量子力学中微扰理论的简单论述

量子力学中微扰理论的简单论述摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定帶方程能够 严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谴方程的问题就什 么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近 似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时 的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰 理论。关键词:近似方法;非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论A simple discussion of perturbationtheory in quantum mechanicsAbstract： In quantum mechanics, because the systems Hamiltonian operatorare iscomplicated, the situation that Schrodingefs equation can be solved isexactly few. Therefoie, the introduction of various.approximation methods foi solving Schiodinger equation pioblem is something important. Approximate methods commonly aie perturbation method, variational method, the semiclassical approximation and the adiabatic approximation and so on. Different approximation methods have different application scope, we willdiscuss the peiturbation theoiy of discrete spectmm below. Foi Hamiltonian system of not containing time of discrete spectral of perturbation theory and degenerate stationaiy perturbation theory.Key Words： non degenerate stationary perturbation theoiy、 degenerate stationaiy perturbation theory.1非简并定态微扰论11.1理论简述11.2 一级微扰31.3二级修正41.4非简并定态微扰的讨论61.5海曼一费曼定理72简并定态微扰论82.1理论简述：82.2简并定态微扰论的讨论103结束语12致谢错误!未定义书签。参考文献120引言微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难 找到其薛定谴方程的精确解。我们所知道的就只有儿个量子模型有精确解， 像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无 法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模 型的精确解，用來生成一系列更复杂的量子系统的解答。量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法。当遇到比较 复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成 为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，來解析复杂的 量子系统。基本的方法是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须 有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复 杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质(例如, 能级，量子态，波函数)可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这 样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量 子系统。微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰 理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间。1非简并定态微扰论1.1理论简述近似方法的精神是从已知的较简单的问题准确解出发，近似地求较复杂 的一些问题的解，当然，还希望了解这些求解方法的近似程度，估算出近似 解和准确解之间的最大偏离。下面我们将讨论体系在受到外界与时间无关的 微小扰动时，它的能级和波函数所发生的变化。假设体系的哈密顿量/不显含/,定态的薛定帶方程H(p= E(p满足下述条件：（1）H可分解为丹。和两部分H。厄米，而且远小于H。：H = Hf + H0H*H上式表示，H与H的差别很小，可视为加与H。上的微扰。由于H 不显含/,因此，无论H。或是均不显含几（2）的本征值和己经求出，即在H。的本征方程比g =即g中，能级及波函数都是己知的。微扰论的任务就是从的本 征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，H的本征值和本征函数。（3）的能级无简并，严格来说，是要求通过微扰论來计算它的修正 的那个能级无简并。例如，要通过微扰论计算对的第斤个能级E畀的 修正，就要求无简并，它相应的波函数0丁只有一个。其他能级既可以是简 并的，也可以不是简并的。2】（4）的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰來 计算它的修正的那个能级丁处于分立谱内，E黑是束缚态。在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从己知的H。的本征值和 本征函数近似求出H的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常 可引进一个小的参数久，将写成久甘,将的微小程度通过兄反映出來。 体系经微扰后的薛定滂方程是：H（pn = （HQ + AHr）（pn = En（pn将能级En和波函数按2展开：Ef,民2）,.讯）,砒2）,分别表示能级E”和波函数的一级,二级修正。将上两式代入薛定谴方程中得：（仏+ 2H）（即+兄磔）+ 風2）+）=（瓦0）+鸿+恋2）+ ）（風0）+唏）+礙+）然后比较上式两端的2的同次幕，可得出各级近似下的方程式：几。:比X =即X加：（H。即）卅）=-（丹-矽）b肥（仏 _ 即）=-如2）（ Hf- E絆）讯）+ E$）g零级近似显然是无微扰时的定态薛定谴方程式，同样还可以列出准确到A3, 24等各级的近似方程式。1.2 一级微扰求一级微扰修正只需要求解（H。- E讣）瞰=-（Hf -或）曲o由于仏厄米，H。的本征函数系处）系展开 铢=牙叩孙将此式代入力的近似薛定谴方程中的（Ho 一 E俨）严艸）=一（才 一 E7 ）0为求出展开系数以妨尸左乘上式并对全空间积分，利用%）系的正 交归一性后，得E；%円一E；%r=一 kJ），才砒。）山 + 氏“沐H = pior日曾缶=胪| Hf |妤当 时，得E7 = H鳥3 -HlE（o）那么接下来计算dp，利用0”的归一条件，在准确到0（几）数量级后,1 =如必=（胪+祁P）1（炉+神們）=+O（A2）又因波函数磔）归一,曙I曙）=1得:此丨姊“+讷” |必）=0将+41）# =0/df必为纯虚数，即=17 兄为实数。准确到兄的一级近似，微扰后体系的波函数是収=X +入妙/H刃=0优”十入工沙如严I工nL厲”上式表明，4卩的贡献无非是使波函数增加了一个无关紧要的常数相位因 子，那么，不失普遍性，可取 a +叽=怦+ s E：伫站上式表明，准确到一级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的 一级修正，非对角元给出波函数的一级修正。1.3二级修正求二级修正需要求解（Ho -）刿）=_（ H E屮）g与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按風）展开 即=1严艸）I将此式代入上式得：/ /=_ H另川“奶。）+ H幕严+ E* lk申以姚尸左乘上式，并对全空间进行积分后得：斎翊一码唧）=一工;円+H”a$）+E8knl=n当 =k时，得，考虑到曙）二0,由上式得：F一= V H也匕旳/ jai n I /I7（O _ 17（0）=sln当nk时，由上式得： pHJH/H kr,H ” ”如 =2 （E齐一E）（Ef一 Ef） _ （E!,o - El0） ）2至于a$）,同样可以由波函数的归一条件算出，由如厲=（0齐+碍 +A2噱）| （婷+砂+护怦 = 1M痔丨外+疗I卿+01好=。+4“ +仟 a,% = 0mn同样，若取小卩为实数，那么由上式得:2 L V1 丨 H；” I?一仝（E絆一 ）2综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是:E” = E齐 + Hfnn + SI $E(o _ j7S(Skn IrnH = H =(E _E)(E齐-E；o)H b ”H n n | 1(0) (EJ)_卵)2 严Is同理，其他各级近似也可用类似的方法算出。1.4非简并定态微扰的讨论(1) 由微扰后的能级可知，微扰实用的条件是H；.EV _E$1只有满足该式，才能满足微扰级数的收敛性，保证微扰级数中最后一项小于前一项。这就是H的明确表示，微扰方法能否应用，不仅决定 于微扰的大小，而且决定于微扰的大小，而且还决定于无微扰体系两个能级 之间的间距。只有当微扰算符/在两个无微扰体系波函数之间的矩阵元 以“的绝对值远小于五微扰体系相应的两能级间隔|民)-勒)|时，才能用微 扰论來计算。这就是为什么必须要求作微扰计算的能级处于分立谱，因为如果能级&是连续谱，它和相邻的能级的能级间距趋于零，对于除能E”外的其他所有能级,是不可能都被满足的。(2) 如何在H中划分和十分重要，H。和取得好，上式不 仅可以满足，而且可以使级数收敛的很快，避免了繁长的微扰计算。一般， 除了要求的本征值和本征函数必须已知外，还可以从体系的对称性及微 扰矩阵元是否满足一定的选择定则來考虑划分H。和H o(3) 能量本征函数和本征值的二级修正由相应的一级修正给出，这样 我们可以说，微扰论其实也是一种逐步逼近法。（4）关于2的讨论：由H = HQ + AHf得出，若设我们将兄看成一个可 变化的参数，则显然当；I二0时，H =这时体系未受到微扰的影响；当兄二1时，H = Hq + H微扰全部加进去了。因此、可以想象体系当从 兄二0缓慢变化到2 = 1的过程，也就是体系从无微扰的状态逐步变成有微 扰的状态的过程。5海曼一费曼定理 设H是兄的函数，因此他的本征方程和归一条件为：H（A）|（A）=E（A）|0（A）由上式得：（入）冷（入）=1E（入）=（入）|H（入）|0（入）辔2=（曲）匪評 皿）+（辔2|hq）wq）十（曲）|H（A）| 除=（曲”警”（小+即）坐蜀冲=（0E-Eq = f= f1 半曲）| AHZ | 皿）.n d人J o人上式就是费曼一海曼定理，它通过对微扰参数兄的积分给出了含微扰的能量和无微扰能量之差。2 简并定态微扰论2.1理论简述:除一维束缚态外，一般情况下均有简并，因此简并微扰比非简并微扰更 具有普遍性，可以说，简并微扰是非简并微扰的特例。假定的第斤个能级母）有仁度简并，即对应于必）有九个本征函数 鞭（v=l，2, 3.九）。与简并微扰不同，现在由于不知道在这九个本征函数中应该取哪一个作为无微扰本征函数。因此，简并微扰要解决的第 一个问题就是：如何适当选择零级波函数进行微扰计算。设Hq的本征方程是：X归一化条件是：H的本征方程是:卿I姙=几*_H0=（Ho+入 H）0=E0由于胪是完备系，将卩按处綁展开后，得：屮=工C”将此式代入上式得：+入工= E 土J狀 n vn v斤以0$左乘上式两端，对全空间进行积分后有：E洌 C“+入=其中：H蔦三W釦H|船 按微扰的精神，将H的本征值E和在H。表象中的本征函数Cw按的幕级数作微扰展开：E=E+AE（1）+A2E+*+再将这两式代入 E繆C“+入：SC”Hz = EC*后得:E即（C% +心 + A2+ ）+入工（C器+ AC2? +入匕欲+W，”E黑（C+AC +”C叙 + ）+ 入工（C紆+ AC_co）C（o）=oA2：（E一E辭）鋭；+E耸；工C%）H爲小=0如果讨论的能级是第/?个能级，即E。二E$）,由兄的0次幕方程式得:（E,）E俨）C黑=0即:C爲=a心”a“是个待定的常数。再由一级近似下的薛定誇方程得:（嚟E票）霭；+刖匕”在上式中，当m=n,得能级的一级修正E为:E s 另0为方便书写起见，略去指标料，记同一能级垃中，不同简并态“，之间 的矩阵元H；“少为Hy o因此，上式可改写为：fn工（HE沐心=01上式是一个以系数你为未知数的线性齐次方程组，它有非零解的条件是其 系数行列式为零，即：det|瓦：一E0=（）这是个九次的久期方程。由这个久期方程可以解出E的九个根E駡（a=l,2,3九）将这九个根分别代入上个齐次线性方程组式后，可得出相应的九组解%（a=l,2,3九），将它们代入 C=a,8mn 后，得出与岁相应的零级波函数的系数。从而给出零级波函数和能量本征 值的一级修正。它们分别是：恍 =需En = E+E那么，由上式可知，新的零级波函数实际上是原來相应于第斤个能级的各个 简并本征函数的线性组合，其组合系数由久期方程决定。一般地，如果久期 方程无重根，将求得的础代入：$(血-E原则上可以求出九组不同的解偽1那么可以求出九个零级近似的波函数。8】2.2简并定态微扰论的讨论(1) 简并來自对守恒量的不完全测量。每一个守恒量对应于一种对称性。若由这个九次的久期方程解出的E貯(a=l,2,3fn)无重根，那 么，无微扰能级毋)经微扰后分裂为九条，它们的波函数由各自对应的船?(a=l,2,3九)表示。这时，简并将完全消除，原來带來简并的对称性或守恒量将发生或缺。同理，若；讦有重根，只要不是九重根，都将部分 地消除简并，引起部分对称或缺。刃(2) 经过重新组合后的零级波函数必)(a=l,2,3九)彼此互相正 交，满足0驚|赠=&八(3) 在属于的九维子空间中，若经过非简并微扰方法重新组合后 的殆)(a=l,2,3/)为基矢，则有: =厶如盘）I Hf | 卿=yaga.H=工。厶= E讦沧由上式可知，/在经过非简并微扰方法处理后的简并态构成的子空间中, 对应对角矩阵。因此，简并微扰方法的主要精神在于：重新组合简并态的零级波函数，使得/在简并态子空间中对角化。在经过这样的处理后，能量 的核心问题在于对简并子空间的基底的选择，在于重新选择零级波函数以使 得在简并子空间对角化，则对角线上的元素就是能量的本征值。若最初 的零级的简并波函数本身就能使得对角化，即的一级修正与非简并微扰的公式完全相同。简并微扰fn工（H,_E沐）=01则，由：嗚丨才|赠=农沐将得出E加 无须再去重新组合零级波函数。简并微扰可类似于非简 并微扰的方法处理。3结束语在量子力学中，由于体系的哈密顿函数比较复杂，往往不能求得准确的 解，而只能求得近似解。因此用來求问题的近似解的方法，就显得很重要。 那么，在上文，我们分别讨论了非简并定态微扰论和简并定态微扰论，并简 单论述了它的理论推导。由此，我们可以得知，近似方法的精神就是从简单 问题的精确解出发來求比较复杂的问题的近似解。近似方法除了上文介绍的 非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论外，还有含时微扰理论和变分法等 等。参考文献】苏如铿.量子力学.高等教育出版社.2002. 12周世勋.量子力学教程.高等教育出版社.2009.06曾谨言.量子力学卷（2）第4版.科学出版社.2007. 08国钱伯初.量子力学.高等教育出版社.2006.015 Gennaro Auletta, Fountations and Interpretation of Quantum Mechanics, WorldScientific Publishing Co.Pte.Ltd, 2000刘觉平.普通高等教育十一五国家级规划教材:量子力学.高等教育出版社.2012. 08171张永德.量子力学.科学出版社（普通高等教育“十五”国家级规划教材）.2002.06曾谨言.量子力学导论.北京大学出版社出版.1992.06钱伯初，曾谨言.量子力学习题精选与剖析.科学出版社出版，1999年第二版。10 J W S Rayleigh, Theory of Sound, 2nd edition Vol. I, pp 115一 118, Macmillan, London （1894）-13 -