《平面图形的面积》PPT课件

一 、 平 面 图 形 的 面 积 二 、 由 平 行 截 面 面 积 求 体 积 第 十 章 定 积 分 的 应 用 （一 ）由 平 行 截 面 面 积 求 体 积直 接 应 用 求 旋 转 体 的 体 积面 积 公 式 （ 直 角 坐 标 ， 极 坐 标 ） 一 、 平 面 图 形 的 面 积 如 果 函 数 y=f(x)( f(x)0)在 区 间 a, b上 连 续 ， 则 由 曲线 y=f(x)、 x轴 与 直 线 x=a、x=b所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积为 复 习 ： O x ya b y=f (x) baf (x)dx = caf (x)dx bcf (x)dx。 ba f(x)dx。 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线x=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 S 如 何 求 ？考 虑 如 下 问 题 ： O x y 1、 若 图 形 在 x轴 上 方 ， a b y=f (x) y=g(x)注 意 图 形 的 形 成 S =ba f(x)dxba g(x)dx =ba f(x)g(x)dx。 =baf(x)g(x)dx。 ba f( ) ba ( ) x ba f(x) g(x)dx。 a b y=f(x) y=g(x)O x y 2、 若 图 形 不 在 x轴 上 方 ， y=f(x)m y=g(x)mm将 图 形 平 移 到 x轴 的 上 方S =baf(x)mdx bag(x)mdx =baf(x)g(x)dx。 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线x=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 S 如 何 求 ？考 虑 如 下 问 题 ： 1、 若 图 形 在 x轴 上 方 ，S =ba f(x)dxba g(x)dx =ba f(x)g(x)dx。 =baf(x)g(x)dx。 ba f( ) ba ( ) x ba f(x) g(x)dx。 f(x)mdx g(x)mdx 结 论 ： 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 为注 ： (1)当 曲 线 f(x)=0或 g(x)=0时 ， 上 述 公 式 也 成 立 。O x ya b y=f(x)g(x)=0 O x ya b y=g(x)f(x)=0 O x ya b y=f(x)g(x)=0 O x ya b y=f(x)g(x)=0 (2)当 左 右 两 边 缩 为 一 点 时 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (3)积 分 区 间 就 是 图 形 在 x轴 上 的 投 影 区 间 。 结 论 ： 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 为注 ： (1)当 曲 线 f(x)=0或 g(x)=0时 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (4)如 果 y=f(x)有 分 段 点 c， 则 需 把 图 形 分 割 后 计 算 。O x y a b y=f(x)g(x)=0 y=f1(x) y=f2(x)c S=baf (x)g(x)dx = caf1(x)g(x)dx bcf2(x)g(x)dx。 S=ba f (x)g(x)dx =caf1(x)g(x)dx bcf2(x)g(x)dx。 结 论 ： 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 为注 ： (1)当 曲 线 f(x)=0或 g(x)=0时 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (2)当 左 右 两 边 缩 为 一 点 时 ， 上 述 公 式 也 成 立 。 (3)积 分 区 间 就 是 图 形 在 x轴 上 的 投 影 区 间 。 讨 论 ： 由 左 右 两 条 连 续 曲 线 x=y(y)、 x=j(y)与 上 下 两 条 直线 y=c、 y=d所 围 成 的 图 形 的 面 积 S 如 何 求 ？O x ycd x=y(y) x=j(y)dyyyS dc )()( yj = 。 答 案 ： 结 论 ： 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 ab xyO S1结 论 ： 由 上 下 两 条 连 续 曲 线 y=f(x)、 y=g(x)与 左 右 两 条 直 线 =baf(x)g(x)dx。 Sx=a、 x=b所 围 成 的 图 形 的 面 积 为 例 1. 求 椭 圆 所 围 成 的 图 形 面 积 。 解 ： 设 椭 圆 在 第 一 象 限 的 面 积 为 S1， 则 椭 圆 的 面 积 为2 22 2 1x ya b =2202 200 0 24 1 , let sin , we get 4 cos(1 cos2 ) .4 a a xS ydx b dx x a taS ab tdtab t dtab = = = = 221 xy b a= 解 ： 由 对 称 性 ， 图 形 面 积 是 第 一 象 限 部 分 的 两 倍 。 S =2 dxxxdxxx )1 12()21 1( 231 210 22 x 3= 所 围 成 的 图 形 的 面 积 。 例 2 求 曲 线 y=21 x2、 y 21 1x= 与 直 线 x 3= 、 xO-1 1 y y 21 1x= 3=3 y=21 x2 解 ： 由 对 称 性 ， 图 形 面 积 是 第 一 象 限 部 分 的 两 倍 。 S =2 dxxxdxxx )1 12()21 1( 231 210 22 103 )6 arctg( xx 303 ) arctg6( xx =2 x 3= 所 围 成 的 图 形 的 面 积 。 )233(31 = .11 例 2 求 曲 线 y=21 x2、 y 21 1x= 与 直 线 x 3= 、 例 3 计 算 抛 物 线 y2=2x 与 直 线 xy=4所 围 成 的 图 形 的面 积 。 8 y -2 2 x2O4 44 (8, 4)(2, 2) 解 ： 求 两 曲 线 的 交 点 得 ： (2， 2)， (8， 4)。 将 图 形向 y轴 投 影 得 区 间 2， 4。 A= 1861421)214( 4232242 = yyydyyy 。 =18。思 考 ： 为 什 么 不 向 x轴 投 影 ？ S= 1861421)214( 4232242 = yyydyyy oy xa b a boy x一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程 = )()(ty tx yj给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值21 ,tt则曲边梯形面积 = 2121 d)()()()( ttttba ttttdtydxA jyjy)(1 axt =对应)(1 bxt =对应 极坐标情形,0)(,)( jj C设求由曲线)(j=r及 = ,射线围成的曲边扇形的面积 .在区间, 上任取小区间d, 则该小区间上曲边扇形面积的近似值为 j d)(21d 2=S所求曲边扇形的面积为j d)(2121 2 = dAA )(j=r xd 对应 从 0 变例5. 计算阿基米德螺线解: )0( = aar xa2o d d)(21 2a= 20A 22a= 331 022334 a=到 2 所围图形面积 . tta dcos8 20 42= 例6. 计算心形线所围图形的面积 . 解: )0()cos1( = aar xa2o d d)cos1(21 22 a= 02A = 02a d2cos4 4 (利用对称性)2=t令= 28a 43 21 2 223 a= 二 、 由 平 行 截 面 面 积 求 体 积 设 一 立 体 在 x轴 上 的 投 影 区 间为 a, b ， 过 x点 垂 直 于 x轴 的 截面 面 积 S(x)是 x的 连 续 函 数 ， 求此 立 体 的 体 积 。 V =ni 1S(i)xi。 (3)令 l=maxxi， 则 立 体体 积 为 (1) 在 a, b内 插 入 分 点 ： a=x0 x1x2 xn1xn=b， (2)过 xi(i=1, 2, , n1)且 垂直 于 x轴 的 平 面 ， 把 立 体 分 割 成n个 小 薄 片 ， 第 i个 小 薄 片 体 积的 近 似 值 S(xi)xi。 将 n个 小 薄 片 体 积 的 近 似 值相 加 得 立 体 体 积 的 近 似 值xO a x1 xi1 xi xn b V = = ni 10liml S( )xi =ba S(x)dx。 i a bzx yco垂直 x 轴的截面是椭圆1)1()1( 2222 2 22 2 = axax c zb y例7. 计算由曲面1222222 = czbyax所围立体(椭球体)解:它的面积为)1()( 22axbcxS =因此椭球体体积为bc2= 0a bca34=特别当 a = b = c 时就是球体体积 . )( axa xbc ax d)1( 22= aV 02 x 233axx的体积. 例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并与底面交成 角, 222 Ryx =解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)( 22 xRxA = )( RxR = R xxRV 0 22 dtan)(212 32 31tan2 xxR = 0R tan32 3R=利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .o R x yx o R x y思考: 可否选择 y 作积分变量 ?此时截面面积函数是什么 ?如何用定积分表示体积 ? ),( yx=)(yA提示: tan2 yx 22tan2 yRy = =V R0tan2 yyRy d22 O xba y区 间 a, b上 截 面 积 为 S(x)的 立 体 体 积 ：右 图 为 由 连 续 曲 线 y=f(x)、 直 线 x=a 、 x=b 及 x 轴 所 围 成 的 曲 边梯 形 绕 x轴 旋 转 一 周 而 成 的 立 体 。 y=f (x) V =ba f(x)2dx=ba f(x)2dx。 V =ba S(x)dx。 关 键 是 确 定 截 面 面 积 2( ) ( )S x f x= 当考虑连续曲线段)()( dycyx =j绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, = dc dyyV 2)(j xoy )(yx j=cdy 2( ) ( )S y y j=截面面积为于是有 例 9 连 接 坐 标 原 点 O及 点 P(h， r)的 直 线 、 直 线 x=h 及 x轴 围 成 一 个 直 角 三 角 形 。 将 它 绕 x轴 旋 转 构 成 一 个 底半 径 为 r、 高 为 h的 圆 锥 体 。 计 算 这 圆 锥 体 的 体 积 。 解 ： 过 原 点 O 及 点 P(h， r)的 直 线 方 程 为 y xhr= 。 V=h0 ( xhr )2dx = 22 hr h0 x2dx =31 h r 2。 所 求 圆 锥 体 的 体 积 为 = 22 hr h0 x2dx 231 hr= 。 xhry = hr xyO曲 线 y=f(x)绕 x 轴 旋 转 而 成 的 立 体 体 积 ： V =baf(x)2dx。 区 间 a, b上 截 面 积 为 S(x) 的 立 体 体 积 ： V =ba S(x)dx。 。 ( , )P r h ay xb例10. 计算由椭圆12222 = byax所围图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程)(22 axaxaaby =则截面面积xxaab a d)(2 20 222 = (利用对称性) = 3222 312 xxaab 0a 234 ab= o= a dxyV 0 22 x2( )S x y=于是 方法2 利用椭圆参数方程 = tby tax sincos则xyV a d2 0 2= ttab dsin2 32= 22 ab= 32234 ab= 02特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积.34 3a xyo a2例11. 计算摆线 = = )cos1( )sin( tay ttax )0( a的一拱与 y0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .解: 绕 x 轴旋转而成的体积为xyV ax d20 2= 利用对称性= 20 22 )cos1( ta tta d)cos1( tta d)cos1(2 0 33 = tta d2sin16 0 63= uua dsin32 20 63= = 332 a 65 43 21 2325 a= ay )2( tu =令 xyo a2a绕 y 轴旋转而成的体积为 = = )cos1( )sin( tay ttax )0( a a2yyxV ay d)(20 22= = 22 )sin( tta tta dsin2 yyxa d)(20 21 )(2 yxx = 22 )sin( tta tta dsin0注意上下限 ! = 20 23 dsin)sin( tttta 336 a= )(1 yxx =注意分段点！ 分部积分对称关于2注 20 2 dsin)sin( tttt = 20 322 d)sinsin2sin( tttttt )( =tu令= uuu sin)2( 22 uu 2sin)(2 uu dsin3(利用“偶倍奇零”)= 0 dsin4 uuu 0 2 dsin4 uu24= uudsin8 20 2 22184 2 = 26= o x1 2y B C3A例12. 求曲线13 2 = xy与 x 轴围成的封闭图形绕直线 y3 旋转得的旋转体体积. (94 考研)解: 利用对称性 ,=y 10 x,22 x 21 x,4 2x故旋转体体积为=V 432 xx d)2(32 10 22 xx d)1(236 10 22 = xx d)1(2 21 22 x 12 2 15448=在第一象限 xx d)4(32 21 22 分部积分对称关于2注 20 2 dsin)sin( tttt = 20 322 d)sinsin2sin( tttttt )( =tu令= uuu sin)2( 22 uu 2sin)(2 uu dsin3(利用“偶倍奇零”)= 0 dsin4 uuu 0 2 dsin4 uu24= uudsin8 20 2 22184 2 = 26= 作 业 ： P242 T1， 5， P246 T2 预 习 ： 第 三 节 平 面 曲 线 的 弧 长 与 曲 率