《微分方程模型I》PPT课件

第 五 章 微 分 方 程 模 型 I5.1 传 染 病 模 型5.2 经 济 增 长 模 型5.3 正 规 战 与 游 击 战5.4 药 物 在 体 内 的 分 布 与 排 除5.5 香 烟 过 滤 嘴 的 作 用5.6 人 口 预 测 和 控 制5.7 烟 雾 的 扩 散 与 消 失5.8 万 有 引 力 定 律 的 发 现 动 态模 型 描 述 对 象 特 征 随 时 间 (空 间 )的 演 变 过 程 分 析 对 象 特 征 的 变 化 规 律 预 报 对 象 特 征 的 未 来 性 态 研 究 控 制 对 象 特 征 的 手 段 根 据 函 数 及 其 变 化 率 之 间 的 关 系 确 定 函 数微 分方 程建 模 根 据 建 模 目 的 和 问 题 分 析 作 出 简 化 假 设 按 照 内 在 规 律 或 用 类 比 法 建 立 微 分 方 程 5.1 传 染 病 模 型问 题 描 述 传 染 病 的 传 播 过 程 分 析 受 感 染 人 数 的 变 化 规 律 预 报 传 染 病 高 潮 到 来 的 时 刻 预 防 传 染 病 蔓 延 的 手 段 按 照 传 播 过 程 的 一 般 规 律 ，用 机 理 分 析 方 法 建 立 模 型 已 感 染 人 数 (病 人 ) i(t) 每 个 病 人 每 天 有 效 接 触(足 以 使 人 致 病 )人 数 为 模 型 1假 设 ttititti )()()( 若 有 效 接 触 的 是 病 人 ，则 不 能 使 病 人 数 增 加 必 须 区 分 已 感 染 者 (病人 )和 未 感 染 者 (健 康 人 )建 模 0)0( ii idtdi it teiti 0)( ? sidtdi 1)()( tits模 型 2 区 分 已 感 染 者 (病 人 )和 未 感 染 者 (健 康 人 )假 设 1） 总 人 数 N不 变 ， 病 人 和 健 康 人 的 比 例 分 别 为 )(),( tsti 2） 每 个 病 人 每 天 有 效 接 触 人 数为 , 且 使 接 触 的 健 康 人 致 病建 模 ttNitstittiN )()()()( 0)0( )1(ii iidtdi 日接 触 率SI 模 型 teiti 111 1)( 0 0)0( )1(ii iidtdi 模 型 21/2 tmii010 t 11ln 01 itm tm传 染 病 高 潮 到 来 时 刻 (日 接 触 率 ) tm 1 it Logistic 模 型病 人 可 以 治 愈 ！ ?t=tm, di/dt 最 大 模 型 3 传 染 病 无 免 疫 性 病 人 治 愈 成为 健 康 人 ， 健 康 人 可 再 次 被 感 染增 加 假 设 SIS 模 型3） 病 人 每 天 治 愈 的 比 例 为 日 治 愈 率 ttNittitNstittiN )()()()()( 建 模 / 日 接 触 率1/ 感 染 期 一 个 感 染 期 内 每 个 病 人 的有 效 接 触 人 数 ， 称 为 接 触 数 。 0)0( )1(ii iiidtdi 1,0 1,11)( i )11( iidtdi模 型 3 i0i0 接 触 数 =1 阈 值 / 1 )(ti形 曲 线 增 长按 Sti )( 感 染 期 内 有 效 接 触 感 染 的健 康 者 人 数 不 超 过 病 人 数小0 1i 1-1/ i0iiidtdi )1(模 型 2(SI模 型 )如 何 看 作 模 型 3(SIS模 型 )的 特 例idi/dt0 1 1 0 ti 11-1/ i0 t 1di/dt 1/ i(t)先 升 后 降 至0P2: s01/ i(t)单 调 降 至 0 1/阈值P3P4 P2S0 ss ss00 lnln 模 型 4 SIR模 型预 防 传 染 病 蔓 延 的 手 段 (日 接 触 率 ) 卫 生 水 平 (日 治 愈 率 ) 医 疗 水 平 传 染 病 不 蔓 延 的 条 件 s01/ 的 估 计 0ln1 000 sssis 0i忽 略 降 低 s0 提 高 r0 1000 ris 提 高 阈 值 1/ 降 低 (=/) , 群 体 免 疫 模 型 4 SIR模 型被 传 染 人 数 的 估 计0ln1 000 sssis 记 被 传 染 人 数 比 例 ssx 00)211( 200 sxsx 0)1ln(1 0 sxx )1(2 00 ssx 2xx 03) 经 济 增 长 的 条 件 )1( 10120 yfLyf )()( 000 LKfyfLLyftZ )(0/100 )1(00 BeKKdtdydtdZ t 成 立B 0 成 立时当 BKK ,1/0 00 劳 动 力 增 长 率 小 于 初 始 投 资 增 长 率 每 个 劳 动 力 的 产 值 Z(t)=Q(t)/L(t)增 长 dZ/dt03) 经 济 增 长 的 条 件 dtdyyfdtdZ 10 5.3 正 规 战 与 游 击 战战 争 分 类 ： 正 规 战 争 ， 游 击 战 争 ， 混 合 战 争只 考 虑 双 方 兵 力 多 少 和 战 斗 力 强 弱兵 力 因 战 斗 及 非 战 斗 减 员 而 减 少 ， 因 增 援 而 增 加战 斗 力 与 射 击 次 数 及 命 中 率 有 关建 模 思 路 和 方 法 为 用 数 学 模 型 讨 论 社 会领 域 的 实 际 问 题 提 供 了 可 借 鉴 的 示 例第 一 次 世 界 大 战 Lanchester提 出 预 测 战 役 结 局 的 模 型 0),(),()( 0),(),()( tvyyxgty tuxyxftx一 般 模 型 每 方 战 斗 减 员 率 取 决 于 双 方 的 兵 力 和 战 斗 力 每 方 非 战 斗 减 员 率 与 本 方 兵 力 成 正 比 甲 乙 双 方 的 增 援 率 为 u(t), v(t)f, g 取 决 于 战 争 类 型x(t) 甲 方 兵 力 ， y(t) 乙 方 兵 力模 型假 设模 型 )( )(tvybxy tuxayx 正 规 战 争 模 型 甲 方 战 斗 减 员 率 只 取 决 于 乙 方 的 兵 力 和 战 斗 力双 方 均 以 正 规 部 队 作 战 xx prbbxg , 忽 略 非 战 斗 减 员 假 设 没 有 增 援 00 )0(,)0( yyxx bxy ayxf(x, y)=ay, a 乙 方 每 个 士 兵 的 杀 伤 率a=ry py, ry 射 击 率 ， py 命 中 率 )(ty )(tx0ak 0k 0kbk 0k正 规 战 争 模 型 为 判 断 战 争 的 结 局 ， 不 求 x(t), y(t)而 在 相 平 面 上 讨 论 x 与 y 的 关 系 00 )0(,)0( yyxx bxy ayx aybxdxdy 2020 bxayk kbxay 22000 yxk 时 平 方 律 模 型甲 方 胜 0k 平 局0k yy xx pr prabxy 200 乙 方 胜 游 击 战 争 模 型 双 方 都 用 游 击 部 队 作 战 甲 方 战 斗 减 员 率 还 随 着 甲 方 兵 力 的 增 加 而 增 加 忽 略 非 战 斗 减 员 假 设 没 有 增 援 yrxxxx ssrprddxyyxg /,),( 00 )0(,)0( yyxx dxyy cxyx f(x, y)=cxy, c 乙 方 每 个 士 兵 的 杀 伤 率c = ry pyry射 击 率py 命 中 率 py=sry /sxsx 甲 方 活 动 面 积sry 乙 方 射 击 有 效 面 积 )(ty cm 0 dm )(tx0m 0m 0m游 击 战 争 模 型 00 )0(,)0( yyxx dxyy cxyx 00 dxcym mdxcy 乙 方 胜时 000 yxm yryy xrxx ssr ssrcdxy 00 线 性 律 模 型甲 方 胜 0m 平 局 0mcddxdy )(ty )(tx0 乙 方 胜,0n 平 局,0n 甲 方 胜,0n 00 )0(,)0( yyxx bxy cxyx混 合 战 争 模 型 甲 方 为 游 击 部 队 ， 乙 方 为 正 规 部 队0202 22 bxcyn nbxcy 0200 2cxbxy 乙 方 胜0n 100)/( 2 00 xy 0200 2 xsr sprxy ryy xxx乙 方 必 须 10倍 于 甲 方 的 兵 力设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2) 5.4 药 物 在 体 内 的 分 布 与 排 除 药 物 进 入 机 体 形 成 血 药 浓 度 (单 位 体 积 血 液 的 药 物 量 ) 血 药 浓 度 需 保 持 在 一 定 范 围 内 给 药 方 案 设 计 药 物 在 体 内 吸 收 、 分 布 和 排 除 过 程 药 物 动 力 学 建 立 房 室 模 型 药 物 动 力 学 的 基 本 步 骤 房 室 机 体 的 一 部 分 ， 药 物 在 一 个 房 室 内 均 匀分 布 (血 药 浓 度 为 常 数 )， 在 房 室 间 按 一 定 规 律 转 移 本 节 讨 论 二 室 模 型 中 心 室 (心 、 肺 、 肾 等 )和周 边 室 (四 肢 、 肌 肉 等 ) 中 心 室 周 边 室给 药 排 除)(0 tf 1 11 )(),( V txtc 2 22 )(),( V txtc12k21k13k )()( 02211131121 tfxkxkxktx 模 型 假 设 中 心 室 (1)和 周 边 室 (2),容 积 不 变 药 物 在 房 室 间 转 移 速 率 及 向 体 外 排 除 速 率 ，与 该 室 血 药 浓 度 成 正 比 药 物 从 体 外 进 入 中 心 室 ， 在 二 室 间相 互 转 移 ,从 中 心 室 排 出 体 外模 型 建 立2,1 )( )(iV tc txiii 容 积浓 度药 量 给 药 速 率 0f2211122 )( xkxktx tt tt eBeAtc eBeAtc 222 111 )( )( 1321 132112kk kkk 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc 2,1),()( itcVtx iii 线 性 常 系 数非 齐 次 方 程对 应 齐 次方 程 通 解模 型 建 立 )()()( )()()()( 2 1202 21211 01 tt tteeV kDtc ekekV Dtc 0)0(,)0(,0)( 21010 cVDctf几 种 常 见 的 给 药 方 式1.快 速 静 脉 注 射 t=0 瞬 时 注 射 剂 量 D0的 药 物 进 入 中 心 室 ,血药 浓 度 立 即 为 D0/V1 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc 1321 132112kk kkk 给 药 速 率 f0(t) 和 初 始 条 件 1221 1312121221 131212 21321 012222 113 0111 )(,)( 0,)( 0,)( BVk kkVBAVk kkVA TtVkk kkeBeAtc TtVkkeBeAtc tt tt 0)0(,0)0(,)( 2100 ccktf2.恒 速 静 脉 滴 注 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc t T, c1(t)和 c2(t)按 指 数 规 律 趋 于 零药 物 以 速 率 k0进 入 中 心 室0 Tt 0010 xkf )(0 tx吸 收 室 中 心 室 00 0010 )0( )( Dx xktx tktt EeBeAetc 01)(1 tkeDtx 0100 )( tkekDtxktf 010100010 )()( 3.口 服 或 肌 肉 注 射相 当 于 药 物 ( 剂 量 D0)先 进 入 吸 收 室 ， 吸 收 后 进 入 中 心 室吸 收 室 药 量 x0(t) 221112212 1022112113121 )( )()()( ckckVVtc V tfckVVckktc EBAcc ,0)0(,0)0( 21 tt BeAetctc )()( 11 参 数 估 计 各 种 给 药 方 式 下 的 c1(t), c2(t) 取 决 于 参 数 k12, k21, k13, V1,V2t=0快 速 静 脉 注 射 D0 ,在 ti(i=1,2,n)测 得 c1(ti) )()()()( 21211 01 tt ekekV Dtc 充 分 大设 t,由 较 大 的 用 最 小 二 乘 法 定 A,)(, 1 ii tct由 较 小 的 用 最 小 二 乘 法 定 B,)(, 1 ii tct tt AeeV kDtc )( )()( 1 2101 211312 kkk BAV Dc 101 )0( 0 11130 )( dttcVkD 0, 21 cct 1321 132112kk kkk BAVkD 1130 AB BAk )(13 1321 kk 参 数 估 计 进 入 中 心 室 的 药 物 全 部 排 除 过 滤 嘴 的 作 用 与 它 的 材 料 和 长 度 有 什 么 关 系 人 体 吸 入 的 毒 物 量 与 哪 些 因 素 有 关 ， 其 中哪 些 因 素 影 响 大 ， 哪 些 因 素 影 响 小 。模 型分 析 分 析 吸 烟 时 毒 物 进 入 人 体 的 过 程 ， 建 立 吸烟 过 程 的 数 学 模 型 。 设 想 一 个 “ 机 器 人 ” 在 典 型 环 境 下 吸 烟 ，吸 烟 方 式 和 外 部 环 境 认 为 是 不 变 的 。问 题 5.5 香 烟 过 滤 嘴 的 作 用 模 型假 设定 性 分 析 QvaMl , 2 ?, 1 Qlb ? Qu 1） l1烟 草 长 ， l2过 滤 嘴 长 ， l = l1+ l2， 毒 物 量 M均 匀 分 布 ， 密 度 w0=M/l12） 点 燃 处 毒 物 随 烟 雾 进 入 空 气 和 沿 香 烟穿 行 的 数 量 比 是 a:a, a+a=13） 未 点 燃 的 烟 草 和 过 滤 嘴 对 随 烟 雾 穿 行 的毒 物 的 (单 位 时 间 )吸 收 率 分 别 是 b和 4） 烟 雾 沿 香 烟 穿 行 速 度 是 常 数 v， 香 烟 燃烧 速 度 是 常 数 u， v uQ 吸 一 支 烟 毒 物 进 入 人 体 总 量 vxlxlxq lxxbqxxqxq ,)( ,0,)()()( 1 1 lxlxqv lxxqvbdxdq 1 1),( 0),( ulTdttlqQ T /,),(0 1 模型建立 xx )(xq )( xxq xv0 x1l lt=0, x=0， 点 燃 香 烟0)0,( wxw 00 0)0( uwH aHq q(x,t) 毒 物 流 量w(x,t) 毒 物 密 度1) 求 q(x,0)=q(x) lxleeaH lxeaHxq v lxvblvbx 1)(0 10 , 0,)( 11 ),()( tutuwtH lxleetaH lxutetaHtxq v lxv utlb v utxb 1)()( 1)( ,)( ,)(),( 11 vlv utlb eetutauwtlq 21 )(),(),( t时 刻 ， 香 烟 燃 至 x=ut 1) 求 q(x,0)=q(x)2) 求 q(l,t) tv txqbtxwttxw ),(),(),( 0 )()0,( ),(wxw etutauwvbtw v utxb aaaeawtutw vbuta 1,1),( 0 3) 求 w(ut,t) vabutvbutvlvbl aeeeeaauwtlq 210),( vblavlul eeba vawdttlqQ 121 /0 0 1),( vlv utlb eetutauwtlq 21 )(),(),( vbutaaeawtutw 0 1),( rervblar r 1)(,1 ),( 2 raMeQ vl 4) 计 算 Q 11 vblar结 果分 析 ),(2 raMeQ vl rervblar r 1)(, 1 2/1)( rr vblaaMeQ vl 21 12 烟 草 为 什 么 有 作 用 ?1） Q与 a,M成 正 比 ， aM是 毒 物 集 中 在 x=l 处 的 吸 入 量2) 过 滤 嘴 因 素 ， , l2 负 指 数 作 用vle 2 vlaMe 2 是 毒 物 集 中 在 x=l1 处 的 吸 入 量3） (r) 烟 草 的 吸 收 作 用 b, l1 线 性 作 用 vblavbl eeba vawQ 12 02 1v lbeQQ 2)(21 vblavl eeba vawQ 12 01 1带 过 滤 嘴不 带 过 滤 嘴 21 QQb 结 果分 析 4) 与 另 一 支 不 带 过 滤 嘴 的 香 烟 比 较 ， w0, b, a, v, l 均 相 同 ， 吸 至 x=l1扔 掉提 高 -b 与 加 长 l2， 效 果 相 同 5.6 人 口 预 测 和 控 制 )(),(,0),0( tNtrFtF m rFtrp ),( 年 龄 分 布 对 于 人 口 预 测 的 重 要 性 只 考 虑 自 然 出 生 与 死 亡 ， 不 计 迁 移人 口发 展方 程 的 人 口 ）年 龄人 口 分 布 函 数 rtrF (),( 人 口 密 度 函 数),( trp 人 口 总 数)(tN最 高 年 龄)( mr ),(),( trptrtprp 11 ,),(),( ),(),(),(),( drdtdttrptr trpdttrpdttrpdttdrrp 人 口 发 展 方 程 死 亡 率),( trdrtrp ),( 人 数年 龄 , dr rrt 死 亡 人 数 内),( dttt 人 数年 龄 ,1 1drdrr drrdtt 1drdt 一 阶 偏 微 分 方 程drdttrptr ),(),(drdttdrrp ),( 1 0),(),0( 0),()0,( ),(),(0 ttftp rrprp trptrtprp 人 口 发 展 方 程已 知 函 数 （ 人 口 调 查 ）生 育 率 （ 控 制 人 口 手 段 ）0 tr)( 0 rp rt )(tfrt rt )(),( rtr rtertf rtetrptrp r r tr dss dss ,)( 0,)(),( 0 )( )(0 r dstsptrF 0 ),(),( mr dstsptN 0 ),()( 21 ),(),(),()( rr drtrptrktrbtf ),()(),( trhttrb 21 1),(rr drtrh 21 ),()( rr drtrbt 生 育 率 的 分 解 性 别 比 函 数女 性 )(),( trk 生 育 数女 性 )(),( trb 育 龄 区 间, 21 rr 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf 总 和 生 育 率h生 育 模 式 )(),( rhtrh 0 1r 2r r rtertf rtetrptrp r r tr dss dss ,)( 0,)(),( 0 )( )(0 21 ),(),(),()()( rr drtrptrktrhttf 人 口 发 展 方 程 和 生 育 率)(t 总 和 生 育 率 控 制 生 育 的 多 少),( trh 生 育 模 式 控 制 生 育 的 早 晚 和 疏 密),(),( trptrtprp )(tf )(0 rp ),( trp)(t 正 反 馈 系 统 滞 后 作 用 很 大 mr drtrrptNtR 0 ),()(1)( t drtr detS t 0 ),()( )(/)()( tStRt mr drtrptN 0 ),()(人 口 指 数1） 人 口 总 数2） 平 均 年 龄3） 平 均 寿 命t时 刻 出 生 的 人 ， 死 亡 率 按 (r,t) 计 算 的 平 均 存 活 时 间4） 老 龄 化 指 数控 制 生 育 率 控 制 N(t)不 过 大控 制 (t)不 过 高 5.7 烟 雾 的 扩 散 与 消 失现 象和问 题 炮 弹 在 空 中 爆 炸 ， 烟 雾 向 四 周 扩 散 ， 形 成 圆 形不 透 光 区 域 。不 透 光 区 域 不 断 扩 大 ， 然 后 区 域 边 界 逐 渐 明 亮 ，区 域 缩 小 ， 最 后 烟 雾 消 失 。建 立 模 型 描 述 烟 雾 扩 散 和 消 失 过 程 ， 分 析 消 失时 间 与 各 因 素 的 关 系 。问 题分 析 无 穷 空 间 由 瞬 时 点 源 导 致 的 扩 散 过 程 ， 用 二 阶 偏微 分 方 程 描 述 烟 雾 浓 度 的 变 化 。观 察 的 烟 雾 消 失 与 烟 雾 对 光 线 的 吸 收 ， 以 及 仪器 对 明 暗 的 灵 敏 程 度 有 关 。 gradCkq 模 型假 设 1） 烟 雾 在 无 穷 空 间 扩 散 ， 不 受 大 地 和 风的 影 响 ； 扩 散 服 从 热 传 导 定 律 。2） 光 线 穿 过 烟 雾 时 光 强 的 减 少 与 烟 雾 浓度 成 正 比 ； 无 烟 雾 的 大 气 不 影 响 光 强 。3） 穿 过 烟 雾 进 入 仪 器 的 光 线 只 有 明 暗 之分 ， 明 暗 界 限 由 仪 器 灵 敏 度 决 定 。模 型建 立 1） 烟 雾 浓 度 的 变 化 规 律),( tzyxC热 传 导 定 律 ： 单 位 时 间 通 过 单 位 法向 面 积 的 流 量 与 浓 度 梯 度 成 正 比 21 QQ 222222)( zCyCxCkgradCdivktC V dVttzyxCtzyxCQ ),(),(2 ttt s dtdnqQ 1 VS n 1Qq流 量通 过 , ttt内 烟 雾 改 变 量 s V dVqdivdnq 曲 面 积 分 的 奥 氏 公 式 gradCkq 1） 烟 雾 浓 度 的 变 化 规 律),( tzyxC kt zyxektQtzyxC 423 222)4(),( ),()0,( zyxQzyxC 0,2 22222 tzyxzCyCxCktC 初 始 条 件Q炮 弹 释 放 的 烟 雾 总 量 单 位 强 度 的 点 源 函 数 对 任 意 t, C的 等 值 面 是 球 面 x2+y2+z2=R2; RC 仅 当 t, 对 任 意 点 (x,y,z), C01） 烟 雾 浓 度 的 变 化 规 律),( tzyxC 00 )( IlI )()( lIlCdldI 2） 穿 过 烟 雾 光 强 的 变 化 规 律 光 强 的 减 少 与 烟雾 浓 度 成 正 比方 向 的 烟 雾 浓 度沿 方 向 的 光 强沿 llC llI )( )( 00 )( Ill 的 光 强 为未 进 入 烟 雾 ll dssCeIlI 0 )(0)( 1),( dztzyxCe 观 测 结 果 为 暗仪 器 灵 敏 度 ， 当 ,1/ 0 II3） 仪 器 灵 敏 度 与 烟 雾 明 暗 界 限烟 雾 浓 度 连 续 变 化烟 雾 中 光 强 连 续 变 化 ll dssCeIlI 0 )(0)( 仪 器z -设 光 源 在 z=-, 仪 器 在 z=,则 观 测 到 的 明 暗 界 限 为不 透 光 区 域 有 扩 大 、缩 小 、 消 失 的 过 程穿 过 烟 雾 进 入 仪 器 的 光 线 只 有 明 暗 之分 ， 明 暗 界 限 由 仪 器 灵 敏 度 决 定 。不 透 光 区 域 边 界 tkQkttr 4ln4)( ktyxektQ 4 224 adxe ax 2 4） 不 透 光 区 域 边 界 的 变 化 规 律 1),( dztzyxCekt zyxektQtzyxC 423 222)4(),( 很 小 ） ( 1 1ln1),( dztzyxC ktyxektQdztzyxC 4 224),( 222 ryx 对 任 意 t, 不 透 光 区 域 边 界 是 圆 周不 透 光 区 域边 界 半 径 )(41 最 大 值， eQrrekQtt m 0,42 rkQtt r(t)rm0 t1 t2 ttkQkttr 4ln4)( 结 果 分 析 112 7.2 tett 观 测 到 不 透 光 区 域 边 界 达 到 最 大 的时 刻 t 1， 可 以 预 报 烟 雾 消 失 的 时 刻 t2 mrtQ , 1 1tk 5.8 万 有 引 力 定 律 的 发 现背 景 航 海 业 发 展 天 文 观 测 精 确 “地 心 说 ” 动摇哥 白 尼 ： “ 日 心 说 ” 伽 里 略 ： 落 体 运 动开 普 勒 ： 行 星 运 动 三 定 律 变 速 运 动 的 计 算 方 法牛 顿 ： 一 切 运 动 有 力 学 原 因 牛 顿 运 动 三 定 律牛 顿 ： 研 究 变 速 运 动 ， 发 明 微 积 分 （ 流 数 法 ）开 普 勒 三 定 律牛 顿 运 动 第 二 定 律 万 有 引 力 定 律 自 然 科 学 之 数 学 原 理 (1687) 模 型 假 设极 坐 标 系 (r,) 太 阳 (0,0)1. 行 星 轨 道 )1(,cos1 2222 eababpepr a长 半 轴 , b短半 轴 , e离 心 率Ar 2/23. 行 星 运 行 周 期 T 32 aT rmf 行 星 位 置 ： 向 径 )(),()( ttrtr O (太 阳 ) P (行 星 )r r2. 单 位 时 间 扫 过 面 积 为 常 数 Ar m 行 星 质 量 绝 对 常 数4. 行 星 运 行 受 力 f 模 型 建 立 O (太 阳 ) P (行 星 )r r向 径 的 基 向 量rjiu jiur cossin sincos ruururr rr uu uu urrurrr ururr rr )2()( 2 Ar 2/ 2 32 4,2 r rArA 02 rr rurrr )( 2cos1 epr 32 )(4,sin2 pr rpArpAer ruprAr 224rmf rrrrpr mAf 0022 ,4 rurr 模 型 建 立 rrrrpr mAf 0022 ,4 万 有 引 力 定 律 02 rrkMmf 需 证 明 4A2/p =kM（ 与 哪 一 颗 行 星 无 关 ）A单 位 时 间 扫 过 面 积r 32 aT abTA O (太 阳 ) P (行 星 )r rkM /4 2 (习 题 ) / 22 pA )1(,cos1 2222 eababpepr