函数的凹凸性

4.2 函数的凹凸性 1、函数凹凸的定义问题:如何研究曲线的弯曲方向? xyo 1x 2x)(xfy 图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo )(xfy 1x 2x图形上任意弧段位于所张弦的下方 .2/)()()2( ,),(, 2121 2121 xfxfxxf xxbaxx 有2x .2/)()()2( 2121 xfxfxxf 定 义凹的（凸的）。上是向上在，称位于每一点切线的下方若；上是向下凸的（凹的）在的上方，则称切线位于每一点内可微，若在设,)()( ,)( )(),(,)( baxfxfy baxf xfybabacxf xyo )(xfya bA B ).)()()( 12112 xxxfxfxf ).)()()( ,),(, 12112 2121 xxxfxfxf xxbaxx 有xyo )(xfya bBA 2、函数凹凸的判定xyo )(xfy xyo )(xfya bA B递增)(xf a bBA0y递减)(xf 0y定 理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在具有二阶导数内在上连续在函数如果baxfxf baxfxf ba babaxf ,)(!2 )()()()( ),(, 2111121 xxfxxxfxfxf Taylorbaxx 公式由,)(!2 )()()()( 21212112 xxfxxxfxfxf ).)()()( 12112 xxxfxfxf 即f (x)在(a,b)内是凹的。).)()()( ,),(, 12112 2121 xxxfxfxf xxbaxx 有即 ;,)(,0)()1(:上的图形是凹的在则证baxfxf 例 1 .3的凹凸性判断曲线xy 解 ,3 2xy ,6xy 时，当0 x ,0y为凸的；在曲线0,(时，当0 x ,0y为凹的；在曲线),0 .)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到, .)1(ln)1(02 22 xxxx时，试证当例22 )1(ln)1()( xxxxF证：)1(21ln2)( 2 xxxxxxF则xxxx 12ln2 2112ln2)( xxxF 又323 )1(21212)( xxxxxF .0)(),1(,0)()1,0( xFxF内在内在递增。内在递减内在)(),1(,)()1,0( xFxF 处取得最小值。在1)( xxF .0)1()(,02)1( FxFF又处 取 得 最 小 值 。是 凹 的 ， 在 1)( xxF .0)(,0)1( xFF .23 2 yxyx eeeyx 时，当例xexf )(证 ： 设是凹的。)(0)( xfxf 22 )()()2( 2121 22121 xxxx eeexfxfxxf .2 2 yxyx eeeyx 时，即当 3、曲线的拐点及其求法连续曲线上凹凸的分界点称为曲 线 的 拐 点 . 定 理 2 如 果 )(xf 在 ),( 00 xx 内 存 在 二 阶 导数 ,则 点 )(, 00 xfx 是 拐 点 的 必 要 条 件 是 0)( 0 xf . 定 义注 :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.xyo A B C 方 法 1: ,0)( ,)(0 0 xf xxf且的邻域内二阶可导在设函数;)(,(,)()1( 000即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)()2( 000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 拐点的求法证,)(二阶可导xf ,)(存在且连续xf ,)()( 0两边变号在则xxfxf ,)(,( 00是拐点又xfx ,)( 0取得极值在xxf ,条件由可导函数取得极值的.0)( xf 例 4 . 143 34凹、凸的区间的拐点及求曲线 xxy解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy,0y令.32,0 21 xx得x )0,( ),32( )32,0(0 32)(xf )(xf 0 0凹的凸的凹的拐点拐点)1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹凸区间为