2441弧长和扇形面积

制造弯形管道时，经常要先按中心线制造弯形管道时，经常要先按中心线计算计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)，再下料，这就涉及到计算，再下料，这就涉及到计算弧长弧长的问的问题题复习复习2 2、已知、已知O半径为半径为R，O的面积的面积S是多少？是多少？S=R2 C=2RC=2R1、已知、已知 O半径为半径为R，O的周长的周长C是多少？是多少？问题：已知问题：已知O O半径为半径为R R，求，求n n圆心角所对弧长圆心角所对弧长（1 1）半径为半径为R的的圆圆,周长是多少？周长是多少？C=2R（2 2）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？l lABOn（3 3）n n圆心角所对的弧长是圆心角所对的弧长是1 1圆心角所对的弧长的多少倍？圆心角所对的弧长的多少倍？n倍倍（4 4）n n圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？弧长公式弧长公式（1 1）在在应应用用弧弧长长公公式式 ，进进行行计计算算时时，要要注注意意公公式式中中n n的的意意义义n n表表示示1 1圆圆心心角角的的倍倍数数，它是不带单位的；它是不带单位的；（2 2）区区分分弧弧、弧弧的的度度数数、弧弧长长三三概概念念度度数数相相等等的的弧弧，弧弧长长不不一一定定相相等等，弧弧长长相相等等的的弧弧也也不不一一定定是是等等孤孤，而而只只有有在同圆或等圆中，才可能是等弧在同圆或等圆中，才可能是等弧注意：注意：ABOn若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所对的圆心角所对的弧长为的弧长为 ，则，则 例例1、制制造造弯弯形形管管道道时时，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，再再下下料料，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直直长长度度L(单位：单位：mm，精确到精确到1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB 的长的长 （mm）因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm）答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm 1 1、制作弯形管道时，先按中心线计、制作弯形管道时，先按中心线计算算“展直长度展直长度”，再下料。试计算图，再下料。试计算图中所示的管道的展直长度中所示的管道的展直长度L L（即弧即弧ABAB的长）。（单位：的长）。（单位：mm）2、有一段弯道是圆弧形的、有一段弯道是圆弧形的,道道长是长是12m,弧所对的圆心角是弧所对的圆心角是81o,求这段圆弧的半径求这段圆弧的半径R(精确精确到到0.1m)扇形的定义是什么扇形的定义是什么?由由组组成成圆圆心心角角的的两两条条半半径径和和圆圆心心角角所所对的弧围成的图形叫做对的弧围成的图形叫做扇形扇形ABO图中阴影部分的图形叫什么呢？图中阴影部分的图形叫什么呢？扇形扇形问题问题:已知已知O半径为半径为R，如何求圆心角如何求圆心角n的扇形的面的扇形的面积积?（1）半径为）半径为R R的圆的圆,面积是多少面积是多少?S=R2（2）圆心角为）圆心角为1的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少?（3）圆心角为）圆心角为n的扇形的面积是圆心角为的扇形的面积是圆心角为1的扇形的扇形的面积的多少倍？的面积的多少倍？n倍倍（4）圆心角为）圆心角为n的扇形的面积是多少的扇形的面积是多少?扇形面积公式扇形面积公式 若设若设 O半径为半径为R，圆心角为圆心角为n的扇形的面积的扇形的面积S扇形扇形，则则（1）在在应应用用扇扇形形的的面面积积公公式式S扇扇形形=进进行行计计算算时时，要要注注意意公公式式中中n的的意意义义n表表示示1圆圆心心角角的的倍倍数数，它它是是不带单位的；不带单位的；（2）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）公式可以理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.ABO注意：注意：1 1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120120，半径为，半径为2 2，则这个，则这个扇形的面积，扇形的面积，S S扇扇=.2 2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，圆心角为，圆心角为5050，则这个，则这个扇形的半径扇形的半径R=_R=_ 63 3、已知半径为、已知半径为2 2的扇形，面积为的扇形，面积为 ，则它，则它的圆心角的度数为的圆心角的度数为 120思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？如果扇形的半径为如果扇形的半径为R的圆中，圆心角为的圆中，圆心角为no，那么扇那么扇形面积的计算公式为：形面积的计算公式为：扇形的弧长与扇形面积的关系为：扇形的弧长与扇形面积的关系为：想一想想一想：扇形的面积公式与什么公式类似？：扇形的面积公式与什么公式类似？1 1、已知半径为、已知半径为2cm2cm的扇形，其弧长为的扇形，其弧长为 ，则这个扇形的面积，则这个扇形的面积，S S扇扇=2 2、一扇形的弧长是、一扇形的弧长是 ，面积为，面积为那么扇形的圆心角为那么扇形的圆心角为 .150150度度例例2、如图，水平放置的圆柱形排水管道的、如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6m，其中水面高，其中水面高0.3m.求截面求截面上有水部分的面积（精确到上有水部分的面积（精确到0.01m2）弓形的面积弓形的面积 =S扇扇-S解：如图，连接解：如图，连接OA、OB，作弦，作弦AB的垂直平分线，垂足为的垂直平分线，垂足为D，交弧，交弧AB于点于点C.OC=0.6，DC=0.3 OD=OCDC=0.3在在RtOAD中，中，OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：AD=0.33在在Rt OAD中，中，OD=1/2OA OAD=30 A OD=60，AOB=120有水部分的面积有水部分的面积变式：变式：如图、水平放置的圆柱形排水管道的截如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面，求截面上有水部分的面积。（精确到上有水部分的面积。（精确到0.01cm）。）。0ABDCE弓形的面积弓形的面积 =S扇扇+S1 1、如图，、如图，A、B、C、D两两不相交，且半径都两两不相交，且半径都是是2cm，求图中阴影部分的面积。，求图中阴影部分的面积。2.2.已已知知正正三三角角形形ABCABC的的边边长长为为a a，分分别别以以A A、B B、C C为为圆圆心心，以以a/2a/2为为半半径径的的圆圆相相切切于于点点D D、E E、F F，求求图图中中阴阴影影部分的面积部分的面积S.S.例例3、已知正三角形的边长为、已知正三角形的边长为a，求它的求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积内切圆与外接圆组成的圆环的面积 解：设正三角形的外接圆、内切解：设正三角形的外接圆、内切圆的半径分别为圆的半径分别为R，r，面积为面积为S1、S2 S=，S=1.如图几如图几7-4-10，已知，已知P、Q分别是半径为分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，的半圆圆周上的两个三等分点，AB是是直径，则阴影部分的面积等于直径，则阴影部分的面积等于 。2、如图几、如图几7-4-3，A是半径为是半径为1的圆的圆O外一点，外一点，且且OA=2，AB是是 O的切线，的切线，BC/OA，连结，连结AC，则阴影部分面积等于则阴影部分面积等于 。一、弧长的计算公式一、弧长的计算公式二、二、扇形面积计算公式扇形面积计算公式1 1、有一把折扇，已知折扇的骨柄长为、有一把折扇，已知折扇的骨柄长为30cm30cm，折扇扇，折扇扇面宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为面宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120120度，度，若要改用一把圆扇，则圆扇的半径应是多少才能得到若要改用一把圆扇，则圆扇的半径应是多少才能得到与折扇面积一样的风景。与折扇面积一样的风景。2.已知矩形已知矩形ABCD的长的长AB=4,宽宽AD=3,按如图放置在按如图放置在直线直线AP上上,然后不滑动地转动然后不滑动地转动,当它转动一周时当它转动一周时(A A/),顶点顶点A所经过的路线长等于所经过的路线长等于 。(04年中考题）3.如图如图,某传送带的一个转动轮的半径为某传送带的一个转动轮的半径为10cm,(1)转动轮一周转动轮一周,传送带上的物品被传送多少厘米传送带上的物品被传送多少厘米?(2)转动轮转转动轮转1o,传送带上的物品传送带上的物品A被传送多少厘米被传送多少厘米?(3)转动轮转转动轮转no,传送带上的物品传送带上的物品A被传送多少厘米被传送多少厘米?A皮带轮模型皮带轮模型4.如图，两个皮带轮的中心的距离为如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m，直径分别直径分别为为0.65m和和0.24m。（。（1）求皮带长（保留三个有效求皮带长（保留三个有效数字）；（数字）；（2）如果小轮每分钟）如果小轮每分钟750转，求大轮每分转，求大轮每分钟约多少转？钟约多少转？如果两个轮是等圆呢？如果两个轮是等圆呢？3.如图所示，把边长为如图所示，把边长为2的正方形的正方形ABCD的一边放的一边放在定直线在定直线L上，按顺时针方向绕点上，按顺时针方向绕点D旋转到如图旋转到如图的位置，则点的位置，则点B运动到点运动到点B所经过的路线长度为所经过的路线长度为 _ ACBDB/C/(A/)L4如图所示，实数部分是如图所示，实数部分是半径为半径为9m的两条等弧组成的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为则游泳池的周长为_OBA1.扇形扇形OAB的半径为的半径为10，AOB=900,OA.OB为为两半圆的直径，求图中阴影部分的面积。两半圆的直径，求图中阴影部分的面积。OBAC变式：如果把图形改为下图，变式：如果把图形改为下图，AC是直径，两是直径，两个半圆外切，求图中阴影部分的面积。个半圆外切，求图中阴影部分的面积。BADC正方形的边长为正方形的边长为2，求阴影的面积。，求阴影的面积。BADC