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2000-2008年高考试题分类汇编：万有引力与航天计算题36、（08全国卷2）25（20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。解析：如下图所示：设O和分别表示地球和月球的中心在卫星轨道平面上，A是地月连心线与地月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星轨道的交点过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点卫星在圆弧上运动时发出的信号被遮挡设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有： （4分） （4分）式中，T1表示探月卫星绕月球转动的周期由以上两式可得：设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有： （5分）上式中，由几何关系得： （2分） （2分）由得： （3分） 37、（08宁夏卷）23.（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）解析：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为w1,w2。根据题意有w1=w2r1+r2=r根据万有引力定律和牛顿定律，有GG联立以上各式解得根据解速度与周期的关系知联立式解得38、（04全国卷） 在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计大气阻力。已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T。火星可视为半径为r0的均匀球体。1 （16分）GMrm02 = mg GMrm2 = m( 2 )2r 12 =2 gh = 12 +02 =822h r02 r3 +02 39、（07上海） （10分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g10 m/s2，空气阻力不计）求该星球表面附近的重力加速度g/；已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。解：故：，所以可解得：M星:M地112:5421:80， 40、（00天津、江西卷） （12分）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内，若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬，已知地球半径R、地球自转周期T、地球表面重力加速度g（视为常量）和光速c。试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。参考解答：设为卫星质量，为地球质量，为卫星到地球中心的距离，为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有， 式中G为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度与地球自转的角速度相等有 因得 设嘉峪关到同步卫星的距离为，如图所示，由余弦定理 所求时间为 由以上各式得 41、（01北京、内蒙古、安徽卷） （12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。参考解答：设两星质量分别为，都绕连线上O点作周期为T的圆周运动，星球1和星球2到O的距离分别为由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得 联立解得评分标准：本题12分、各占3分42、（01上海卷） （10分）（10）1791年，米被定义为：在经过巴黎的子午线上，取从赤道到北极长度的一千万分之一。请由此估算地求的半径R。（答案保留二位有效数字）（2）太阳与地球的距离为1.51011 m，太阳光以平行光束入射到地面。地球表面2/3的面积被水面所覆盖，太阳在一年中辐射到地球表面水面部分的总能量 W约为三1.871024J。设水面对太阳辐射的平均反射率为7，而且将吸收到的35能量重新辐射出去。太阳辐射可将水面的水蒸发（设在常温、常压下蒸发1kg水需要2.2106J的能量），而后凝结成雨滴降落到地面。（a）估算整个地球表面的年平均降雨量（以毫米表示，球面积为4R2）。（b）太阳辐射到地球的能量中只有约50到达地面，W只是其中的一部分。太阳辐射到地球的能量没能全部到达地面，这是为什么？请说明二个理由。解：（1）2R1/41.00107R6.37106 m （2）（a）设太阳在一年中辐射到地球水面部分的总能量为W，W1.871024J凝结成雨滴年降落到地面水的总质量为mmW0.930.65/(2.2106)5.141017 kg 使地球表面覆盖一层水的厚度为hhm/s地球h1.01103mm 整个地球表面年平均降雨量约为1.0103 mm（b）大气层的吸收，大气层的散射或反射，云层遮挡等。评分标准：全题10分。第（1）小题3分，第（2）小题7分。其中（1）得出给 3分，写出R6.4106 m，同样给分。43、（03全国卷） （15分）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为T。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 （引力常数G6.671011m3kgs2) 参考答案： 考虑中子星赤道处一小块物质，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解。 设中子星的密度为，质量为M，半径为R，自转角速度为，位于赤道处的小块物质质量为m，则有 由以上各式得 代人数据解得 44、（04春季）（16分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度km的圆形轨道。已知地球半径km，地面处的重力加速度。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字） 设地球质量为M，飞船质量为m，速度为v，圆轨道的半径为r，由万有引力和牛顿第二定律，有地面附近由已知条件解以上各式得代入数值，得45、（07广东卷）（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA8.0104 km和rB1.2105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）求岩石颗粒A和B的线速度之比；求岩石颗粒A和B的周期之比；土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2105 km处受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？解：设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律：解得：对于A、B两颗粒分别有： 和得： 设颗粒绕土星作圆周运动的周期为T，则： 对于A、B两颗粒分别有： 和 得： 设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0/3.2105 km处的引力为G0/，根据万有引力定律： 解得：46、（05广东卷）（13分）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：同步卫星绕地球作圆周运动，由得请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。（13分）(1)上面结果是错误的，地球的半径R在计算过程中不能忽略。正确的解法和结果是：得（2）方法一：对月球绕地球作圆周运动，由得方法二：在地面重力近似等于万有引力，由得 47、（06四川卷）(16分)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动。随着科技的迅速发展，将来的某一天，同学们也许会在其它星球上享受荡秋千的乐趣。假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点，秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90，万有引力常量为G。那么，(1) 该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？(2) 若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？(1)设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力，有mg星= 解得 g星= (3) 设人能上升的最大高度为h,由功能关系得mg星h= 解得 h= 48、（06天津卷）11（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率和运行周期T。（1）可见星A所受暗星B的引力可等效为位于O点处质量为的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为、，试求（用、表示）；（2）求暗星B的质量与可见星A的速率、运行周期T和质量之间的关系式；（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率，运行周期，质量，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（）（1）设A、B的圆轨道半径分别为、，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为。由牛顿运动定律，有 设A、B之间的距离为，又，由上述各式得 由万有引力定律，有，将代入得 令 比较可得 （2）由牛顿第二定律，有 又可见星A的轨道半径 由式解得 （3）将代入式，得代入数据得 设，将其代入式，得 可见，的值随的增大而增大，试令，得 若使式成立，则必大于2，即暗星B的质量必大于2，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。49、（06江苏卷） （14分）如图所示，A是地球的同步卫星。另一卫星 B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h。已知地球半径为 R，地球自转角速度为0，地球表面的重力加速度为 g，O为地球中心。 （1）求卫星B的运行周期。 （2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上），则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？（）由万有引力定律和向心力公式得 联立得 （2）由题意得 由得 代入得50、（04广东卷）（ 16分）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离. 有 春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有 由以上各式可解得
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