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第 五 节对 数 函 数 【 知 识 梳 理 】1.对 数 的 概 念如 果 ax=N(a0,且 a 1),那 么 x叫 做 以 a为 底 N的 对 数 ,记作 _.2.对 数 的 性 质 与 运 算 法 则(1)对 数 的 性 质 log a1=_; logaa=_.x=logaN0 1 (2)对 数 恒 等 式 =_.(其 中 a0且 a 1)(3)对 数 的 换 底 公 式logbN=_(a,b均 大 于 零 且 不 等 于 1,N0).alog Na N aalog Nlog b (4)对 数 的 运 算 法 则如 果 a0且 a 1,M0,N0,那 么 loga(MN)=_; loga =_; logaMn=_(n R).logaM+logaNlogaM-logaNnlogaMMN 3.对 数 函 数 的 定 义 、 图 象 与 性 质定 义 函 数 _叫 做 对 数 函 数图 象 a1 0a0,且 a 1) 性 质 定 义 域 :_值 域 :_当 x=1时 ,y=0,即 过 定 点 _当 0 x1时 ,y1时 ,_ 当 0 x0;当 x1时 ,_在 (0,+ )上 为 _ 在 (0,+ )上 为 _(0,+ )(- ,+ ) (1,0)y0 y0且 a 1)与 对 数 函 数 _(a0且a 1)互 为 反 函 数 ,它 们 的 图 象 关 于 直 线 _对 称 .y=logaxy=x 【 特 别 提 醒 】1.换 底 公 式 的 两 个 重 要 结 论其 中 a0,且 a 1,b0,且 b 1,m,n R.ma bn aa 1log b ;log anlog b log b.m 2.对 数 函 数 的 图 象 与 底 数 大 小 的 比 较如 图 ,作 直 线 y=1,则 该 直 线 与 四 个 函 数 图 象 交 点 的 横 坐标 为 相 应 的 底 数 . 故 0cd1ab.由 此 我 们 可 得 到 以 下 规 律 :在 第 一 象 限 内 从 左 到 右 底 数逐 渐 增 大 . 【 小 题 快 练 】链 接 教 材 练 一 练1.(必 修 1P75A组 T11改 编 )(log29) (log34)=( )A. B. C.2 D.414 12 【 解 析 】 选 D.方 法 一 :原 式 =方 法 二 :原 式 = lg 9 lg 4 2lg 32lg 2 4.lg 2 lg 3 lg 2lg 3 22 2log 42log 3 2 2 4.log 3 2.(必 修 1P68 T3(2)改 编 ) 的 值 是 _.【 解 析 】答 案 :1 lg 2 lg 50lg 2 lg 50 lg 100 lg 10 1. 感 悟 考 题 试 一 试3.(2015 浙 江 高 考 )若 a=log43,则 2a+2-a=_.【 解 析 】 因 为 a=log43,所 以 4a=3 2a= ,所 以 2a+2-a答 案 : 31 43 3.33 4 33 4.(2016 惠 州 模 拟 )若 x (e-1,1),a=lnx,b=2lnx, c=ln3x,则 a,b,c的 大 小 关 系 为 _. 【 解 析 】 因 为 x所 以 a=lnx (-1,0),b=2lnx=lnx2.又 y=lnx是 增 函 数 ,x2x,所 以 b0,所 以 ca,所 以 bac.答 案 :ba0),所 以 t2-4t+3=0,解 得 t=1或 t=3,当 t=1时 ,3x-1=1,所 以 x=1,而 91-1-50,32-1-2=10,所 以x=2满 足 条 件 ,所 以 x=2是 原 方 程 的 解 .答 案 :2 考 向 一 对 数 的 运 算【 典 例 1】 (1)(2016 保 定 模 拟 )设 2a=5b=m,且 =2,则 m=_. 1 1a b (2)计 算 下 列 各 式 : lg14-2lg +lg7-lg18; (lg5)2+lg2 lg50; (log32+log92) (log43+log83).lg 27 lg 8 3lg 10lg 1.2 ；73 【 解 题 导 引 】 (1)将 2a=5b=m转 化 为 对 数 函 数 形 式 ,代 入 =2中 利 用 换 底 公 式 求 解 .(2)利 用 logaM+logaN=loga(MN),logaM-logaN=loga ,以 及 对 数 运 算 性 质 及 换 底 公 式 求 解 .1 1a b MNn m aa mlog N log Nn 【 规 范 解 答 】 (1)因 为 2a=5b=m,所 以 a=log2m,b=log5m,所 以 =logm2+logm5=logm10=2,所 以m2=10,m= .答 案 :(2) 原 式 =lg(2 7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32 2)=lg2+lg7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0.2 51 1 1 1a b log m log m 1010 【 一 题 多 解 】 解 答 本 题 ,你 知 道 几 种 解 法 ?解 答 本 题 ,还 有 以 下 解 法 :原 式 =lg14-lg( )2+lg7-lg1873214 7lg lg 1 0.7( ) 183 原 式 = 1 13 32 22lg(3 ) lg 2 3lg 103 2lg 10 3 3 3lg 3 3lg 2 lg 10 (lg 3 2lg 2 1) 32 2 2 .lg 3 2lg 2 1 lg 3 2lg 2 1 2 原 式 =(lg5)2+lg2 (lg2+2lg5)=(lg5)2+2lg5 lg2+(lg2)2=(lg5+lg2)2=1. 原 式 = lg 2 lg 2 lg 3 lg 3( ) ( )lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 3lg 2 5lg 3 5( ) ( ) .lg 3 2lg 3 2lg 2 3lg 2 2lg 3 6lg 2 4 【 规 律 方 法 】 对 数 运 算 的 一 般 思 路(1)拆 :首 先 利 用 幂 的 运 算 把 底 数 或 真 数 进 行 变 形 ,化 成分 数 指 数 幂 的 形 式 ,使 幂 的 底 数 最 简 ,然 后 正 用 对 数 运算 性 质 化 简 合 并 .(2)合 :将 对 数 式 化 为 同 底 数 对 数 的 和 、 差 、 倍 数 运 算 ,然 后 逆 用 对 数 的 运 算 性 质 ,转 化 为 同 底 对 数 真 数 的 积 、商 、 幂 的 运 算 . 【 变 式 训 练 】 1.(2016 大 连 模 拟 )计 算 : =_.【 解 析 】 原 式 =|log25-2|+log25-1=log25-2-log25=-2.答 案 :-222 2 2 1(log 5) 4log 5 4 log 5 2.(2016 襄 阳 模 拟 )若 正 数 a,b满 足 3+log2a=2+log3b=log6(a+b),则 的 值 为 _.【 解 析 】 根 据 题 意 设 3+log2a=2+log3b=log6(a+b)=k,所 以 有 a=2k-3,b=3k-2,a+b=6k,答 案 :72 1 1a bkk 3 k 21 1 a b 6 72.a b ab 2 3 【 加 固 训 练 】1.设 a,b,c均 为 不 等 于 1的 正 实 数 ,则 下 列 等 式 中 恒 成 立的 是 ( )A.logab logcb=logcaB.logab logca=logcbC.loga(bc)=logab logacD.log a(b+c)=logab+logac 【 解 析 】 选 B.利 用 对 数 的 换 底 公 式 进 行 验 证 ,logab logca= logca=logcb,只 有 B正 确 .cclog blog a 2.计 算 ： =_.【 解 析 】 原 式 =( log33-log33) log5(10-3-2)=( -1) log55=- .答 案 :- 2 7214 log 10 log 2323 527log log 4 (3 3) 73 723 234 log 2log 10 323 53log log 2 (3 ) 73 3434 1414 3.已 知 函 数 f(x)= 则 f(f(1)+f( )的值 是 _. 2xlog x,x 0,3 1,x 0, 3 1log 2 【 解 析 】 因 为 f(1)=log21=0,所 以 f(f(1)=f(0)=2.因 为 log3 0,所 以所 以 f(f(1)+f( )=2+3=5.答 案 :5 12 3 31log log 223 1f(log ) 3 1 3 1 2 1 3.2 3 1log 2 考 向 二 对 数 函 数 的 图 象 及 应 用【 典 例 2】 (1)函 数 y=2log4(1-x)的 图 象 大 致 是 ( ) (2)当 0 x 时 ,4x1时 不 满 足 条 件 ,当 0a1时 ,画 出 两个 函 数 在 (0, 上 的 图 象 ,可 知 ,即 2 ,所 以 a的 取 值 范 围 为12 1 1f( ) g( )2 2 ，12 22 2( ,1).2 【 一 题 多 解 】 解 答 本 题 ,你 知 道 几 种 解 法 ?解 答 本 题 ,还 有 以 下 解 法 :选 B.因 为 0 x ,所 以 14x1,所 以 0a1,排 除 选 项 C,D;取 a= ,x= ,则 有 显 然 4xlogax不 成 立 ,排 除 选 项 A.12 12 1212 12 14 2 log 12 ， ， 【 易 错 警 示 】 解 答 本 题 (2)会 出 现 以 下 错 误 ：(1)不 能 将 不 等 式 恒 成 立 转 化 为 两 函 数 图 象 的 位 置 关 系 .(2) 与 的 关 系 不 明 确 .124 a 1log 2 【 母 题 变 式 】1.若 本 例 (2)变 为 :若 不 等 式 x2-logax0对 x (0, )恒成 立 ,求 实 数 a的 取 值 范 围 . 12 【 解 析 】 由 x2-logax0得 x2logax,设 f1(x)=x2,f2(x)=logax,要 使 x (0, )时 ,不 等 式 x21时 ,显 然 不 成 立 ;当 0a1时 ,如 图 所 示 ,1 12 要 使 x2logax在 x (0, )上 恒 成 立 ,需所 以 有 ( )2 loga ,解 得 a ,所 以 a1.即 实 数 a的 取 值 范 围 是 121 21 1f ( ) f ( )2 2 ，12 12 116 1161 ,1).16 2.若 本 例 (2)条 件 变 为 “ 当 0 x 时 ,16x1时 ,16x0,logax0,因 此 16xlogax不 成立 ;当 0a1时 ,令 f(x)=16x-logax,则 只 要 f(x)max0,又 f(x)在 0, 上 是 增 函 数 ,因 此 f(x)max=f( )=2-loga ,由 2-loga .所 以 a的 取 值 范 围 为 ( ,1).14 14 14 1212 14 【 规 律 方 法 】 利 用 对 数 函 数 的 图 象 可 求 解 的 两 类 热 点问 题(1)对 一 些 可 通 过 平 移 、 对 称 变 换 作 出 其 图 象 的 对 数 型函 数 ,在 求 解 其 单 调 性 (单 调 区 间 )、 值 域 (最 值 )、 零 点时 ,常 利 用 数 形 结 合 思 想 求 解 .(2)一 些 对 数 型 方 程 、 不 等 式 问 题 常 转 化 为 相 应 的 函 数图 象 问 题 ,利 用 数 形 结 合 法 求 解 . 【 变 式 训 练 】 (2016 攀 枝 花 模 拟 )已 知 lga+lgb=0(a0且 a 1,b0且 b 1),则 函 数 f(x)=ax与 g(x)=-logbx的图 象 可 能 是 ( ) 【 解 析 】 选 B.因 为 lga+lgb=0,所 以 lg(ab)=0,所 以 ab=1,即 b= ,故 g(x)=-logbx= =logax,则 f(x)与 g(x)互 为 反 函 数 ,其 图 象 关 于 直 线 y=x对 称 ,结 合 图 象 知 ,B正确 . 1a 1alog x 【 加 固 训 练 】1.已 知 函 数 f(x)=loga(2x+b-1)(a0,a 1)的 图 象 如 图所 示 ,则 a,b满 足 的 关 系 是 ( )A.0a-1b1B.0ba-11C.0b-1a1D.0a -1b-11.又 由 图 象 知 函 数 图 象 与 y轴 交 点 的 纵 坐 标 介 于 -1和 0之间 ,即 -1f(0)0,所 以 -1logab0,故 a -1b1,因 此 0a-1b1. 2.(2016 石 家 庄 模 拟 )设 方 程 10 x=|lg(-x)|的 两 个 根分 别 为 x1,x2,则 ( )A.x1x21 D.0 x1x21 【 解 析 】 选 D.作 出 y=10 x与 y=|lg(-x)|的 大 致 图 象 ,如图 . 显 然 x10,x20.不 妨 设 x1x2, 则 x1-1,-1x20, 所 以此 时 即 lg(-x1)-lg(-x2),由 此 得 lg(x1x2)0,所 以 0 x1x20且 a 1)的 图 象 过 两 点(-1,0)和 (0,1),则 logba=_. 【 解 析 】 f(x)的 图 象 过 两 点 (-1,0)和 (0,1).则 f(-1)=loga(-1+b)=0且 f(0)=loga(0+b)=1,所 以 即 所 以 logba=1答 案 :1b 1 1,b a, b 2,a 2. 考 向 三 对 数 函 数 的 性 质 及 其 应 用 【 考 情 快 递 】 命 题 方 向 命 题 视 角求 函 数 的 定 义域 以 对 数 函 数 为 载 体 ,考 查 函 数 定 义 域 的求 法 ,属 中 档 题比 较 对 数 值 的大 小 利 用 对 数 函 数 的 性 质 并 结 合 对 数 函 数的 图 象 进 行 数 值 的 比 较 ,属 中 档 题 【 考 题 例 析 】命 题 方 向 1:求 函 数 的 定 义 域【 典 例 3】 (2015 重 庆 高 考 )函 数 f(x)=log2(x2+2x-3)的 定 义 域 是 ( )A. 3,1 B.( 3,1)C.( , 3 1, ) D.( , 3) (1, ) 【 解 题 导 引 】 利 用 对 数 函 数 的 性 质 真 数 大 于 零 求 解 .【 规 范 解 答 】 选 D.由 对 数 函 数 的 真 数 大 于 零 可 知 ,x2+ 2x-30,解 得 x1,所 以 函 数 f(x)=log2(x2+2x-3)的 定 义 域 是 (- ,-3) (1,+ ). 命 题 方 向 2:比 较 对 数 值 的 大 小【 典 例 4】 (2013 全 国 卷 )设 a=log32,b=log52, c=log23,则 ( )A.acb B.bca C.cba D.cab【 解 题 导 引 】 结 合 对 数 函 数 的 性 质 判 断 a,b,c的 范 围 ,确 定 大 小 关 系 . 【 规 范 解 答 】 选 D.方 法 一 :a=log32log33=1,b=log52log22=1,又 log32= ,log52= ,lg3log52,综 上 cab.lg 2lg 3 lg 2lg 5 方 法 二 :因 为 23,12 ,所 以 log3 log32log33,log51log52log22,所 以 a1,0b1,所 以 cab. 3 53 512 12 【 技 法 感 悟 】1.求 函 数 的 定 义 域 的 方 法列 出 对 应 的 不 等 式 (组 )求 解 即 可 .要 注 意 对 数 函 数 的 底数 和 真 数 的 取 值 范 围 . 2.比 较 对 数 值 的 大 小 的 方 法(1)若 底 数 为 同 一 常 数 ,则 可 由 对 数 函 数 的 单 调 性 直 接进 行 判 断 ;若 底 数 为 同 一 字 母 ,则 需 对 底 数 进 行 分 类 讨论 .(2)若 底 数 不 同 ,真 数 相 同 ,则 可 以 先 用 换 底 公 式 化 为 同底 后 ,再 进 行 比 较 . (3)若 底 数 与 真 数 都 不 同 ,则 常 借 助 1,0等 中 间 量 进 行 比较 . 【 题 组 通 关 】1.(2016 咸 阳 模 拟 )设 a=log4 ,b= ,c= 4,则a,b,c的 大 小 关 系 是 ( )A.acb B.bca C.cba D.cab【 解 析 】 选 D.因 为 0a=log4 1,b= 1,所 以 cab. 14log 14log 2.(2016 肇 庆 模 拟 )函 数 y=ln(x-2)+ 的 定 义 域为 _.【 解 析 】 要 使 函 数 有 意 义 ,需 满 足 解 得 20的 解 集 为 _. 13 18log x 【 解 析 】 因 为 f(x)是 R上 的 偶 函 数 ,所 以 它 的 图 象 关 于 y轴 对 称 .如 图 , 因 为 f(x)在 0,+ )上 为 增 函 数 ,所 以 f(x)在 (- ,0上 为 减 函 数 ,由 f( )=0,得 f(- )=0.所 以 或 x2或 0 x0,a 1),若 f(x)1在 区 间 1,2上 恒 成 立 ,则 实 数 a的 取 值 范 围 为 _. 【 解 析 】 当 a1时 ,f(x)=loga(8-ax)在 1,2上 是 减 函数 ,由 f(x)1恒 成 立 ,则 f(x)min=loga(8-2a)1,解 之 得 1a ,当 0a1恒 成 立 ,则 f(x)min=loga(8-a)1,83 且 8-2a0,所 以 a4,且 a0,b0,a 1).(1)讨 论 f(x)的 奇 偶 性 .(2)讨 论 f(x)的 单 调 性 .x bx b 【 解 析 】 (1)要 使 f(x)有 意 义 ,则 0,因 为 b0,所 以 xb或 xb或 xx2,则 u1-u2=当 x1x2b时 , 0,即 u1x1x2时 ,u也 为 减 函 数 ,x b x b 2b 2b1x b x b x b ，2 11 2 1 22b(x x )2b 2b1 (1 )x b x b (x b)(x b) ，2 11 22b(x x )(x b)(x b) 所 以 当 a1时 ,f(x)=loga 在 (- ,-b)上 为 减 函 数 ,在 (b,+ )上 也 为 减 函 数 .当 0a1时 ,f(x)=loga 在 (- ,-b)上 为 增 函 数 ,在(b,+ )上 也 为 增 函 数 . x bx bx bx b
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