正态分布课件.ppt

正 态 分 布 是 应 用 最广 泛 的 一 种 连 续 型 分 布 . 正 态 分 布 在 十 九 世 纪 前 叶 由高 斯 加 以 推 广 ， 所 以 通 常 称 为 高斯 分 布 . 德 莫 佛 德 莫 佛 最 早 发 现 了 二 项 概率 的 一 个 近 似 公 式 ， 这 一 公 式被 认 为 是 正 态 分 布 的 首 次 露 面 . 正 态 分 布 的 定 义 是 什 么 呢 ？对 于 连 续 型 随 机 变 量 ， 一 般 是 给 出它 的 概 率 密 度 函 数 。 一 、 正 态 分 布 的 定 义 若 r.v X的 概 率 密 度 为 ),( 2NX记 作 )(,21)( 2 22 )( xexf x 其 中 和 都 是 常 数 ， 任 意 ， 0，则 称 X服 从 参 数 为 和 的 正 态 分 布 . 2 2f (x)所 确 定 的 曲 线 叫 作 正 态 曲 线 . 正 态 分 布 有 些 什 么 性 质 呢 ？ 由 于 连 续 型 随 机 变 量 唯 一 地 由 它的 密 度 函 数 所 描 述 ， 我 们 来 看 看 正 态分 布 的 密 度 函 数 有 什 么 特 点 。 正 态 分 布请 看 演 示 正 态 分 布 由 它 的 两 个 参 数 和 唯一 确 定 ， 当 和 不 同 时 ， 是 不 同 的 正态 分 布 。 标 准 正 态 分 布下 面 我 们 介 绍 一 种 最 重 要 的 正 态 分 布 （ 一 ） 标 准 正 态 分 布 的 概 率 计 算1,0 的 正 态 分 布 称 为 标 准 正 态 分 布 . xex x ,21)( 2 2记 作 ： )1,0( NX 其 概 率 密 度 为 ： )(x 其 图 像 是 关 于 y轴对 称 的 钟 罩 形 曲 线 ，（ 如 右 所 示 ） 特 点 是 “ 两 头 小 ， 中 间 大 ， 关 于 y 轴 对 称 ” . 书 末 附 有 标 准 正 态 分 布 函 数 数 值 表 （ 见附 表 三 ） 。 x xdtexXPx x t 2221)()( 表 中 给 的 是 x 0时 , (x)的 值 .)99.40( x当 -x0时 )( x )( xXP )( xXP )(1 xXP )(1 x )99.40( x 0)(,5;1)(,5 xxxx 时当时当当 -x0), 分 别 代 入 f (x), 可得 f (+c)=f (-c)且 f (+c) f (), f (-c)f ()或 这 说 明 曲 线 f(x)向 左 右 伸 展 时 ， 越 来 越贴 近 x轴 。 即 f (x)以 x轴 为 渐 近 线 。 xexf x ,)( )( 2 2221 当 x 时 ， f(x) 0, 用 求 导 的 方 法 可 以 证 明 ， xexf x ,)( )( 2 2221 为 f (x)的 两 个 拐 点 的 横 坐 标 。x = 下 面 是 我 们 用 某 大 学 男 大 学 生 的 身 高的 数 据 画 出 的 频 率 直 方 图 。 红 线 是 拟合 的 正 态密 度 曲 线可 见 ， 某 大 学 男 大 学 生 的 身 高应 服 从 正 态 分 布 。 人 的 身 高 高 低 不 等 ， 但 中 等 身 材 的 占 大多 数 ， 特 高 和 特 矮 的 只 是 少 数 ， 而 且 较高 和 较 矮 的 人 数 大 致 相 近 ， 这 从 一 个 方面 反 映 了 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量 的 特点 。 除 了 我 们 在 前 面 提 过 的 身 高 外 ,在 正 常条 件 下 各 种 产 品 的 质 量 指 标 ， 如 零 件 的 尺寸 ； 纤 维 的 强 度 和 张 力 ； 农 作 物 的 产 量 ，小 麦 的 穗 长 、 株 高 ； 测 量 误 差 ， 射 击 目 标的 水 平 或 垂 直 偏 差 ； 信 号 噪 声 ； 学 生 的 成绩 等 等 ， 都 服 从 或 近 似 服 从 正 态 分 布 . xexf x ,)( )( 2 2221 服 从 正 态 分 布 的 随 机 变 量X的 概 率 密 度 是 ),( 2NX的 分 布 函 数 P(Xx)是 怎 样 的 呢 ？ 设 X ,),( 2N X的 分 布 函 数 是 xdtexF x t ,)( )( 2 2221 设 X ,),( 2N X的 分 布 函 数 是)( ,21)()( 2 22 )( x dtexXPxF x t 正 态 分 布 由 它 的 两 个 参 数 和 唯一 确 定 ， 当 和 不 同 时 ， 是 不 同 的 正态 分 布 。 决 定 了 图 形 的 中 心 位 置 ， 决 定 了 图 形中 峰 的 陡 峭 程 度 . 正 态 分 布 的 图 形 特 点),( 2N 正 态 分 布请 看 演 示 它 的 依 据 是 下 面 的 定 理 ： 标 准 正 态 分 布 的 重 要 性 在 于 ， 任 何 一 个一 般 的 正 态 分 布 都 可 以 通 过 线 性 变 换 转 化 为标 准 正 态 分 布 . 根 据 定 理 1,只 要 将 一 般 正 态 分 布 的 分 布函 数 转 化 成 标 准 正 态 分 布 ， 然 后 查 表 就 可 解决 一 般 正 态 分 布 的 概 率 计 算 问 题 .),( 2NX XY,则 N(0,1) 设定 理 1 )1,0(),( 2 NYNX 设 其 概 率 密 度 分 别 为 ：)(),( 0 yx 分 布 函 数 分 别 为 ： )(),( 0 yx 2 22 )(21)( xex 2)(21211 xe)(1 0 x )(1 0 y则 (1) xx dttdttx )(1)()()2( 0 xx dttdttx )(1)()()2( 0 ty dyyx )(0)(0 x ),( 2NX XY,则 N(0,1) 即 设 ),( 2NX若 XY N(0,1) 因 此 有 ： YX aYaX aY)()( aYPaXP )( 0 a )( bYaP)( bXaP )()( 00 ab bYabXa bYa bYa 例 2 ).23( ),3(),2(),4,3( XP XPXPNX 求若解 ： )2( XP )232( 0 )1,0(2 3)4,3( NXYNX )5.0(1 0 )5.0(0 3085.06915.01 )2 33()233( 00 )33()3( XPXP )3()0( 00 )3(1)0( 00 49865.0 998650.015.0 )51()23( XPXP )231()235( 00 1)1(2 0 )1()1( 00 6826.0 18413.02 由 标 准 正 态 分 布 的 查 表 计 算 可 以 求 得 ，这 说 明 ， X的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在 -3,3区 间内 ， 超 出 这 个 范 围 的 可 能 性 仅 占 不 到 0.3%.当 X N(0,1)时 ，P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 0例 3、 3 准 则P(|X| 2)=2 (2)-1=0.95440P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974 0 将 上 述 结 论 推 广 到 一 般 的 正 态 分 布 , ),( 2NY 时 ， 6826.0)|(| YP 9544.0)2|(| YP 9974.0)3|(| YP可 以 认 为 ， Y 的 取 值 几 乎 全 部 集 中 在3,3 区 间 内 . 这 在 统 计 学 上 称 作 “ 3 准 则 ” （ 三 倍 标 准 差 原 则 ） . 例 4 某 科 统 考 成 绩 服 从 正 态 分 布 及 格 人 数 为 100人 ， 计 算 ： （ 1） 不 及 格 人 数 ； （ 2） 成 绩 前 20名 的 人 数 在 考 生 中 所 占 的 比 例 ； （ 3） 第 20名 考 生 的 成 绩 。 )10,70( 2N解 ： 设 随 机 变 量 X 表 示 考 生 该 科 的 统 考 成 绩 。则 )10,70( 2NX设 参 加 该 科 统 考 的 人 数 为 n， 首 先 求 n。 )60(1)60( XPXP )107060(1 0 )1(11)1(1 00 8413.0)1( 0 即 及 格 人 数 占 全 体 考 生 的 84.13%， 及 格的 有 100人 ， 故 全 体 考 生 人 数 为8413.0100n (1)不 及 格 人 数 在 全 体 考 生 中 所 占 比 例 为1-84.13%=15.87%,则 不 及 格 人 数 为 :n%87.15 人198413.0100%87.15 (2)前 20名 考 生 所 占 比 例 为1008413.02020 n %8.1616826.0 (3)设 第 20名 考 生 成 绩 为 分 , 则 有0 x16826.0)( 0 xXP )(1)( 00 xXPxXP 16826.0)1070(1 00 x 83174.016826.01)1070( 00 x查 表 可 得 : 96.010700 x 分806.790 x 例 5 公 共 汽 车 车 门 的 高 度 是 按 男 人 与 车 门碰 头 的 机 会 不 超 过 0.01而 设 计 的 . 设 男 人 身 高服 从 的 正 态 分 布 , 即 , 问 车 门 的 高 度 应 如 何 确 定 ?cmcm 7,168 )7,168( 2NX解 : 设 车 门 的 高 度 为 hcm,由 题 意 知 :01.0)( hXP 99.0)7168()( 0 hhXP 即查 表 可 得 33.27168 h cmh 184 例 6 某 凶 杀 案 中 有 A、 B两 个 嫌 疑 人 ， 从 各自 住 处 到 凶 杀 现 场 所 需 时 间 X（ 分 钟 ） 均 服 从正 态 分 布 。 A所 用 时 间 服 从 ， B所 用时 间 服 从 。 如 果 仅 有 65分 钟 可 用 ，问 谁 的 作 案 嫌 疑 较 大 ？ )10,50( 2N)4,60( 2N解 ： A 在 65分 钟 内 从 住 处 及 时 到 达 凶 杀 现 场 的概 率 为 ： )65( XP 9332.0)5.1(0 )105065(0 B 在 65分 钟 内 从 住 处 及 时 到 达 凶 杀 现 场 的概 率 为 ： )46065(0 8944.0)25.1( 0 )65( XP可 见 ， A 作 案 的 嫌 疑 较 大 。 上 一 讲 我 们 已 经 看 到 ， 当 n很 大 ， p接近 0或 1时 ， 二 项 分 布 近 似 泊 松 分 布 ; 如 果n很 大 ， 而 p不 接 近 于 0或 1， 那 么 可 以 证 明 ，二 项 分 布 近 似 于 正 态 分 布 . 下 面 我 们 不 加 证 明 地 介 绍 有 关 二 项 分布 近 似 于 正 态 分 布 的 一 个 定 理 ， 称 为 棣 莫佛 拉 普 拉 斯 定 理 . 二 、 二 项 分 布 的 正 态 近 似定 理 (棣 莫 佛 拉 普 拉 斯 定 理 ） 设 随 机 变 量 服 从 参 数 n, p(0p1)的二 项 分 布 ， 则 对 任 意 x， 有X dtex t 2221 定 理 表 明 ， 当 n很 大 ， 0p1是 一 个 定 值时 （ 或 者 说 ， np(1-p)也 不 太 小 时 ） ， 二 项 变量 的 分 布 近 似 正 态 分 布 N(np,np(1-p).X )1(lim xpnp npXPn 二 项 分 布 的 正 态 近 似 实 用 中 ， n 30， np 10时 正 态 近似 的 效 果 较 好 . 即 )1( )1,0(),( pq NnpqnpXpnBX 则 近 似 有若 请 看 演 示 例 7 将 一 枚 硬 币 抛 掷 10000次 ， 出 现 正 面 5800次 ， 认 为 这 枚 硬 币 不 均 匀 是 否 合 理 ? 试 说 明 理 由 .解 : 设 X为 10000次 试 验 中 出 现 正 面 的 次 数 ，采 用 正 态 近 似 , np=5000, np(1-p)=2500,若 硬 币 是 均 匀 的 ， XB(10000， 0.5),505000)1( Xpnp npX近 似 正 态 分 布 N(0,1).即 =1-0(16) )5050005800(1 0 0此 概 率 接 近 于 0， 故 认 为 这 枚 硬 币 不 均 匀是 合 理 的 .P(X5800) =1-P(XN) 01.0)(1 NXP 99.0)( NXP 即或 )1,0(97.2 3 NX 近 似 有 要 使 P(XN) 01.0)(1 NXP 99.0)( NXP 即 )33.2(99.0)97.2 3( 00 N 33.297.2 3 N即 015.7N8N故