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小学数学趣题集讲解 ;小学数学趣题集【一】鸡兔同笼:大约在1500年前,?孙子算经中记载:“今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?意思是:有假设干只鸡和兔同在一个笼子里,数头有35个;数脚有94只。求笼中有鸡和兔各多少只?【二】牛顿问题:英国科学家牛顿,曾经写过一本数学书。书中有一道有名的、关于牛在牧场上吃草的题目,人们把它称为“牛顿问题:“有一牧场,已知养牛27头,6天把草吃尽;养牛23头,9天把草吃尽。如果养牛21头,几天能把牧场上的草吃尽?并且牧场上的草是不断生长的 【练一练】有一牧场,如果养25只羊,8天可以把草吃尽;养21只羊,12天把草吃尽。如果养15只羊,几天能把牧场上不断生长的草吃尽? 【三】鬼谷算:我 国汉代有位大将叫韩信,他每次汇合部队,只要求部下先后按l3、15、17报数,然后再报告一下各队每次报数的余数,他就知道到了多少人。他的这种 巧妙算法,人们称为鬼谷算,也叫隔墙算,或称为韩信点兵,外国人还称它为“中国残余定理。到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:“三人 同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。 这首诗的意思是:用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知 道所求的数了。比方,一篮鸡蛋,三个三个地数余1,五个五个地数余2,七个七个地数余3,篮子里有鸡蛋一定是52个。算式 是:170221315157,15710552个【练一练】四皓小学订?中国少年报假设干张,如果三张三张地数,余数为1张;五张五张地数,余数为2张;七张七张地数,余数为2张。四皓小学订?中国少年报多少张?【四】电灯泡问题:“过 道里依次挂着标号是1,2,3, 100的电灯泡,开始它们都是灭的。当第一个人走过时,他将标号为1的倍数的灯泡的开关拉一下;当第二个人走过时,他将标号为2的倍数的灯泡的开关拉 一下;当第三个人走过时,他将标号为3的倍数的电灯泡的开关拉一下;如此进行下去,当第一百个人走过时,他将标号为100 的倍数的灯泡的开关拉一下。问:当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是多少?【五】巧求六位数:“六位数4321能被4321整除,这个六位数是多少?【练一练】:四位数89能被89整除,这个四位是多少?答案:4895【六】时钟问题: “钟面上有时针与分针,每针转动的速度是确定的。 分针每分钟旋转的速度:360606,时针每分钟旋转的速度:360(1260)05,在钟面上要么是分针追赶时针,要么是分针超越 时针。这里的转动角度用度数来表示,相当于行走的路程。因此钟面上两针的运动相当于典型的追及问题。例1:钟面上3时多少分时,分针与时针恰好重合?例2:在钟面上5时多少分时,分针与时针在一条直线上,而指向相反?例3:钟面上12时30分时,时针在分针后面多少度?例4:钟面上6时到7时之间两针相隔90时,是几时几分?【七】最优化问题:既要在尽可能节省人力、物力和时间前提下,争取获得在可能范围内的最正确效果,因此,最优化问题波及统筹、线性规划排序不等式等内容。例1:货轮上卸下假设干只箱子,总重量为10吨,每只箱子的重量不超过1吨,为了保证能把这些箱子一次运走,问至少需要多少辆载重3吨的汽车?例2: 用10尺长的竹竿来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根,至少要用去原材料几根?怎样截法最合算?例3: 一个锐角三角形的三条边的长度分别是两位数,而且是三个连续偶数,它们个位数字的和是7的倍数,这个三角形的周长最长是多少厘米?例4: 把25拆成假设干个正整数的和,使它们的积最大。例5: A、B两人要到沙漠中探险,他们每天向沙漠深处走20千米,已知每人最多可携带一个人24天的食物和水,如果不准将局部食物寄存于途中,问其中一个人最远可以深入沙漠多少千米要求最后两人返回出发点?如果可以将局部食物寄存于途中以备返回时取用呢?例6、今有围棋子1400颗,甲、乙两人做取围棋子的游戏,甲先取,乙后取,两人轮流各取一次,规定每次只能取7PP为1或不超过20的任一质数颗棋子,谁最后取完为胜者,问甲、乙两人谁有必胜的策略?例7、有一个80人的旅游团,其中男50人,女30人,他们住的旅馆有11人、7人和5人的三种房间,男、女分别住不同的房间,他们至少要住多少个房间?练习1、十个自然数之和等于1001,那么这十个自然数的最大公约数可能取的最大值是多少?不包括02、在两条直角边的和一定的情况下,何种直角三角形面积最大,假设两直角边的和为8,那么三角形的最大面积为多少?3、5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水,他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟,如果只有一个水龙头适当安顿他们的打水顺序,就能够使每个人排队和打水时间的总和最小,则这个最小值是多少分钟?4、某水池可以用甲、乙两水管注水,单放甲管需12小时注满,单放乙管需24小时注满。假设要求10小时注满水池,并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少,那么甲乙两管全放最少需要多少小时?5、有1995名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规,问完成任务后应该在该公路的什么地点汇合,可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到汇合地点的路程总和最小?6、甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过10的自然数,规那么是禁止写黑板上已写过的数的约数,不能完成下一步的为失败者。问:是先写者还是后写者必胜?如何取胜?【八】利润与折扣:工厂和商店有时减价发售商品,通常称为“打折扣发售,几折就是百分之几十。一般情况下,商品从厂家购进的价格称为本价,商家在本钱价的根底上提高价格发售,所赚的钱称为利润,利润与本钱的百分比称之为利润率。冀望利润=本钱价冀望利润率。例1、某商店将某种DVD按进价提高35%后,打出“九折优惠酬宾,外送50元出租车费的广告,结果每台仍旧获利208元,则每台DVD的进价是多少元?例2:一种服装,甲店比乙店的进货廉价10%,甲店按20%的利润定价,乙店按15%的利润定价,甲店比乙店的出厂价廉价11.2元,甲店的进货价是多少元?例 3、原来将一批水果按100%的利润定价发售,由于价格过高,无人购置,不得不按38%的利润重新定价,这样发售了其中的40%,此时因胆怯残余水果会变 质,不得不再次降价,售出了全部水果。结果实际获得的总利润是原来利润的30.2%,则第二次降价后的价格是原来定价的百分之几? 练习: 1、某商品按每个7元的利润卖出13个的钱,与按每个11元的利润卖出12个的钱一样多。这种商品的进货价是每个多少元?2、租用仓库堆放3吨货物,每月租金7000元。这些货物原方案要销售3个月,由于降低了价格,结果2个月就销售完了,由于节省了租仓库的租金,所以结算下来,反而比原方案多赚了1000元。问:每千克货物的价格降低了多少元?3、张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说:“如果你肯减价,则每减价1元,我就多订购4件。商店经理算了一下,假设减价5,那么由于张先生多订购,获得的利润反而比原来多100元。问:这种商品的本钱是多少元?4、某商店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克1.20元。从产地到商店的距离是400千米,运费为每吨货物每运1千米收1.50元。如果在运输及销售过程中的损耗是10,商店要想实现25的利润率,零售价应是每千克多少元?5、小明到商店买了相同数量的红球和白球,红球原价2元3个,白球原价3元5个。新年优惠,两种球都按1元2个卖,结果小明少花了8元钱。问:小明共买了多少个球?6、某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元,每年需付利息5万元。甲种贷款年利率为12,乙种贷款年利率为14。该厂申请甲、乙两种贷款的金额各是多少?7、商店进了一批钢笔,用零售价10元卖出20支与用零售价11元卖出15支的利润相同。这批钢笔的进货价每支多少元?8、某种蜜瓜大量上市,这几天的价格每天都是前一天的80。妈妈第一天买了2个,第二天买了3个,第三天买了5个,共花了38元。假设这10个蜜瓜都在第三天买,那么能少花多少钱?9、商店以每双13元购进一批凉鞋,售价为14.8元,卖到还剩5双时,除去购进这批凉鞋的全部开销外还获利88元。问:这批凉鞋共多少双?10、体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球。零售时足球加价9,篮球加价11,全部卖出后获利润298元。问:每个足球和篮球的进价是多少元? 【九】找次品问题:例1 有4堆表面一样的球,每堆4个。其中三堆是正品、一堆是次品,正品球每个重10克,次品球每个重11克,请你用天平只称一次,把是次品的那堆找出来。例2、有27个表面一样的球,其中有一个次品,重量比正品轻,用天平只称三次不用砝码,把次品球找出来。【一】鸡兔同笼: 假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,那么每只鸡就变成了“独角鸡,每只兔就变成了“双脚兔。这样,1鸡和兔的脚的总数就由94只变成942=47 只;2如果笼子里有一只兔子,那么脚的总数就比头的总数多1。因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即473512只。显 然,鸡的只数是351223只。【“砍足法令古今中外数学家赞叹不已,这种思维办法叫化归法。化归法就是在解决问题时,先不对问题采取直接的分析,而是将题中的条件或问题进行变形,使之转化,最终把它归成某个已经解决的问题。】用“若法:若全部是鸡,头有35个,那么脚有352=70只,相差94-70=24只,是兔多出的脚,每只兔多2只脚,兔有242=12只,鸡有351223只。用“方程来解:解设兔头X只,那么鸡有35-X只,列式为4X+35-X2=94,X=12,鸡有351223只。【二】牛顿问题:一般解法是:把一头牛一天所吃的牧草看作1。127头牛6天所吃的牧草为:276162 这162包括牧场原有的草和6天新长的草。223头牛9天所吃的牧草为:239207 这207包括牧场原有的草和9天新长的草。31天新长的草为:20716296154牧场上原有的草为:276156725每天新长的草足够15头牛吃,21头牛减去15头,剩下6头吃原牧场的草:72211572612天 所以养21头牛,12天才能把牧场上的草吃尽。【四】电灯泡问题: 本题实质是找每个灯泡的因数个数。第一个灯泡只有因数1,灯亮;第二个灯泡有两个因数1、2,等灭;由此可以看出因数的个数是奇数时,灯亮;因数的个数是 偶数时,灯灭。故当第一百个人走过后,过道里亮着的电灯泡标号是1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。【五】巧求六位数:采用“若计算排错验证的办法。 若六位数为943219,则94321943212181241,由于余数大于9,所以不合题意。若六位数为843219,那么有843219432119564,余数大于9,也不合题意。若六位数为743219,那么74321943211727,余数小于9,可见合乎条件的六位数为7432197743212。当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时,经计算均不合题意。综上分析,要求的六位数为743212。【六】时钟问题:例1: 整3时,分针在12的位置上,时针在3的位置上,两针相隔90。当两针第一次重合,就是3时过多少分。在整3时到两针重合的这段时间内,分针要比时针多 行走360123=90,每分钟分针比时针多走60555(度),所用时间为90551636(分)。例2: 在整5时,时针与分针相隔360125=150,然后分针先是追上时针,分针需比时针多行走150,然后超越时针180,共150 180=330,分针每分钟旋转的速度:360606,时针每分钟旋转的速度:360(1260)05,(150 180)(6 05) 60(分) 5时60分即6时正。例3: 整12时,分针与时针重合,相当于在同一起跑线上。到12时30分钟,分针走180达到6时的位置上,而时针在30分钟内也在行走。实际上两针相隔的度数是在30分钟内分针超越时针的度数:(605)30=553=165(度)例4:从6时整作为起点,此时两针成180。当分针在时针后面90时或分针超越时针90时,就是所求的时刻。(18090)(605) 90 55 16.36(分钟)(180 90)(6 05) 2705.5 4909(分钟本题还可采用分率办法来解决【七】最优化问题:例1: 【分析】因为每一只箱子的重量不超过1吨,所以每一辆汽车可运走的箱子重量不会少于2吨,否那么可以再放一只箱子。所以,5辆汽车本是足够的,但是4辆汽车 并不一定能把箱子全部运走。示例,设有13只箱子,所以每辆汽车只能运走3只箱子,13只箱子用4辆汽车一次运不走。因此,为了保证能一次把箱子全部运 走,至少需要5辆汽车。例2:【分析】 一个10尺长的竹竿应有三种截法:13尺两根和4尺一根,最省; 23尺三根,余一尺;34尺两根,余2尺。为了省材料,尽量使用办法1,这样50根原材料,可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿,还 差50根4尺的,最好选择办法3,这样所需原材料最少,只需25根即可,这样,至少需用去原材料75根。例3:【分析】三角形三边是三个连续偶数,所以它们的个位数字只能是0,2,4,6,8,且它们的和也是偶数,又它们的个位数字的和是7的倍数,只能是14,三角形三条边最大可能是86,88,90,周长最长为86+88+90=264厘米。例4:【分析】先从较小数形开始实验,发现其规律: 把6拆成3+3,其积为33=9最大; 把7拆成3+2+2,其积为322=12最大; 把8拆成3+3+2,其积为332=18最大; 把9拆成3+3+3,其积为333=27最大;这就是说,要想分拆后的数的乘积最大,应尽可能多的出现3,而当某一自然数可表示为假设干个3与1的和时,要取出一个3与1重合在一起再分拆成两个2之和,因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2,其积3722=8748为最大。例5:【分析】设A走X天后返回,A留下自己返回时所需的食物,剩下的转给B,此时B共有48-3X天的食物,因为B最多携带24天的食物,所以X=8,剩 下的24天食物,B只能再向前走8天,留下16天的食物供返回时用,所以B可以向沙漠深处走16天,因为每天走20千米,所以其中一人最多可以深入沙漠 320千米。如 果改变条件,那么问题关键为A返回时留给B24天的食物,由于24天的食物可以使B独自深入沙漠12天的路程,而另外24天的食物要供A、B两人往返一段 路,这段路为244=6天的路程,所以B可以深入沙漠18天的路程,也就是说,其中一个人最远可以深入沙漠360千米。 例6: 【想】 因为1400=7200,所以原题可以转化为:有围棋子200颗,甲、乙两人轮流每次取P颗,谁最后取完谁获胜。乙有必胜的策略。由于 200=450,P或者是2或者可以表示为4k+1或4k+3的形式k为零或正整数。乙采取的策略为:假设甲取2,4k+1,4k+3颗,那么乙取 2,3,1颗,使得余下的棋子仍是4的倍数。如此最后出现剩下数为不超过20的4的倍数,此时甲总不能取完,而乙可全部取完而获胜。 表明 1本题中,乙是“后发制人,故先取者不一定存在必胜的策略,关键是看他们所面临的“情形2我们可以这样来分析这个问题的解法,将所有的情形 -残余棋子的颗数分成两类,第一类是4的倍数,第二类是其它。假设某人在取棋时遇到的是第二类情形,则他可以取1或2或3,使得剩下的是第一类情形,假设 取棋时面临第一类情形,那么取棋后留给另一个人的一定是第二类情形。所以,谁先面临第二类情形谁就能获胜,在绝大局部双人比赛问题中,都可采用这种办法。 例7:分析 为了使得所住房间数最少,安顿时应尽量先安顿11人房间,这样50人男的应安顿3个11人间,2个5人间和1个7人间;30个女人应安顿1个11人间,2个7人间和1个5人间,共有10个房间。 习题参考答案及思路分析 1、1001=71113,可以713为公约数,这样这十个正整数可以是 ,912,它们的最大公约数为91。2、对于直角三角形而言,在直角边的和一定的情况下,等腰直角三角形的面积最大。假设两直角边的和为8,那么三角形的最大面积为 44=8。3、为了使每个人排队和打水时间的总和最小,有两种办法:1排队的人尽量少;2每次排队的时间尽量少。因此应先让打水快的人打水,才能保证开始排队人多的时候,每个人等待的时间要少,故共需51+42+33+24+5=35分钟。4、由于甲、乙独自开放都不可能在10小时注满水池,因此必须有时间甲、乙全放。为了使它们合放的时间最少,应尽量开放甲管速度快,这样甲开10小时注满水池的,余下 只能由乙注满,需。因此甲乙两管全放最少需要4小时。5、此问题我们可以从最简单问题入手,寻找规律,从而解决复杂问题,最后汇合地点应在中间地点。6、先写者存在获胜的策略。甲第一步写6,乙仅可写4,5,7,8,9,10中的一个,把它们分成数对4,5,8,10,7,9。如果乙写数对中的某个数,甲就写数对中的另一个数,那么甲必胜。【八】利润与折扣:例1:定价是进价的1+35%=135%,打九折后,实际售价是进价的135%90%=121.5%,每台DVD的实际盈利:208+50=258元,每台DVD的进价258121.5%-1=1200元例 3: 要求第二次降价后的价格是原来定价的百分之几,那么需要求出第二次是按百分之几的利润定价。解:设第二次降价是按x%的利润定价的。38%40%x%1-40%=30.2%,X%=25%,1+25%1+100%=62.5%例2: 设乙店的本钱价为1,乙店的定价是1+15%,甲店的定价1-10%1+20%,甲店比乙店的出厂价廉价11.2元的对应分率是1+15%-1-10%1+20%=7%,11.27%=160元1601-10%=144元 【九】找次品问题:例1 依次从第一、二、三、四堆球中,各取1、2、3、4个球,这10个球一起放到天平上去称,总重量比100克多几克,第几堆就是次品球。例2:第一次:把27个球分为三堆,每堆9个,取其中两堆分别放在天平的两个盘上。假设天平不平衡,可找到较轻的一堆;假设天平平衡,那么剩下来称的一堆必定较轻,次品必在较轻的一堆中。第二次:把第一次判定为较轻的一堆又分三堆,每堆3个球,按上法称其中两堆,可找出次品在其中较轻的那一堆。第三次:从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次,假设天平不平衡,那么较轻的就是次品,假设天平平衡,那么剩下一个未称的就是次品。
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