值 ， 最 大 值 是 3， 当 x 1.5时 ， 取 得 最 小 值， 最 小 值 是 3.函 数 的 单 调 增 区 间 为 1,2， 5,7单 调 减 区 间 为 3， 1， 2,5， 7,8 (1)运 用 函 数 单 调 性 求 最 值 是 求 函 数 最 值 的 重要 方 法 ， 特 别 是 当 函 数 图 象 不 好 作 或 作 不 出 来 时， 单 调 性 几 乎 成 为 首 选 方 法 (2)函 数 的 最 值 与 单 调 性 的 关 系 若 函 数 在 闭 区 间 a， b上 是 减 函 数 ， 则 f(x)在 a， b上 的 最 大 值 为 f(a)， 最 小 值 为 f(b)； 若 函 数 在 闭 区 间 a， b上 是 增 函 数 ， 则 f(x)在 a， b上 的 最 大 值 为 f(b)， 最 小 值 为 f(a) 当 一 个 函 数 有 多 个 单 调 增 区 间和 多 个 单 调 减 区 间 时 ， 我 们 该 如 何简 单 有 效 的 求 解 函 数 最 大 值 和 最 小值 呢 ？ 二 次 函 数 最 值 问 题求 二 次 函 数 f(x) x2 6x 4在 区 间 2,2上 的最 大 值 和 最 小 值 【 思 路 点 拨 】 由 题 目 可 获 取 以 下 主 要 信 息 所 给 函 数 为 二 次 函 数 ； 在 区 间 2,2上 求 最 值 解 答 本 题 可 先 确 定 函 数 在 区 间 2,2上 的 单调 性 ， 再 求 最 值 【 解 析 】 f(x) x2 6x 4 (x 3)2 5，其 对 称 轴 为 x 3， 开 口 向 上 ， f(x)在 2,2上 为 减 函 数 ， f(x)min f(2) 4， f(x)maxf( 2) 20. 在 求 二 次 函 数 的 最 值 时 ， 要 注 意 定 义域 定 义 域 若 是 区 间 m， n， 则 最 大 (小 )值 不 一 定 在 顶 点 处 取 得 ， 而 应 看 对 称 轴 是在 区 间 m， n内 还 是 在 区 间 左 边 或 右 边 ，在 区 间 的 某 一 边 时 应 该 利 用 函 数 单 调 性 求解 函 数 解 析 式 为 “ y x2 2x” ， 求函 数 的 在 定 义 域 2,4)上 的 最 值 （ 1 ） 掌 握 函 数 最 大 值 、 最 小值 的 概 念 。 （ 2 ） 熟 悉 求 最 大 值 、 最 小 值的 方 法 。