资源描述
设 为 n阶 方 阵 ，,A B 若 有 可 逆 矩 阵 ,P 使 得1 P AP B则 称 B 是 A 的 相 似 矩 阵 ， 或 者 称 A和 B相 似 .相 似 关 系 是 一 种 等 价 关 系 ,即 满 足 :(1) 反 身 性 ; (2) 对 称 性 ; (3) 传 递 性 .A B.记 号 ： 相 似 矩 阵 的 定 义 和 简 单 性 质1 定 义 A B, 则（ 1） 有 相 同 的 行 列 式 ；1 , -P AP B 证（ 2） 有 相 同 的 秩 ；（ 3） 有 相 同 的 特 征 值 ；由 1 .- | | | | | |B P AP A 可 得-1 ,P AP B 由 ( ) ( ).r rA B可 得证 |PEAP )(| -1 | A E |.|EB | |(| 11 E)PPAPP - -1 ,P AP B 由 可 得证 2 简 单 性 质 (4) kAkB, AmBm, f(A)f(B), ATBT, A*B*, A-1B-1因 A与 B相 似 ， 即 有 可 逆 矩 阵 P， BAPP 1证 显 然 , P-1(kA)P=kB, 即 kAkB.PAP m1 1 1 1m =( )( ) ( )B P AP P AP P AP APPPPPAPPAP )()()( 1111 矩 阵 乘 法满 足 结 合 律即 AmBm.由 kAkB, AmBm, 可 得 f(A)f(B).由 (P-1AP)T=BT, (P-1AP)*=B*, (P-1AP)-1=B-1,可 得 PTAT(PT)-1 =BT, P*A*(P*)-1 =B*, P-1A-1P=B-1. 即 ATBT, A*B*, A-1B-1. 例 若 n阶 矩 阵 A与 对 角 矩 阵 n 21 相 似 ， 则 A的 n个 特 征 值 为 1 2 n, , , 又 A, 也 就 是 A的 n个 特 征 值 .1 2 n, , , 证 因 是 的 全 部 n个 特 征 值 .1 2 n, , , 例 ._,43 213122 yxxy 则若 ， 行 列 式 .两 个 矩 阵 有 相 同 的 迹 和由 相 似 的 条 件 ,:解 ,43 213122 4122 , xyx ，所 以 即 x= -17， y= -12. 若 方 阵 A能 与 一 个 对 角 阵 相 似 , 则 称 A可 相 似 对 角 化 . 矩 阵 的 相 似 对 角 化1 定 义 1 1 0 1 4 20 1 01 2 2 A 1 2 n ？11 12 121 22 21 2 nnn n nna a aa a aa a a A 1 21 .n P AP 即 存 在 可 逆 矩 阵 P， .AP P则 有 1 2( , , , )n A x x x 1 21 2( , , , ) ,n n x x x即 1 2 1 1 2 2( , , , ) ( , , , )n n n Ax Ax Ax x x x故使 得 两 边 左 乘 P:因 为 P是 可 逆 矩 阵 ， 1 2, , , nx x x所 以 线 性 无 关 .将 P按 列 分 块 1 2( , , , ),n P x x x 设 n阶 方 阵 A可 相 似 对 角 化 ， 1,2, , .i n ,i i iAx x 所 以 ， 1 2, , , n 为 A的 n个 特 征 值 , 1 2, , , nx x x是 分 别 对 应 于 特 征 值 1 2, , , n 的 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .设 n阶 方 阵 A有 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 即 ,i i iAx x 1,2, , .i n 1 2, , , nx x xP令 1 2( , , , ),n x x x 显 然 P 可 逆 . 则 1 2( , , , )n x x x1 1 2 2( , , , )n n x x x1 2( , , , )n AP A x x x 1 2 n 1 2( , , , )nAx Ax Ax 1 P AP . P所 以 反 之 , n阶 方 阵 A可 相 似 对 角 化 的 充 要 条 件 是 A有 n个 线 性 无 关的 特 征 向 量 .推 论 1推 论 2 若 n 阶 方 阵 A 的 n 个 特 征 值 互 不 相 等 ,则 A可 相 似 对 角 化 . n阶 方 阵 A可 相 似 对 角 化 的 充 要 条 件 是 A的 所 有 特 征 值的 重 数 与 其 对 应 的 线 性 无 关 特 征 向 量 的 个 数 相 等 . 即 若 i是 A的 重 特 征 值 ，则 A可 相 似 对 角 化 的 充 要 条 件 是 1 2( 1,2, , , )i mk i m k k k n i的 重 数 k i =对 应 的 线 性 无 关 特 征 向 量 的 个 数 =线 性 方 程 组 (A-iE)x=0的 基 础 解 系 所 含 解 向 量 的 个 数 = n-R(A-iE). 1 21 ,n P AP若 对 角 线 元 素 为 A的 n个 特 征 值 ;(1)(2) 可 逆 矩 阵 P的 列 向 量 为 A的 n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .特 别 注 意 : P的 列 向 量 的 排 列 顺 序 必 须 与 对 角 阵 对 角 线 元 素 的 排 列 顺 序 一 致 ！ 1 2, , , n 方 阵 A相 似 对 角 化 的 步 骤 :(2) 对 每 个 特 征 值 , 求 线 性 方 程 组 (A-E)x=0的 基 础 解 系 , 进 而 求 得 A的 所 有 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ; (3) 若 A的 所 有 线 性 无 关 特 征 向 量 的 个 数 小 于 n, 则 不 能 对 角 化 ; 若 等 于 n个 , 不 妨 设 为 x1, x2, , xn, 令 P=(x1, x2, , xn), 则(1) 求 解 |A-E|=0, 求 得 A的 特 征 值 ;, 21 n nAPP 211 例 设 矩 阵 101 131 002A 求 可 逆 矩 阵 P和 对 角 矩 阵 , 使 得 P-1AP= 解 | A-E|= 101 131 002 0)1)(3)(2( 所 以 3阶 方 阵 A有 三 个 不 同 的 特 征 值 1， 2， 3. 001 121 001EA 1 0 00 2 10 0 0 变 换行当 =1时 ， 解 方 程 组 (A-E) =0，x 所 以 (A-E)x =0的 基 础 解 系 ,即 对 应 于 =1的 线 性 无 关 的 特征 向 量 x1 =(0,1,2)T. 101 111 0002EA 000 010 101 201 101 0013EA 000 100 001 1 2 3 0 1 0( , , )= 1 0 1 ,2 1 0 x x x P令 当 =3时 ,解 方 程 组 (A-3E) =0，x当 =2时 ,解 方 程 组 (A-2E) =0，x所 以 方 程 组 (A-2E) =0的 基 础 解 系 , 即 对 应 于 =2的 线 性 无关 的 特 征 向 量 =(1,0,1)T.x2x所 以 方 程 组 (A-3E) =0的 基 础 解 系 , 即 对 应 于 =3的 线 性 无关 的 特 征 向 量 =(0,1,0)T.x3x 1 2 ,3 且 P-1AP= . 反 求 矩 阵 已 知 特 征 值 和 特 征 向 量 ， 利 用 相 似 对 角 化 ， 反 求 矩 阵 .A 对 应 的 特 征 向 量 依 次 为 :设 3阶 矩 阵 求 矩 阵 1 ( 2,1,0) ,T x 2 (1,0,1) , Tx 3 (2,0,1) , Tx的 特 征 值 是 -1,-1, 0, A. 由 条 件 ， 可 得 线 性 无 关 ，1 2 3x x x， ， 相 似 对 角 化 的 应 用 1 2 3 2 1 2( , , ) 1 0 0 ,0 1 1 P x x x令 1 1 ,0 B 应 用 1 则 有 1 . P AP B进 而 ， 1A PBP 12 1 2 1 2 1 21 0 0 1 1 0 00 1 1 0 0 1 1 1 4 20 1 0 .1 2 2 设 A为 n阶 方 阵 . 如 果 A与 对 角 矩 阵 B相 似 ， 即 存 在 可 逆 矩 阵 P，1 21 ,n P AP B 1.A PBP mA 1( )mPBP 1 12 .m m mn P P 1mPB P进 而 有 ， 求 矩 阵 的 方 幂 应 用 2 1 4 20 1 0 ,1 2 2 A设 求 2015.A 21 4 20 1 0 ( 1) 0,1 2 2E A 由 可 得 A的 特 征 值 为 -1， -1， 0.容 易 求 得 ( ) 1,R E A 所 以 矩 阵 A共 有 3个 线 性 无 关 的 特 征 向 量 .从 而 ,属 于 特 征 值 -1的 线 性 无 关 特 征 向 量 个 数 为3 ( ) 2,R E A 亦 即 ： 存 在 可 逆 矩 阵 P, 使 得1 1 1 .0 P AP B进 而 可 得 1.A PBP 2015A 1 2015( ) PBP 2015 1 PB P 2015 2015 1( 1) ( 1) 0 P P .B P121 9;10;11;12;14(1)(2)
展开阅读全文