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第 15 讲 导 数 在 生 活 中 的 优 化 问 题 举 例 考 纲 要 求 考 情 风 向 标1.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会利用导数解决某些实际问题.本节复习时，要特别注意三次函数、指数函数与对数函数(以e为底)的综合题要深入体会导数应用中蕴含的数学思想方法分类讨论思想(如参数问题的讨论)；数形结合思想(如通过从导函数图象特征解读函数图象的特征或求两曲线交点个数)；等价转化思想(如将证明的不等式问题等价转化为研究相应问题的最值等). 利用导数解决实际生活中的优化问题的基本步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式 yf(x)并确定定义域；求导数 f(x)，解方程 f(x)0；判断使 f(x)0 的点是极大值点还是极小值点；确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答，即获得优化问题的答案 则物体在 t3 s 的瞬时速度为( )A16y3x1A30 m/s B40 m/s C45 m/s D50 m/s2函数 f(x)12xx3 在区间3,3上的最小值是_3曲线 yxex2x1 在点(0,1)处的切线方程为_4某工厂要围建一个面积为 128 m2 的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其他三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为_16 m,8 m 考 点 1 求 参 数 的 取 值 范 围 问 题(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)是否存在实数 a，使得函数 f(x)的极值大于 0？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由 【 互 动 探 究 】1(2013 年 湖 北 )已知函数 f(x) x(lnx ax)有两个极值点，)则实数 a 的取值范围是(A(，0)C(0,1)D(0，) 答 案 ： B 考 点 2 利 用 导 数 证 明 不 等 式 问 题 【 互 动 探 究 】 考 点 3 利 用 导 数 解 决 实 际 优 化 问 题例 3： (2013 年 重 庆 )某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r m，高为 h m，体积为 V m3.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100 元/m2，底面的建造成本为 160 元/m2，该蓄水池的总建造成本为 12 000元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大 解 ： (1)因 为 蓄 水 池 侧 面 的 总 成 本 为 100 2rh 200rh 元 ，底 面 的 总 成 本 为 160r2 元 ， 所 以 蓄 水 池 的 总 成 本 为 (200rh160r2)元 根 据 题 意 200rh 160r2 12 000， 【 规 律 方 法 】 (1)引 入 恰 当 的 变 量 ， 建 立 适 当 的 模 型 是 解 题的 关 键 .容 积 V 是 关 于 r 的 三 次 函 数 ， 因 此 只 能 利 用 导 数 求 最 值 .(2)在 解 决 实 际 优 化 问 题 时 ， 要 注 意 所 设 自 变 量 的 取 值 范围 ， 同 时 要 注 意 考 虑 问 题 的 实 际 意 义 ， 把 不 符 合 实 际 意 义 的 值舍 去 ， 并 还 原 到 实 际 问 题 作 答 . 【 互 动 探 究 】3做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为 a 元，侧面的材料每单位面积的价格为 b 元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为( )A.ab B.a2bC.ba D.b2a 答 案 ： C 图 D7 思 想 与 方 法 利 用 数 形 结 合 思 想 讨 论 函 数 的 图 象 及 性 质例 题 ：已知函数 f(x)ax3bx23x 在 x1 处取得极值(1)求函数 f(x)的解析式；(2)若过点 A(1，m)(m2)可作曲线 yf(x)的两条切线，求实数 m 的值
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