邱关源电路第十三章

第 13章 非 正 弦 周 期 电 流 电 路非 正 弦 周 期 信 号13.1 周 期 函 数 分 解 为 傅 里 叶 级 数13.2 有 效 值 、 平 均 值 和 平 均 功 率13.3 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 计 算13.4 对 称 三 相 电 路 中 的 高 次 谐 波13.5 首 页本 章 重 点和 信 号 的 频 谱 2. 非 正 弦 周 期 函 数 的 有 效 值 和 平 均 功 率l 重 点3. 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 计 算1. 周 期 函 数 分 解 为 傅 里 叶 级 数 返 回 13.1 非 正 弦 周 期 信 号 生 产 实 际 中 ， 经 常 会 遇 到 非 正 弦 周 期 电 流 电路 。 在 电 子 技 术 、 自 动 控 制 、 计 算 机 和 无 线 电 技术 等 方 面 ， 电 压 和 电 流 往 往 都 是 周 期 性 的 非 正 弦波 形 。l 非 正 弦 周 期 交 流 信 号 的 特 点(1) 不 是 正 弦 波 (2) 按 周 期 规 律 变 化 )()( nTtftf 下 页上 页返 回 例 2 示 波 器 内 的 水 平 扫 描 电 压周 期 性 锯 齿 波 下 页上 页例 1 半 波 整 流 电 路 的 输 出 信 号 返 回 脉 冲 电 路 中 的 脉 冲 信 号 T t例 3 下 页上 页返 回 交 直 流 共 存 电 路例 4 +V Es 下 页上 页返 回 13.2 周 期 函 数 分 解 为 傅 里 叶 级 数 ttfT d )(0若 周 期 函 数 满 足 狄 利 赫 利 条 件 ： 周 期 函 数 极 值 点 的 数 目 为 有 限 个 ； 间 断 点 的 数 目 为 有 限 个 ； 在 一 个 周 期 内 绝 对 可 积 ， 即 ：可 展 开 成 收 敛 的 傅 里 叶 级 数注 意 一 般 电 工 里 遇 到 的 周 期 函 数 都 能 满 足狄 利 赫 利 条 件 。 下 页上 页返 回 直 流 分 量 基 波 （ 和 原函 数 同 频 ）二 次 谐 波（ 2倍 频 ） 高 次 谐 波)cos()( 1 10 k kkm tkAAtf )cos()( 1110 tAAtf m )2cos( 212 tAm )cos( 1 nnm tnA 周 期 函 数 展 开 成 傅 里 叶 级 数 ： 下 页上 页返 回 sincos)( 11 10 tkbtkaatf kk k tkbtkatkA kkkkm 111 sincos )cos( 也 可 表 示 成 ： kkk kkmkkkmk kkkm ab AbAa baA aA arctan sin cos 2200 系 数 之 间 的 关 系 为 ： 下 页上 页返 回 20 1120 11000 )(d)sin()(1 )(d)cos()(1 d)(1 ttktfb ttktfa ttfTaAkk T 求 出 A0、 ak、 bk便 可 得 到 原 函 数 f(t) 的 展 开 式 。系 数 的 计 算 ： 下 页上 页返 回 利 用 函 数 的 对 称 性 可 使 系 数 的 确 定 简 化 偶 函 数 0 )()( kbtftf 0 )()( katftf 奇 函 数 奇 谐 波 函 数 0 )2()( 22 kk baTtftf 注 意 T/2 t T/2f (t) o T/2 t T/2f (t) o tf (t)T/2 To 下 页上 页返 回 周 期 函 数 的 频 谱 图 ： m 1kA k 的 图 形 幅 度 频 谱 1111 7 5 3 Akmo k1相 位 频 谱 的 图 形 1k k 下 页上 页返 回 周 期 性 方 波 信 号 的 分 解例 1解 图 示 矩 形 波 电 流 在 一 个 周 期 内 的 表 达 式 为 ： TtT TtItiS 2 0 20 )( m 2d1d)(1 0 2/0 mT T mSO ItITttiTI 直 流 分 量 ：谐 波 分 量 ： 20 ) (dsin)(1 ttktib SK K为 偶 数K为 奇 数 20)cos1( 0 kItkkI mm tT/2 T SimIo 下 页上 页返 回 0sin12 )(dcos)(2 020 tkkI ttktia m Sk 22k2kk kIbabA mK （ k为 奇 数 ）si 的 展 开 式 为 ： )5sin513sin31(sin22 tttIIi mmS 下 页上 页返 回 t tt 基 波直 流 分 量三 次 谐 波 五 次 谐 波 七 次 谐 波周 期 性 方 波 波 形 分 解 下 页上 页返 回 基 波直 流 分 量直 流 分 量 +基 波三 次 谐 波直 流 分 量 +基 波 +三 次 谐 波 下 页上 页返 回 )5sin513sin31(sin22 tttIIi mmS tT/2 TSimI IS0 1si 3si 5si 下 页上 页IS0 1si 3si 5si等 效 电 源 返 回 )5sin513sin31(sin22 tttIIi mmS 1111 7 5 3 Akmo 矩 形 波 的幅 度 频 谱tT/2 TSimI 1111 7 5 3 k1o-/2 1k k 矩 形 波 的相 位 频 谱 下 页上 页返 回 2020 0)(dcos 0)(dsin ttkttk 13.3 有 效 值 、 平 均 值 和 平 均 功 率1. 三 角 函 数 的 性 质 正 弦 、 余 弦 信 号 一 个 周 期 内 的 积 分 为 0。 k整 数 sin2、 cos2 在 一 个 周 期 内 的 积 分 为 。 )(dcos )(dsin 20 220 2 ttkttk 下 页上 页返 回 0)(dsinsin 0)(dcoscos 0)(dsincos20 20 20 ttptk ttptk ttptk pk 三 角 函 数 的 正 交 性 下 页上 页返 回 2. 非 正 弦 周 期 函 数 的 有 效 值 )cos()( 10 kk km tkIIti 若则 有 效 值 : )(dcos1 )(d1 20 100 2 ttkIIT ttiTI T k kkmT 下 页上 页返 回 )(dcos1 20 10 ttkIITI T k kkm d)(cos1 0 2122 T kkkm IttkIT d1 0 2020 T ItIT 0d)cos(21 0 0 T k ttkIT 0d)cos()cos(21 0 T qqmkkm ttqItkIT qk 下 页上 页返 回 21 220 k kmIII 周 期 函 数 的 有 效 值 为 直 流 分 量 及 各次 谐 波 分 量 有 效 值 平 方 和 的 方 根 。 222120 IIII结 论 下 页上 页返 回 3. 非 正 弦 周 期 函 数 的 平 均 值 00 d)(1 IttiTI T 其 直 流 值 为 ： )cos()( 10 kk km tkIIti 若其 平 均 值 为 ： Tav ttiTI 0 d)(1 正 弦 量 的 平 均 值 为 ： 898.0dcos1 0 T mav IttITI 下 页上 页返 回 4.非 正 弦 周 期 交 流 电 路 的 平 均 功 率 T tiuTP 0 d1 )cos()( 10 ukk km tkUUtu )cos()( 10 ikk km tkIIti 利 用 三 角 函 数 的 正 交 性 ， 得 ：. )( cos 210 100 PPP IUIUP ikukkkkk k 下 页上 页返 回 平 均 功 率 直 流 分 量 的 功 率 各 次 谐 波 的 平 均 功 率 coscos 22211100 IUIUIUP 结 论 下 页上 页返 回 13.4 非 正 弦 周 期 电 流 电 路 的 计 算1. 计 算 步 骤 对 各 次 谐 波 分 别 应 用 相 量 法 计 算 ； （ 注 意 :交 流各 谐 波 的 XL、 XC不 同 ， 对 直 流 C 相 当 于 开 路 、L 相 于 短 路 。 ） 利 用 傅 里 叶 级 数 ， 将 非 正 弦 周 期 函 数 展 开 成 若干 种 频 率 的 谐 波 信 号 ； 将 以 上 计 算 结 果 转 换 为 瞬 时 值 迭 加 。 下 页上 页返 回 2. 计 算 举 例例 1 方 波 信 号 激 励 的 电 路 。 求 u, 已 知 ：s28.6 A157 pF1000 mH1 20 TI CLRm 、 、 tT/2 T SimI解 (1) 方 波 信 号 的 展 开 式 为 ：)5sin51 3sin31(sin22 t ttIIi mmS s28.6 ,A157 TIm代 入 已 知 数 据 ： 0 下 页上 页RLC uSi返 回 直 流 分 量 ： A5.78215720 II m A 10014.3 57.1221 mm II基 波 最 大 值 ： A2051 15 mm II五 次 谐 波 最 大 值 ： rad/s101028.6 14.322 66 T角 频 率 ：三 次 谐 波 最 大 值 ： A3.3331 13 mm II 下 页上 页返 回 A5.780 SI 电 流 源 各 频 率 的 谐 波 分 量 为 ： A10sin100 61 tis A103sin3100 63 tis A105sin5100 65 tis （ 2） 对 各 次 谐 波 分 量 单 独 计 算 ：（ a) 直 流 分 量 IS0 作 用A5.78 0 SI电 容 断 路 ， 电 感 短 路 mV57.1105.7820 600 SRIU 下 页上 页R u0SI返 回 （ b)基 波 作 用 A 10sin100 61 tis k11010 k110100010 11 361 1261 LC k50)(j )j()j()( 1 RCLRXXXXR XXRZ CLCL CL XLR mV2500050210100( 6111 ）ZIU 下 页上 页RLC u1Si 返 回 (c)三 次 谐 波 作 用 A 103sin3100 63 tis 0 33 331 19.895.374)(j )j)(j()3( CL CL XXR XXRZ k3101033 k33.0101000103 131 361 1261 LC 06133 19.895.3742103.33)3( ZIU S mV2.89247.12 0 下 页上 页RLC u3Si返 回 (d)五 次 谐 波 作 用 A105sin5100 65 tis 53.893.208)5(j )j)(j()5( 55 551 CL CL XXR XXRZ k5101055 k2.0101000105 151 361 1261 LC mV53.892166.4 53.893.20821020)5( 615s5 ZIU 下 页上 页RLC u5Si返 回 (3)各 谐 波 分 量 计 算 结 果 瞬 时 值 迭 加 ： mV)53.895sin(166.4 )2.893sin(47.12 sin500057.1 5310 tt tuuuUu mV57.10 U mV2.89247.123 UmV250001 U mV53.892166.45 U 下 页上 页返 回 V. )42000cos(601000cos12030: ttu已 知求 电 路 中 各 表 读 数 (有 效 值 ) 。例 2 V1L1C1 C2L240mH 10mHu+ _25F25F 30 bc d A3A2 V21A1a 下 页上 页返 回 解(1)u0=30V作 用 于 电 路 ， L1、 L2短 路 ， C1、 C2开 路 。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, u ad0= ucb0 = u0 =30Va i iC1 iL2 L1C1 C2L240mH 10mHu+ _25F25F 30 bc da iC10 iL20L1C1 C2L2+ _30 bc d0i0 下 页上 页返 回 (2) u1=120cos1000t V作 用 4010251000 111 1010101000 4010401000 621 3231 CC LL V01201 U 0 0 cb1 211 U II L A90340j 0120j 1111 UCIC V012011ad UU 1U1I 11CI 21LIj40j40 j40j10a+ _30 bc d 并 联 谐 振 下 页上 页返 回 (3) u2=60cos(2000t+ /4)V作 用 2010252000 12121 20101020002 ,80104020002 621 3231 CC LL V45602 U A453 20j 4560j2 2122 LUIL 0122 CII V4560 0 2cb2ad2 UUU 2I 12CI 22LIj80j20 j20j202Ua + _30 bc d并 联 谐 振 下 页上 页返 回 i=i0+ i1 + i2 =1A 所 求 电 压 、 电 流 的 瞬 时 值 为 ：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) VA 1I表 A1的 读 数 ： 2.12A 2/3 表 A2的 读 数 ：A35.2)2/3(1 22 表 A3的 读 数 ： V90)2/120(30 22 表 V1的 读 数 ： V0.52)2/60(30 22 表 V2的 读 数 ： 下 页上 页返 回 例 3 已 知 u(t)是 周 期 函 数 ， 波 形 如 图 ， L=1/2 H，C=125/ F， 求 理 想 变 压 器 原 边 电 流 i1(t)及 输出 电 压 u2的 有 效 值 。24 10.5u/V t/ms12解 rad/s102/2 3 T ) cos(1212)( ttu A5.18/12 1 i当 u=12V作 用 时 ， 电 容开 路 、 电 感 短 路 ， 有 ：02 u *C 1i 2i +2u+ 2 : 18 Lu *o 下 页上 页返 回 作 用 时当 ) cos(12 tu 410125102 1 63 CXC -j4 2Uj0012 *1I + 2 : 18 * 2I0012 1I+ 8 j4-j4 +1U 11021102 33LXL A3j4j124j1 UI V012 01 UU V061 012 UnU V243.4262 U A)90cos(35.1 01 ti 下 页上 页返 回振 幅 相 量 例 4求 Uab、 i、 及 功 率 表 的 读 数 。 V)303cos(2100cos2220 Vcos2220 02 1 ttu tu :已 知解 一 次 谐 波 作 用 ： V0440 0)1( abU A4.1896.620j60440 0)1( I三 次 谐 波 作 用 ： V30100 0)3( abU A1518.160j60 30100 00)3( I V22.451100440 22 abU A)153cos(218.1)4.18cos(296.6 00 tti W92.14524.18cos96.6220 P 测 的 是 u1的 功 率I+ 60j20+1U Wab2U * 下 页上 页返 回 例 5 L=0.1H， C3 1F， C1中 只 有 基 波 电 流 ， C3中只 有 三 次 谐 波 电 流 ， 求 C1、 C2和 各 支 路 电 流 。A 3000cos101000cos205 ttis :已 知解 FLC 522 109 11 C1中 只 有 基 波 电 流 ， 说 明 L和 C2对 三 次 谐 波 发生 并 联 谐 振 。 即 ： 下 页上 页 1i100 L C3C2C1 200Si 2i 3i 返 回 1i100 L C3C2C1 200Si 2i 3i0)1(jj 1 221 CL CLC C3中 只 有 三 次 谐 波 电 流 ， 说 明 L、 C1、 C2对 一次 谐 波 发 生 串 联 谐 振 。 即 ： F109 8 51 C直 流 作 用 ： 5AS1 ii 下 页上 页返 回 A 1000cos20)( S2 titi 一 次 谐 波 作 用 ：三 次 谐 波 作 用 ： A4823.2310j200100 10100 03)3(3 I A1167.810j93010 0)3(3)3(1 III S A)113000cos(67.85)( 01 tti A)483000cos(23.2)( 03 tti 下 页上 页 1i100 L C3C2C1 200Si 2i 3i 2iSi 1i100 C3200Si 3i 返 回 13.5 对 称 三 相 电 路 中 的 高 次 谐 波)(A tuu B C 2( ), ( )3 3T Tu u t u u t B C 2( ), ( )3 3T Tu u t u u t 设展 开 成 傅 里 叶 级 数 ( k 为 奇 数 ) ， 则 有 ： A m( ) 1cos( )k ku U k t B m( ) 1 2 cos( )3k k ku U k t C m( ) 1 2 cos( )3k k ku U k t A相B相C相 1. 对 称 三 相 电 路 中 的 高 次 谐 波 下 页上 页返 回 令 k =6n+1， (n =0,1,2)， 即 ： k =1,7,13 讨 论各 相 的 初 相 分 别 为 ： A相B相C相 )( k 2( 4 )3k n 2( 4 )3 k n 正 序 对 称三 相 电 源 令 k =6n+3， 即 ： k =3,9,15 下 页上 页返 回 各 相 的 初 相 分 别 为 ： 零 序 对 称三 相 电 源 令 k =6n+5， 即 ： k =5,11,17 A相B相C相 )( k( (2 1)2)k n ( (2 1)2)k n A相B相C相 )( k 2( (2 2)2 )3k n 2( (2 2)2 )3k n 各 相 的 初 相 分 别 为 ： 负 序 对 称三 相 电 源 下 页上 页返 回 结 论 三 相 对 称 的 非 正 弦 周 期 量 （ 奇 谐 波 ） 可 分 解 为 3类 对 称 组 ， 即 正 序 对 称 组 、 负 序 对 称 组 和 零 序对 称 组 。 在 上 述 对 称 的 非 正 弦 周 期 电 压 源 作 用 下 的 对 称 三相 电 路 的 分 析 计 算 ， 按 3类 对 称 组 分 别 进 行 。 对 于正 序 和 负 序 对 称 组 ， 可 直 接 引 用 第 12章 的 方 法 和有 关 结 论 ， 2. 零 序 组 分 量 的 响 应 对 称 的 三 角 形 电 源 下 页上 页返 回 零 序 组 电 压 源 是 等 幅 同 相 的 电 源在 三 角 形 电 源 的 回 路 中 将 产 生 零 序 环 流 A( ) B( ) C( ) S( )k k k kU U U U S( ) S( )0( ) 0 03( ) ( )3 k kk U UI Z Z 零 序 零 序 AB( ) BC( ) CA( ) S( ) 0( ) 0 0k k k k kU U U U I Z 线 电 压 结 论 整 个 系 统 中 除 电 源 中 有 零 序 组 环 流 外 ，其 余 部 分 的 电 压 、 电 流 中 将 不 含 零 序组 分 量 。 在 环 流 的 作 用 下 零 序 线 电 压 为 零 电 源 内 阻下 页上 页返 回 星 形 对 称 电 源 （ 无 中 线 对 称 系 统 ） ZZZ N+ AN + B+ C(k)AU (k)BU (k)CU (k)AIB(k)IC(k)I NN( ) S( )( ) ( )k kU U 零 序 零 序S( ) NNA( ) B( ) C( ) 0kk k k U UI I I Z AB( ) A( ) B( ) 0k k kU U U BC( ) CA( ) 0k kU U 结 论 除 了 中 点 电 压 和 电 源 相 电 压 中 含 有 零 序组 电 压 分 量 外 ， 系 统 的 其 余 部 分 的 电 压 、 电 流都 不 含 零 序 组 分 量 。 下 页上 页返 回 三 相 四 线 制 对 称 系 统 ZZZ N+ AN + B+ C(k)AU (k)BU (k)CU (k)AIB(k)IC(k) I nIZnS( )A( ) B( ) C( ) l( ) n3kk k k k UI I I I Z Z AN( ) BN( ) CN( ) l( )k k k kU U U I Z n S( )NN n3 3 kZUU Z Z n( ) l( )3k kI I AB( ) BC( ) CA( ) 0k k kU U U 结 论 除 线 电 压 外 ， 电 路 中 其 余 部 分 的 电 压 、 电流 中 都 含 零 序 组 分 量 。 上 页返 回