测量误差与数据处理课件.ppt

武 汉 大 学 出 版 社2014年 1月 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 数 据 处 理 的 目 的 和 要 求 高 程 控 制 网 是 指 以 若 干 高 程 点 组 成 的 控 制 网 ，目 的 是 通 过 网 中 已 知 点 高 程 来 求 得 网 中 待 定 点 高程 。 它 包 括 以 水 准 测 量 方 式 建 立 的 水 准 网 和 以 三角 高 程 测 量 方 式 建 立 的 三 角 高 程 网 。高 程 网 数 据 处 理 的 对 象 是 高 差 。 由 于 高 差 观 测 存在 误 差 ， 用 观 测 值 计 算 的 高 程 控 制 网 将 产 生 高 差闭 合 差 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理高 程 网 数 据 处 理 的 目 的 对 外 业 观 测 的 数 据 进 行 各 项 修 正 和 高 差 闭 合 差验 算 后 ， 利 用 最 小 二 乘 原 理 ， 消 除 闭 合 差 ， 求 得高 差 改 正 数 ， 然 后 得 到 各 点 高 程 平 差 值 ， 并 评 定其 精 度 。高 程 网 数 据 处 理 的 要 求 工 程 测 量 规 范 中 规 定 ， 各 等 级 高 程 网 应 按最 小 二 乘 法 进 行 严 密 平 差 ， 打 印 输 出 的 平 差 成 果 ，应 包 含 起 算 数 据 、 观 测 数 据 和 必 要 的 中 间 数 据 ；平 差 后 的 精 度 评 定 应 包 含 有 单 位 权 中 误 差 、 每 千米 高 差 （ 全 ） 中 误 差 、 点 位 高 程 中 误 差 等 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 数 据 处 理 的 步 骤 和 内 容 1 外 业 高 差 改 正 数 计 算水 准 测 量 ： 由 于 水 准 标 尺 名 义 长 度 误 差 ， 不 同 高 程 的 正 常水 准 面 不 平 行 等 ， 沿 不 同 路 线 测 得 的 两 点 间 高 差将 存 在 系 统 误 差 ， 必 须 对 外 业 高 差 加 以 必 要 的 改正 。三 角 高 程 测 量 ： 由 于 观 测 了 竖 直 角 和 边 长 ， 需 要 进 行 大 气 折 光和 地 球 曲 率 改 正 、 边 长 常 数 改 正 、 周 期 改 正 、 倾斜 改 正 等 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 数 据 处 理 的 步 骤 和 内 容 2 外 业 数 据 检 核高 差 检 核 主 要 包 括 两 方 面 内 容 ： 一 是 计 算 往 返 测 高 差 不 符 值 和 附 合 路 线 及 闭 合路 线 高 差 闭 合 差 ， 评 定 外 业 观 测 数 据 的 质 量 ； 一 是 根 据 表 3.1、 表 3.2和 表 3.3中 的 各 等 级 高 差较 差 和 高 差 闭 合 差 限 差 与 实 际 计 算 的 高 差 较 差 和高 差 闭 合 差 进 行 比 较 ， 以 此 判 别 外 业 观 测 数 据 是否 合 符 质 量 要 求 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 数 据 处 理 的 步 骤 和 内 容 3 平 差 计 算 根 据 高 程 网 中 的 已 知 点 高 程 和 高 差 值 ， 按 照最 小 二 乘 法 平 差 原 理 和 方 法 求 得 高 程 网 中 待 定 点的 高 程 和 精 度 称 为 高 程 控 制 网 平 差 。 条 件 平 差 法 以 高 差 观 测 值 的 改 正 数 作 为 未 知 数 ， 并 以 他们 之 间 存 在 的 附 合 路 线 和 环 线 闭 合 差 条 件 为 函 数模 型 ， 根 据 最 小 二 乘 法 原 理 求 解 改 正 数 ， 并 最 终求 得 各 观 测 值 的 平 差 值 和 精 度 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 数 据 处 理 的 步 骤 和 内 容 3 平 差 计 算 间 接 平 差 法 以 待 定 点 的 高 程 作 为 未 知 数 ， 列 立 高 差 观 测 值与 未 知 数 之 间 的 参 数 方 程 作 为 函 数 模 型 ， 根 据 最小 二 乘 法 原 理 解 得 未 知 参 数 ， 并 求 出 未 知 数 及 其函 数 的 精 度 。 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 高 差 闭 合 差 与 限 差 1 往 返 测 高 差 较 差 与 限 差 ： 2 附 合 路 线 闭 合 差 与 限 差 ： BnAh HhhhHf 21 返往 hhf 第 3章 高 程 网 数 据 处 理 高 差 闭 合 差 与 限 差 计 算 3 闭 合 路 线 闭 合 差 与 限 差 ： nh hhhf 21 精 度 和 限 差 要 求 精 度 和 限 差 要 求 示 例【 例 3.1】 图 3.3为 某 测 区 三 等 闭 合 水 准 成 果 ， 验 算 高 差 闭 合差 。 已 知 水 准 点 19的 高 程 为 50.330米 ， 测 段 高 差 和 距 离 见图 上 ， 闭 合 水 准 线 路 的 总 长 为 5.0公 里 。 示 例 的 解解 ： 闭 合 水 准 路 线 的 高 差 闭 合 差 为 ：查 表 3.2知 三 等 闭 合 水 准 路 线 的 高 差 闭 合 差 的限 差 为 ， 。 ， 符 合 三等 水 准 测 量 的 限 差 要 求 。mm m hfh 10010.0 863.0714.1787.1424.1224,1 F12 mmf 27512 限 限ffh 第 3章 高 程 网 数 据 处 理1 高 程 网 起 算 数 据必 要 起 算 数 据 ： 为 了 确 定 高 程 控 制 网 的 位 置基 准 所 必 需 的 已 知 数 据 。高 程 控 制 网 中 必 要 的 起 算 数 据 是 1个 已 知 点的 高 程 。独 立 高 程 控 制 网 ： 只 有 一 个 已 知 高 程 点 的 高程 控 制 网 。附 合 高 程 控 制 网 ： 有 两 个 或 两 个 以 上 已 知 高程 点 的 高 程 控 制 网 第 3章 高 程 网 数 据 处 理2 必 要 观 测 数 与 多 余 观 测 数 观 测 总 数 ， 用 字 母 n表 示 。 必 要 观 测 ： 用 字 母 t表 示 。 多 余 观 测 ： 用 字 母 r表 示 。三 者 关 系 ：条 件 方 程 =r个 。高 程 网 中 必 要 观 测 个 数 与 待 定 高 程 点 的 点 数相 同 。 tnr 第 3章 高 程 网 数 据 处 理3 高 差 观 测 值 的 权 水 准 网 高 差 权 的 确 定 按 测 站 数 定 权 ： 按 距 离 定 权 ： i iCp N ii sCp 第 3章 高 程 网 数 据 处 理3 高 差 观 测 值 的 权 三 角 高 程 控 制 网 高 差 权 的 确 定v权 阵 ： 2DCph nnnn p p pp p pP 100 010 00100 00 00 211211 基 于 闭 合 差 条 件 的 条 件 平 差v条 件 平 差 原 理 由 于 高 程 控 制 网 中 存 在 r个 多 余 观 测 ， 就 会 产 生 r条 件 方 程 。高 程 控 制 网 平 差 归 结 为 以 r个 条 件 方 程 为 基 础 ， 根据 最 小 二 乘 法 求 出 一 组 高 差 改 正 数 。 条 件 平 差 步 骤1. 根 据 平 差 的 具 体 问 题 ， 确 定 条 件 方 程 的 个数 ， 列 出 条 件 方 程 式 ， 条 件 方 程 的 个 数 等 于多 余 观 测 数 r； 条 件 方 程平 差 值 条 件 方 程 ：改 正 数 条 件 方 程 ： 0 0 0 02211 02211 02211 rLrLrLr bLbLbLb aLaLaLa nn nn nn 1 21 11 21 11 21 1 . 0. 0. . 0nn ann bnn ra v a v a v wb v b v b v wrv rv r v w 条 件 方 程若 取 ：条 件 方 程 矩 阵 形 式 ： nnnnr rrr bbb aaaA 21 21 21, 0001,0 rbaAr rbar wwwW 1, 0A V W 法 方 程 的 组 成 与 解 算2.根 据 条 件 方 程 式 的 系 数 A、 闭 合 差 W及 观 测 值 的 权 P组 成 法 方 程 ， 法 方 程 的 个 数 等 于 多 余 观 测 数 r个 。因 为 条 件 方 程 的 个 数 等 于 多 余 观 测 数 ， 而 多 余 观测 数 只 是 观 测 量 总 数 n的 一 部 分 ， 所 以 未 知 数 的 数目 总 是 大 于 条 件 方 程 的 数 目 ， 条 件 方 程 的 解 不 唯一 。 为 了 求 得 一 组 既 能 满 足 条 件 方 程 ， 而 又 能 使 即 精 度 最 高 ， 可 采 用 数 学 中 条 件 极 值 的 原理 。 min pvv 法 方 程 的 组 成 与 解 算组 成 新 函 数 ： 联 系 数 :k为 联 系 数 ， 其 个 数 与 条 件 方 程 个 数 相 同 。求 新 函 数 的 极 值 ， 对 上 式 变 量 V求 其 一 阶 偏 导 数 ，并 令 其 为 零 ， 即 ： )(2 WAVKPVV TT 022)(2)( AKPVVAVKVPVVdVd TTTT 法 方 程 的 组 成 与 解 算v组 成 法 方 程 ：代 数 形 式 ：矩 阵 形 式 ： 000 rrba brba arba wkprrkpbrkpar wkpbrkpbbkpab wkparkpabkpaa 01 WKAAP T 法 方 程 的 组 成 与 解 算v解 算 法 方 程 ： 令 ： 解 算 得 ： rn Tnnnrrr aa APAN 1 111 rrr aar WNK 改 正 数 方 程3、 将 K代 入 改 正 数 方 程 求 改 正 数 ：矩 阵 形 式 ：纯 量 形 式 ： 1 T TV P A K QA K 1 ( ) ( ),( 1,2, , )i i a i b i riii i a i b i rv ak bk rkpQ ak bk rk i n 平 差 值 计 算 与 检 核4.计 算 平 差 值 ：5.用 平 差 值 检 核 平 差 计 算 结 果 的 正 确 性 ： 将 所 求 平 差 值 带 入 平 差 值 条 件 方 程 看 是 否满 足 ？ iii vLL 单 位 权 中 误 差6.计 算 单 位 权 中 误 差 ： rPVV T0 nnT vpvpvppvvPVV 2211 高 程 网 条 件 平 差 示 例 【 例 】 在 下 图 中 ， A、 B为 已 知 水 准 点 ， 其 高 程 HA = 12 013m， HB = 10 013m。 为 了 确 定 C及 D点 高 程 ， 共 观 测 了 三 个 高 差 ， 高 差 观 测 值 及 相 应水 准 路 线 距 离 为 ： h1 = 1 004m， S1= 2km；h2 = 1 504m， S2= 1km； h3 = 2 512m， S3= 2km。 试 求 C和 D点 高 程 的 平 差 值 。 示 例 的 解 算解 ： （ 1） 此 例 n = 3， t = 2， 故 r = 1， 列 出如 下 平 差 值 条 件 方 程 ： 以 代 入 上 式 ， 可 得 条 件 方 程 为 ： 将 已 知 高 程 和 观 测 高 差 代 入 计 算 闭 合 差（ 单 位 mm） ， 然 后 用 矩 阵 表 示 如 下 ： 0 321 BA HhhhH 0)( 321321 BA HhhhHvvv 012111 321 vvv （ 2） 令 1 km的 观 测 高 差 为 单 位 权 观 测 ， 即 ， 于 是 有 法 方 程 系 数 为 ： 由 此 得 法 方 程 为 ： 解 之 得 ： ii sp 1 5.0,0.1,5.0 321 ppp 51115.00.15.0111 11 Taa AAPN 0125 ak 4.21 WNk aaa （ 3） 根 据 改 正 数 方 程 ， 可 求 得 改 正 数 为 ：（ 4） 由 此 得 高 差 的 平 差 值 为 ： 即 ： 8.44.2 8.44.21115.00.15.0 11 KAPV T 5072.2 5064.1 9992.0108.44.2 8.4512.2 504.1 004.1 3Vhh mhmhmh 5072.25064.19992.0 321 ， 检 核 ： 将 平 差 值 代 入 条 件 方 程 进 行 检 核 ， 得 12.013-0.9992+1.5064-2.5072-10.013 = 0（ 5） 最 后 计 算 C和 D点 平 差 高 程 分 别 为 ：mhHH mhHH CD AC 5202.12 0138.11 21 基 于 参 数 的 间 接 平 差 间 接 平 差 概 念 间 接 平 差 法 （ 参 数 平 差 法 ） 是 通 过 选 定 t个与 观 测 值 有 一 定 关 系 的 独 立 未 知 量 作 为 参数 ， 将 每 个 观 测 值 都 分 别 表 达 成 这 t个 参 数的 函 数 ， 建 立 函 数 模 型 ， 按 最 小 二 乘 原 理 ，用 求 自 由 极 值 的 方 法 解 出 参 数 的 最 或 然 值 ，从 而 求 得 各 观 测 值 的 平 差 值 。 间 接 平 差 步 骤1. 根 据 平 差 问 题 的 性 质 ， 确 定 必 要 观 测 个 数 ， 并 选 定 t个 独 立量 作 为 未 知 参 数 ， 并 根 据 已 知 数 据 和 观 测 值 计 算 出 参 数 的近 似 值 。 参 数 方 程 ： 近 似 值 ： ntnnnnn tt dXtXbXavL dXtXbXavL dXtXbXavL 21 22221222 11211111 iii xXX 0 误 差 方 程2.将 每 一 个 观 测 量 的 平 差 值 分 别 表 达 成 所 选 未知 参 数 的 函 数 ， 即 列 出 平 差 值 方 程 ， 代 入 近似 值 后 列 出 误 差 方 程 纯 量 形 式 ： 矩 阵 形 式 ： ntnnnn tt lxtxbxav lxtxbxav lxtxbxav 21 2222122 1121111 111 nttnn lXBV 组 成 并 解 算 法 方 程3.由 误 差 方 程 的 系 数 B与 自 由 项 l按 最 小 二 乘 原 理 计 算法 方 程 系 数 阵 和 常 数 项 ， 组 成 并 解 算 法 方 程 。 误 差 方 程 的 矩 阵 形 式 ， 满 足 该 方 程 的 解 有 无 穷 多 组 ，为 求 解 一 组 最 优 估 值 ， 根 据 最 小 二 乘 法 原 理 ， 上 式的 未 知 参 数 必 须 在 满 足 的 要 求 下 求 解 由 于 t个 参 数 独 立 ， 按 数 学 中 求 自 由 极 值 的 方 法 使 即 ： minPVVT 022 PBVXVPVXPVV TTT 0PVBT 组 成 法 方 程 ： 解 算 法 方 程 ： 0)( 1 PlBXPBB TT 0 11 tttt bb WXN PBBN Ttt bb PlBW Tt 1 PlBPBBWNX TTbbt 111 )( 4.计 算 未 知 参 数 的 平 差 值 ：5.计 算 观 测 值 的 平 差 值 。 iii xXX 0 VLL 6.精 度 评 定 ：（ 1） 计 算 单 位 权 中 误 差 ： tn PVVT 0 6.精 度 评 定 ：（ 2） 计 算 未 知 数 函 数 权 倒 数 ： 未 知 数 函 数 ： 线 性 化 ： 矩 阵 形 式 ： tX，X，X 21 t t XdXXdXXdXd 0202101 ttxfxfxfd 2211 xfd T 6.精 度 评 定 ：（ 2） 计 算 未 知 数 函 数 权 倒 数 ： 未 知 数 协 因 素 ： 精 度 矩 阵 ： 未 知 数 的 协 因 数 阵 等 于 法 方 程系 数 阵 的 逆 。 1111111 )( bbbbTbbTTbbTbbXX NPBNPPBNPBNPPBNQ tttt ttXXXXXX XXXXXX XXXXXXXX QQQ QQQ QQQQ 21 22212 12111 6.精 度 评 定 ：（ 2） 计 算 未 知 数 函 数 权 倒 数 ： 未 知 数 函 数 权 倒 数 ：（ 3） 计 算 未 知 数 函 数 中 误 差 ： fPBBffNffQfQ TTbbTXXT 11 0 Q 高 程 网 间 接 平 差 示 例 【 例 】 在 下 图 中 ， A、 B为 已 知 水 准 点 ， 其 高 程 HA = 12 013m， HB = 10 013m。 为 了 确 定 C及 D点 高 程 ， 共 观 测 了 三 个 高 差 ， 高 差 观 测 值 及 相 应水 准 路 线 距 离 为 ： h1 = 1 004m， S1= 2km；h2 = 1 504m， S2= 1km； h3 = 2 512m， S3= 2km。 试 求 C和 D点 高 程 的 平 差 值 。 示 例 解 算解 ： （ 1） 此 例 n = 3， t = 2， 故 未 知 数 的 个 数 为 2。不 妨 选 取 C、 D两 待 定 点 高 程 平 差 值 为 未 知 数 最或 然 值 ， 则 应 列 立 3个 参 数 方 程 ： 令 未 知 数 的 近 似 值 ： BBD CD AAC HXHHh XXHHh HXHHh 23 212 11 525.12 009.11 2320222 1110111 xhHxxxX xhHxxxX BA 示 例 解 算 并 将 其 代 入 ， 误 差 方 程 为 ： 矩 阵 形 式 ： 23 212 11 12 xv xxv xv 012010 11 01321vvv 示 例 解 算（ 2） 组 成 法 方 程 ： 令 1km的 观 测 高 差 为 单 位 权 观 测 ， 即 p i = 1/ Si，于 是 有 ： p 1 = 0.5， p 2 = 1.0， p 3 = 0.5 法 方 程 系 数 阵 和 常 数 项 为 ： 即 法 方 程 为 50.100.1 00.150.1PBBN Tbb 00.1200.12PlBW T 000.1200.1250.100.1 00.150.1 21 xx 示 例 解 算（ 3） 求 解 上 述 法 方 程 ， 求 得 未 知 数 ： （ 4） 由 误 差 方 程 求 得 改 正 数 和 平 差 值 ： 高 差 的 平 差 值 为 ： mmxmmx 8.4,8.4 21 mmxv mmxxv mmxv 8.4 ,4.212 ,8.4 23 212 11 mhmhmh 5072.2,5064.1,9992.0 321 示 例 解 算 检 核 ： 将 平 差 值 代 入 条 件 方 程 进 行 检 核 ， 得 0.9992 +1.5064 2.5072 +12.013 10.013 = 0（ 5） 计 算 高 程 平 差 值 ： mhHH mhHH CD AC 5202.12 0138.11 21 水 准 网 间 接 平 差 总 结未 知 数 个 数 的 确 定 水 准 网 必 要 观 测 数 t的 确 定 与 网 中 待 定 点 个 数有 关 ， 如 果 网 中 有 已 知 高 程 的 水 准 点 ， 则 必 要 观测 数 t就 等 于 待 定 点 的 个 数 ； 如 果 无 已 知 点 ， 则 等于 全 部 点 数 减 一 ， 因 为 这 一 点 的 高 程 可 以 任 意 给定 ， 以 作 为 全 网 的 基 准 ， 这 并 不 影 响 网 点 高 程 之间 的 相 对 关 系 。 实 际 水 准 网 间 接 平 差 ， 一 般 就 选取 t个 待 定 点 高 程 作 为 未 知 参 数 ， 它 们 之 间 总 是 函数 独 立 的 。 水 准 网 间 接 平 差 总 结 未 知 数 的 选 择 ： 未 知 数 之 间 不 能 存 在 函 数 关 系 如 果 在 选 定 的 t个 未 知 数 中 ， 存 在 着 确 定 的 函 数 关 系 式 ，则 在 这 t个 未 知 数 中 ， 必 有 1个 未 知 数 可 以 表 达 成 其 余 未 知数 的 函 数 。 因 而 ， 它 们 就 不 是 互 为 独 立 的 自 由 变 量 。 例 如 ， 在 三 角 网 间 接 平 差 中 ， 若 同 时 选 取 一 个 三 角 形 3个 内 角 未 知 数 分 别 为 ， 显 然 这 3个 未 知 数 之 间 存 在 关 系 ： 。因 此 ， 3个 角 中 的 任 一 角 都 可 以 与 其 它 两 个 角 构 成 函 数 关系 ， 只 有 其 中 2个 未 知 数 是 独 立 的 。 总 之 ， 应 当 选 择 足 够 数 量 的 、 并 且 是 互 相 独 立 的 未 知数 。 选 择 的 未 知 数 应 便 于 判 断 是 否 独 立 ， 是 否 便 于 计 算 。 水 准 网 间 接 平 差 总 结 误 差 方 程 列 立 的 一 般 形 式 ： 参 数 方 程 如 下 ： 取 未 知 数 的 近 似 值 为 ： 误 差 方 程 一 般 形 式 ：i h ji jjiji XhX jjjjj iiiii xHxXX xHxXX 00 00 ijjiij lxxv 00 jijiij HhHl