定积分的积分方法

55 40 xx e dx例 5 55 5 5 312500 1 1 1| ( 1)5 5 5x xe dx e e 原 式 5 5 2 2 502 20 01 1 1 1ln(1 )| ln262 2 21 1x dx dx xx x 例 同 不 定 积 分 的 凑 微 分 法 一 样 20 sin 1 cosx dxx 求解 20 sin1 cosx dxx 20 sin1 cosx dxx 20 1 (cos )1 cos d xx 0arctan(cos )x ( )4 4 2 43 )ln1(lnee xxx dx 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 )ln1(ln )(lnee xx xd 43 2)ln(1 ln2 ee xxd 43)lnarcsin(2 eex 6 定 理 （ 2） 函 数 )(tx 在 , 上 是 单 值 的 且 有 连 续导 数 ；（ 3） 当 t在 区 间 , 上 变 化 时 ， )(tx 的 值 在, ba 上 变 化 ， 且 a)( 、 b)( ， 则 有 ( ) ( ) ( )ba f x dx f t t dt . 换 元 公 式 注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 . 证 设 )(xF 是 )(xf 的 一 个 原 函 数 ，),()()( aFbFdxxfba ( )dF t dF dxdt dx dt )()( txf ),()( ttf ( ) ( ) ( ) ( )f t t dt F F ( )F t 是 )()( ttf 的 一 个 原 函 数 . ( )x t ( ) , ( ) ,b a 又 = = )()( FF ( )ba f x dx ( ) ( )f t t dt ( ) ( )F b F a 应 用 换 元 公 式 时 应 注 意 :（ 1） 求 出 )()( ttf 的 一 个 原 函 数 )(t 后 ， 不 必 象 计 算 不 定 积 分 那 样 再 要 把 )(t 变 换 成 原变 量 x的 函 数 ， 而 只 要 把 新 变 量 t 的 上 、 下限 分 别 代 入 )(t 然 后 相 减 就 行 了 . （ 2） 用 )(tx 把 变 量 x换 成 新 变 量 t 时 ， 积 分 限 也相 应 的 改 变 . dxx 20 24 1tx tan2 40 tdt tan2tan44 1 240 1sect tdt2sec 40tansecln tt )12ln( 例 ： 40 12 2 dxxxtx 12 212 tx )1(21 2 tx31 )1(212)1(21 22 tdtt 31 2 )3(21 dtt 313 33121 tt 322例 ： ,)( aaCxf 证 明 ： 若为 奇 函 数 时 )( .10 xf aa dxxf )(a a xy0 0为 偶 函 数 时 )( .20 xf aa dxxf )(a a xy0 a dxxf0 )(2例 (命 题 1) aa aa dxxfdxxfdxxf 00 )()()(证 0 )(a dxxf 0 )()(a tdtf a dttf0 )(tx a dttf0 )( a dxxf0 )( a dxxfxf0 )()(为 奇 函 数 时 )( .10 xf aa dxxf )(为 偶 函 数 时 )( .20 xf aa dxxf )( a dxxf0 )(20 2121 28 )1(ln1sin dxxx x0 dxx 2121 )1ln( 0)1ln( x 0 x 021 )1ln( dxx dxx 210 )1ln(0 122 ln(1 )x dx 0 122 ln(1 )x x 012 ln(1 )xd x 3ln 2 0122 1 x dxx 函 数 奇 偶 性 设 )(xf 是 以 T 为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证 明 ： 证 Taa xxf d)( ,d)(d)(d)( 00 TaTTa xxfxxfxxf TaT xxf d)( tTx a tTtf0 d)( a ttf0 d)( ,d)(0 a xxf .d)(d)( 0 TTaa xxfxxf 例 (命 题 2) TTaa xxfxxf 0 d)(d)( . tx 2 令试 证 ：设 ,1,0)( Cxf 20 )(sin .1 dxxf 20 )(cos dxxf证 xx cossin 为 使020 )(sin dxxftx 2 )2sin( tf )2( td 2 dt 02 )(costf 20 )(cos dxxf 例 ： 例 .d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf ， 2/2/00 d)(sind)(sind)(sin xxfxxfxxf证 (2) 2/ d)(sin xxf 2/0 d)(sin ttf ， 2/0 d)(sin xxf .d)(sin2d)(sin 2/00 xxfxxf xt 0 2/ )(d)sin( ttf 试 证 ：设 ,1,0)( Cxf 证 (3)令 ， 00 d)(sin2d)(sin xxfxxxf并 计 算 .dcos1 sin0 2 xxxx，xt 0 d)(sin xxxfI ，Ixxf 0 d)(sin.d)(sin2 0 xxfI 例 )d()sin()( 0 ttft 0 d)(sin)( ttft 试 证 ：设 ,1,0)( Cxf 0 2 dcos1 sin xxxx 0 2 dcos1 sin2 xxx 0)arctan(cos2 x 1arctan)1arctan(2 00 d)(sin2d)(sin xxfxxxf 0 2 cosdcos1 12 xx .42 302 )1( ,)( dxxfxxf 求设解 30 )1( dxxf )1()1(30 xdxf 30 )1( dxxftx 1 41 )(tf )1( td 41 )(tf dt 41 )( dxxf 41 2dxx 41331 x 21例 ： tx 1 4 1 ( )f t dt41 ( )f x dx )( xf设 2xxe 0 xxcos1 1 01 x 41 )2( dxxf求 解 41 )2( dxxf tx 2 21 )2()( tdtf 21 )( dttf 21 )( dxxf 20 2dxxe x 01 cos1 1 dxx 01 2 2cos2 1 dxx 2021 2xe 012tan x 2021 2xe 212121tan 4 e 解例 7 设 )(xf 在 ),( 上 连 续 ， 且 满 足 ,1ed)(0 xttxft xx 求 )(xf ， 令 ，txu x ttxft0 d)( 则 0 d)()(x uufux x uufux0 d)()( ,d)(d)( 00 xx uufuuufx ,1ed)(d)( 00 xuufuuufx xxx两 边 求 导 ， ,1e)()(d)(0 xx xxfxxfuuf即 ,1ed)(0 xx uuf 再 求 导 ， 得 .e)( xxf 设 x tttxf 1 d1ln)( ,其 中 0 x ,求 )()1( xfxf . 例 解 x tttxf 11 d1ln)1( uuuuut x d)1(/11 ln /1 1 2 ,dln1 2 x uuu u xx tttttt txfxf 11 d1lnd)1(ln)()1( x tt t1 dln .ln21 2 x x ttttt t1 d1ln)1(ln 设 函 数 )(xu 、 )(xv 在 区 间 ba, 上 具 有 连 续导 数 ， 则 有 bababa vduuvudv .定 积 分 的 分 部 积 分 公 式推 导 ,vuvuuv ( ) ,b b b a a auv dx u vdx uv dx . bababa vduuvudv 分 部 积 分 公 式 , b bba a auv u vdx uv dx 例 1 计 算 .arcsin210 xdx解 令 ,arcsin xu ,dxdv ,1 2xdxdu ,xv 210 arcsin xdx 210arcsin xx 210 21 xxdx621 )1(1121 20 221 xdx 12 21021 x .12312 则 例 设 求解 21 ,sin)( x dtt txf 10 )( dxxxf10 )( dxxxf 10 2)()(21 xdxf 102 )(21 xfx 10 2 )(21 xdfx)1(21 f 10 2 )(21 dxxfx 10 221 x 2 2sinxx xdx2 10 22sin21 dxx 102cos21 x )11(cos21 例 证 明 定 积 分 公 式 22 00 cossin xdxxdxI nnn nnnnn nnnnn ,3254231 ,22143231 为 正 偶 数为 大 于 1的 正 奇 数证 设 ,sin 1 xu n ,sin xdxdv ,cossin)1( 2 xdxxndu n ,cos xv dxxxnxxI nnn 22 0 2201 cossin)1(cossin x2sin10 dxxndxxnI nnn 22 00 2 sin)1(sin)1( nn InIn )1()1( 2 21 nn InnI 积 分 关 于 下 标 的 递 推 公 式nI42 23 nn InnI , 直 到 下 标 减 到 0或 1为 止 ,21436522 322 12 02 ImmmmI m ,32547612 2212 2 112 ImmmmI m ),2,1( m,2200 dxI ,1sin201 xdxI ,221436522 322 122 mmmmI m .32547612 2212 212 mmmmI m于 是