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第 一 章 信 号 及 描 述第 一 节 信 号 的 分 类 与 描 述第 三 节 瞬 变 非 周 期 信 号 与 连 续 频 谱第 二 节 周 期 信 号 与 离 散 频 谱 1 第 一 节 信 号 的 分 类 与 描 述 概 述 信 号 的 分 类 信 号 的 时 域 和 频 域 描 述 2 交 通 信 号 灯 信 息信 号 信 息 的 载 体 是 光 信 号红 灯亮黄 灯亮绿 灯亮 停 止通 行注 意一 、 概 述 3 信 号 的 定 义 ： 物 理 角 度 ， 数 学 角 度 ， 工 程 角 度 。信 号 就 是 承 载 某 种 或 某 些 信 息 的 物 理 量 的 变 化 历 程 。信 号 就 是 函 数 ， 就 是 某 一 变 量 随 时 间 或 频 率 或 其 他 变量 而 变 化 的 函 数 。信 号 表 现 为 一 组 数 据 或 波 形 ， 这 组 数 据 通 常 是 由 某 一检 测 仪 器 ， 如 传 感 器 ， 从 某 一 物 理 系 统 上 检 测 得 到 的 ，以 数 据 的 形 式 记 录 在 纸 上 ， 或 存 储 在 某 种 磁 性 介 质 上 ，或 以 波 形 形 式 显 示 在 仪 器 的 显 示 屏 上 。 4 简 谐 振 动 信 号 测 试 系 统 结 构 框 图 5 n 如 心 电 图 ， 就 是 利 用 仪 器 从 人 体 上 获 得 的 心 脏 跳动 的 数 据 ， 通 常 显 示 在 仪 器 上 供 医 生 诊 断 之 用 ，或 记 录 在 纸 上 作 为 病 人 病 例 记 录 。 6 信 号 的 分 类 主 要 是 依 据 信 号 波 形 特 征 来 划 分的 ， 在 介 绍 信 号 分 类 前 ， 先 建 立 信 号 波 形 的 概 念 。 信 号 波 形 ： 被 测 信 号 的 幅 度 随 时 间 的 变 化 的 历程 称 为 信 号 波 形 。 信 号 波 形电 容 传 声 器齿 轮 啮 合 振 动二 、 信 号 的 分 类 9 常 见 标 准 信 号 波 形0 10 信 号 波 形 图 ： 用 被 测 物 理 量 的 强 度 作 为 纵 坐 标 ，用 时 间 做 横 坐 标 ， 记 录 被 测 物 理 量 随 时 间 的 变 化 情况 。 11 为 深 入 了 解 信 号 的 物 理 实 质 ， 将 其 进 行 分 类 研 究是 非 常 必 要 的 ， 从 不 同 角 度 观 察 信 号 ， 可 分 为 ：n从 信 号 描 述 上 ： 确 定 性 信 号 与 非 确 定 性 信 号 ；n从 信 号 幅 值 和 能 量 ： 能 量 信 号 与 功 率 信 号 ；n从 分 析 域 ： 时 域 与 频 域 ；n从 连 续 性 ： 连 续 时 间 信 号 与 离 散 时 间 信 号 ；n从 可 实 现 性 ： 物 理 可 实 现 信 号 与 物 理 不 可实 现 信 号 。 12 1 、 确 定 性 信 号 与 非 确 定 性 信 号 可 以 用 明 确 数 学 关 系 式 描 述 的 信 号 称 为 确 定 性 信 号 。 不 能 用 数 学 关 系 式 描 述 的 信 号 称 为 非 确 定 性 信 号 。信 号 非 确 定 性 信 号确 定 性 信 号 非 平 稳 随 机 信 号平 稳 随 机 信 号非 周 期 信 号周 期 信 号 简 单 周 期 信 号一 般 周 期 信 号准 周 期 信 号瞬 态 信 号 13 周 期 信 号 ： 按 一 定 时 间 间 隔 周 而 复 始 出 现 的 信 号 x ( t ) = x ( t + nT ) 简 单 周 期 信 号一 般 周 期 信 号 14 00sin tmkXtx 谐 波 信 号频 率 单 一 的 正 弦 或 余 弦 信 号 。简 单 周 期 信 号 ： 信 号 的“ 波 形 ”15 +=x1(t)=A1Sin(1t+1) =A1Sin(21t+1) =10Sin(23t+/6) x2(t)=A2Sin(2t+2) =A2Sin(2 2t+2) =5Sin(22t+/3) x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3) += 由 多 个 乃 至 无 穷 多 个 频 率 成 分 叠 加 而 成 ，叠 加 后 存 在 公 共 周 期 的 信 号一 般 周 期 信 号 : 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10-50510 (a)mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-505 (b)mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10010 (c)mm t t t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10-50510mm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5 0 5 (b) mm t t 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-10 -5 0 5 10 (a) mm t16 周 期 性 三 角 波 周 期 性 方 波 17 b) 非 周 期 信 号 ： 再 不 会 重 复 出 现 的 信 号 。 准 周 期 信 号 :由 多 个 周 期 信 号 合 成 ， 其 中 至 少 有 一 对 频 率比 不 是 有 理 数 。 )3sin( )2sin()( 22 11 tA tAtx 18 瞬 态 信 号 :在 有 限 时 间 段 内 存 在 ， 或 随 着 时 间 的 增 加 而 幅 值衰 减 至 零 的 信 号 。 00 sin tmkxetx t 0 19 (a)锤 击 物 体 的 力 信 号 (b)T段 为 汽 车 加 速 过 程 信 号(c)半 个 正 弦 信 号 (d)矩 形 窗 信 号 20 c)非 确 定 性 信 号 ： 不 能 用 数 学 式 描 述 ， 其 幅 值 、 相 位 变 化不 可 预 知 ， 所 描 述 物 理 现 象 是 一 种 随 机 过 程 。 平 稳 与 非 平 稳噪 声 信 号 (平 稳 )噪 声 信 号 (非 平 稳 ) 统 计 特 性 变 异 21 )( )( )( )( 均 离 散信 号 的 幅 值 和 独 立 变 量数 字 信 号 独 立 变 量 离 散一 般 离 散 信 号离 散 信 号 独 立 变 量 连 续一 般 连 续 信 号 均 连 续信 号 的 幅 值 与 独 立 变 量模 拟 信 号连 续 信 号信 号2.连 续 信 号 与 离 散 信 号时 间 幅 值连 续离 散 被 采 样 信 号模 拟 信 号连 续 离 散量 化 信 号数 字 信 号 22 (a)汽 车 速 度 连 续 信 号 (b)开 水 房 锅 炉 水 温 度 的 变化 连 续 信 号 23 (c)每 日 股 市 的 指 数 变 化 （ 离 散 信 号 ） (d)某 地 每 日 的 平 均 气 温 变 化（ 离 散 信 号 ）(e)每 隔 5分 钟 测 定 开 水 房 锅炉 水 的 温 度 变 化 （ 离 散 信 号 ） (f)每 隔 2微 妙 对 正 弦 信 号 采 样 获得 的 离 散 信 号 24 3.能 量 信 号 与 功 率 信 号 a)能 量 信 号 当 信 号 x(t)在 所 分 析 的 区 间 （ -， ） ， 能 量 为 有 限值 的 信 号 称 为 能 量 信 号 ， 满 足 条 件 ： 一 般 持 续 时 间 有 限 的 瞬 态 信 号 是 能 量 信 号 。 dttx )(2 25 b)功 率 信 号 当 信 号 x(t)在 所 分 析 的 区 间 （ -， ） ， 能 量。 此 时 ， 在 有 限 区 间 (t1,t2)内 的 平 均 功 率 是 有 限 的 。一 般 持 续 时 间 无 限 的 信 号 都 属 于 功 率 信 号 。噪 声 信 号一 般 周 期 信 号 dttx )(2 21 )(1 212 tt dttxtt 26 )3102sin(10)2sin()sin()( 0000 tftAtAtxl信 号 的 时 域 描 述 ： 以时 间 为 独 立 变 量 ， 其 强调 信 号 的 幅 值 随 时 间 变化 的 特 征 。 l信 号 的 频 域 描 述 ： 以 角频 率 或 频 率 为 独 立 变 量 ，其 强 调 信 号 的 幅 值 和 相位 随 频 率 变 化 的 特 征 。三 、 信 号 的 时 域 和 频 域 描 述 信 号 的 “ 域 ”时 域 频 域 27 02 20)( )()( 0 00 tTA TtAtx nTtxtx时 域 描 述 ： 直 接 观 测 或 记 录 到 的 信 号 ， 以 时间 为 独 立 变 量 的 ， 称 其 为 信 号 的 时 域 描 述 。 28 频 域 描 述 ： 以 频 率 作 为 变 量 的 ， 称 其 为 信 号 的 频 域描 述 。 周 期 信 号 的 频 域 描 述 29 第 二 节 周 期 信 号 与 离 散 频 谱傅 立 叶 级 数 三 角 展 开傅 立 叶 级 数 复 指 数 展 开 30 时 域 分 析 反 映 信 号 的 幅 值 随 时 间 的 变 化 情 况 ，频 域 分 析 反 映 信 号 的 频 率 组 成 和 各 频 率 分 量 大 小 。 图 例 ： 受 噪 声 干 扰 的 多 频 率 成 分 信 号 31 信 号 频 域 分 析 是 采 用 傅 立 叶 变 换 将 时 域 信 号 x(t)变换 为 频 域 信 号 X(f)， 从 另 一 个 角 度 来 了 解 信 号 的 特 征 。 8563A SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz 傅 里 叶变 换一 . 周 期 信 号 的 频 谱 分 析 傅 立 叶 级 数 三 角 展 开 32 时 间幅 值 频 率时 域 分 析 频 域 分 析 信 号 的 频 谱 X(f)代 表 了 信 号 在 不同 频 率 分 量 处 信号 成 分 的 大 小 ，它 能 够 提 供 比 时域 信 号 波 形 更 直观 ， 丰 富 的 信 息 。 u时 域 分 析 与 频 域 分 析 的 关 系谱 线 33 在 有 限 区 间 上 ， 一 个 周 期 信 号 x（ t） 当 满 足狄 里 赫 利 条 件 时 可 展 开 正 交 函 数 线 性 组 合 的 无 穷级 数 ， 如 三 角 函 数 集 的 傅 里 叶 级 数 。式 中 ，T周 期 ， 0基 波 圆 频 率 ， 。 v 注 意 ： an是 n或 n 0的 偶 函 数 ， a-n=an；v bn是 n或 n 0的 奇 函 数 ， b-n=-bn 。 0 0 01( ) ( cos sin )n nnx t a a n t b n t 2/ 2/ 0cos)(2 TTn tdtntxTa 2/ 2/ 0sin)(2 TTn tdtntxTb / 20 / 21 ( )TTa x t d tT 02 /T 狄 里 赫 利 条 件 :（ 1） 函 数 在 一 周 期 内 极 大 值 与 极 小 值 为 有 限 个 。（ 2） 函 数 在 一 周 期 内 间 断 点 为 有 限 个 。（ 3） 在 一 周 期 内 函 数 绝 对 值 积 分 为 有 限 值 。 dttf T0 )(即 信 号 x（ t） 的 另 一 种 形 式 的 傅 里 叶 级 数 表 达 式 ： 式 中 ， An称 信 号 频 率 成 分 的 幅 值 ， n称 初 相 角 。v注 意 ： An是 n或 n 0的 偶 函 数 ， A-n=An；v bn是 n或 n 0的 奇 函 数 ， -n=- n 。v 并 可 知 ： 0 01( ) cos( )n nnx t a A n t )( 22 nnn nnn abarctg baA n 1,2, nnn nnn Ab Aa sincos n 1,2, 小 结 与 讨 论 式 中 第 一 项 a0为 周 期 信 号 中 的 常 值 或 直 流分 量 ； 从 第 二 项 依 次 向 下 分 别 称 信 号 的 基 波 或 一次 谐 波 、 二 次 谐 波 、 三 次 谐 波 、 、 n次 谐 波 ； 将 信 号 的 角 频 率 0作 为 横 坐 标 ， 可 分 别 画出 信 号 幅 值 An和 相 角 n随 频 率 0变 化 的图 形 ， 分 别 称 之 为 信 号 的 幅 频 谱 和 相 频 谱图 。 例 1 求 图 所 示 的 周 期 方 波 信 号 x（ t） 的 傅 里 叶 级 数及 其 频 谱 。解 ： 信 号 x（ t） 在 它 的 一 个 周 期 中 的 表 达 式 为 ： 有 ： 图 周 期 方 波 信 号 20,1 02,1)( Tt tTtx 2/ 2/ 0 0cos)(2 TTn tdtntxTa 注 意 ： 本 例 中 x(t)为 一 奇 函 数 ， 而 cosn 0t为 偶 函 数 ， 两者 的 积 x(t)cosn 0t也 为 奇 函 数 ， 而 一 个 奇 函 数 在 上 、 下限 对 称 区 间 上 的 积 分 值 等 于 零 。 ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 可 得 周 期 方 波 信 号 的 傅里 叶 级 数 表 达 式 为 ： 6,4,2,0 ,5,3,1,4 cos12 )cos(1cos12 sinsin)1(2 sin)(2 2/0000 2/00 2/0 00 2/ 02/ 2/ 0nnn nn tnntnnT tdtntdtnT tdtntxTb TT TTTTn )5sin513sin31(sin4)( 000 ttttx 周 期 方 波 信 号 的 频 谱 图 ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 周 期 函 数 的 奇 偶 特 性 若 周 期 函 数 x(t)为 奇 函 数 ， 即 x(t)=-x(-t) 0 /24 000;0; ( )sin ;n Tn Taab x t n tdt 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx 1 0sin)( n n tnbtx 1 00 cos)( n n tnaatx 若 周 期 函 数 x(t)偶 函 数 ， 即 x(t)=x(-t) /220 0 /24 00 ( ) ;( )cos ;0 TT Tn Tna x t dta x t n tdtb ;sin)( ;cos)( ;)(2/ 2/ 02 2/ 2/ 02 2/ 2/10 000 000 000 TTTn TTTn TTT tdtntxb tdtntxa dttxa 40 )(tx 0 t A 20T 20T0T周 期 性 三 角 波 作 业 :周 期 性 三 角 波 的 三 角 频 谱 41 周 期 信 号频 谱 特点 1、 由 于 为 整 数 ， 各 频 率 分 量 仅 在 的 频 率 处 取 值 ， 因而 得 到 的 是 关 于 幅 值 和 相 角 的 离 散 谱 线 2、 诸 分 量 频 率 都 是 基 波 频 率 的 整 数 倍 3、 各 频 率 分 量 的 谱 线 高 度 表 示 该 谐 波 的 幅 值 和 相 位 角 ， 工 程上 常 见 的 信 号 ， 其 谐 波 幅 值 总 的 趋 势 是 随 谐 波 次 数 的 增 高 而减 小 的 。 n nA 0nn 42 1 00 01 00 )sin()( )sincos()( n nn nn n tnAatx tnbtnaatx 周 期 信 号 的 频 谱 具 有 离 散 性 、 谐 波 性 和 收 敛 性 三 个 特 点 。 n 欧 拉 公 式 )1(sincos 000 jtnjtne tjn )(21cos 000 tjntjn eetn )(2sin 000 tjntjn eejtn 10 )(2)(2 0000n tjntjnntjntjnn eebjeeaa 10 00 22n tjnnntjnnn ejbaejbaa 00 aC )(21 nnn jbaC )(21 nnn jbaC tjnn ntjnn n eCeCCtx 00 110)( 则那 么令 1 000 sincos)( n nn tnbtnaatx tjnn ntjnn ntjnn n eCeCeC 000 110 二 、 傅 里 叶 级 数 的 复 指 数 函 数 展 开 式 ： an是 n的 偶 函 数 ， a-n=an；bn是 n的 奇 函 数 ， b-n=-bn 。 即 ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n )(21 nnn jbaC 2/ 2/ 00 00 cos)(2 TTn tdtntxTa 2/ 2/ 00 0 0 sin)(2 TTn tdtntxTb 2/ 2/ 002/ 2/ 00 0000 sin)(2cos)(2212 TTTTnnn tdtntxTjtdtntxTjbaC 2/ 2/0 00 0)(1 TT tjnn dtetxTC 由 所 以即 2/ 2/ 000 00 sincos)(1 TT dttnjtntxT 44tnjtne tjn 00 sincos0 一 般 情 况 下 ， Cn是 复 数 njnnInRn eCjCCC | 22 nInRn CCC nRnIn CCarctgCn与 C-n共 轭 *nn CC nn 把 周 期 函 数 x(t)展 开 为 傅 立 叶 级 数 以 后 ， 作 关 系 图 CnR0称 为 实 频 图 CnI0称 为 虚 频 图 |Cn|0称 为 双 边 幅 频 图 ， n=-+， n=-+， n0称 为 双 边 相 频 图 2/ 2/0 00 0)(1 TT tjnn dtetxTC 45 例 2:画 出 正 弦 函 数 sin0t的 频 谱 图 。 0 nRC)(2sin 000 tjtj eejt ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n tjtjtjnn n ejejeCt 000 1)1(0 2121sin 在 0 处 ： 0nRC 21nIC 21nC 2 n0nRC 21nIC 21nC 2 n在 0 处 ： 2jCn 2jCn 46 一 般 周 期 函 数 实 频 谱 总 是 偶 对 称 的 ， 虚 频 谱 总 是 奇 对 称 的 。 实 频 图 虚 频 图双 边 幅 频 图双 边 相 频 图 单 边 幅 频 图 47 )(21)(212cos2sin)( 0000 222200 tftftftf eeeejtftftx 21 nRC 21nIC22nC 4 n21 nRC 21nIC22nC 4 n 0f 处 ： 在 0f 处 ： 在 实 频 图 虚 频 图双 边 幅 频 图 双 边 相 频 图 0 02 ( ) 21 12 2f t f tj e j e （ 1 ） （ 1 ） 48 例 3： 画 出 的 双 边 频 谱 。)42sin(2)( 0 tftx 作 业 .画 出 x3(t)=10Sin(23t+/6) +5Sin(22t+/3)的 频 谱 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 -10 0 10 mm t 49 解 ： 有 图 周 期 矩 形 脉 冲 0 0 00 0 /2 /2/2 /2 /2/2/2 /2 0 00 0 0 00 0 1 1 1 1()sin sin sin1 2 22 2 2 0, 1, 2,2jn t jn jnT jn t jn tn T e e eC x t e dt e dtT T T jn T jnn n n nnT j jn T n T 由 于 0=2 /T， 代 入 上 式 得定 义则 上 式 变 为可 得 到 周 期 矩 形 脉 冲 信 号 的 傅 里 叶 级 数 展 开 式 为 ,2,1,0,sin nTn TnTC n sinsin ( )defc ,2,1,0,2sinsin 0 nncTTncTCn n tjnn tjnn eTncTeCtx 00 sin)( 的 图 像 : 52 sin)(sin C 周 期 矩 形 脉 冲 的 频 谱 （ T=4） 信 号 的 脉 冲 宽 度 相 同 而 周 期 不 同 时 ， 其 频 谱 变 化 情 形 ： 图 信 号 周 期 与 频 谱 的 关 系 傅 里 叶 变 换 傅 里 叶 变 换 的 主 要 性 质 几 种 典 型 信 号 的 频 谱第 三 节 瞬 变 非 周 期 信 号 与 连 续 频 谱 55 非周期信号 准 周 期 信 号 信 号 中 各 简 谐 成 分 的 频 率 比 为 无 理 数 具 有 离 散 频 谱瞬 变 信 号 在 一 定 时 间 区 间 内 存 在 或 随 时 间 的 增 长 衰 减 至 零 准 周 期 信 号x(t)0 tx(t)0 t瞬 变 信 号 I 0 tx(t)瞬 变 信 号 IItAtAtx 31sin9sin)( ttx t sine)( 56 57 周 期 信 号 x(t)， 在 -T/2, T/2区 间 内 ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n 式 中 ，当 T时 ， 积 分 区 间 由 -T/2,T/2变 为 (-,)； 0lim ( ) j tnT C T x t e dt 0=2/T 0， 离 散 频 率 n0连 续 变 量 。 一 .瞬 变 非 周 期 信 号 频 谱 的 求 取 方 法 0/2/21 ( )T jn tn TC x t e dtT 58 X()为 单 位 频 宽 上 的 谐 波 幅 值 ， 具 有 “ 密 度 ” 的含 义 ， 故 把 X()称 为 瞬 态 信 号 的 “ 频 谱 密 度 函 数 ” ，或 简 称 “ 频 谱 函 数 ” 。 0( ) lim lim nnT f CX C T f 一 般 为 复 数 ， 用 X()表 示 为 ：X()称 为 信 号 x(t)的 傅 立 叶 变 换 。 ( ) ( ) j tX x t e dt lim ( ) j tnT C T x t e dt 59 u傅 立 叶 逆 变 换 当 T时 ， 0=2/T0 ， 0=d 离 散 频 率 n0连 续 变 量 求 和 积 分 。 则 ： ,2,1,0)( 0 neCtx tjnn n 0 001( ) lim lim 2jn t jn tn nT Tn nx t TC e TC eT 1( ) ( )2 j tx t X e d x(t)为 X()的 傅 立 叶 逆 变 换 （ 反 变 换 ） ( ) ( ) j tX x t e dt 0/2/21 ( )T jn tn TC x t e dtT 周 期 信 号瞬 变 非 周 期 信 号 u傅 立 叶 变 换 对 由 于 =2 ( ) ( ) j tX x t e dt 1( ) ( )2 j tx t X e d ( ) ( )FTIFTx t X 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 2( ) ( ) j ftx t X f e df ( )( ) ( ) j fX f X f e 2 2( ) Re ( ) Im ( )Im ( )( ) Re ( )X f X f X fX ff arctg X f -f 连 续 幅 值 谱-f 连 续 相 位 谱 fX f 2 21 1( ) ( ) (2 ) 2 ( )2 2j t j ft j ftx t X e d X f e d f X f e df 61 矩 形 窗 函 数 fTfTTeefj fTjfTj sin)(21 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 0 ( 2)( ) 1 ( 2 2)0 ( 2)R t Tw t T t Tt T 矩 形 窗 函 数 2( ) ( ) j ftR RW f w t e dt 22222 2 211 TTftjTT ftj efjdte )(sin fTCT 例 :矩 形 窗 函 数 的 频 谱 f 62( )Rw t ( )Rw t 矩 形 窗 函 数 频 谱( )RW f 例 ： 单 边 指 数 衰 减 函 数 的 频 谱 64 2( ) ( ) j ftX f x t e dt u周 期 和 非 周 期 信 号 幅 值 谱 的 区 别 |X ()|为 连 续 频 谱 ， 而 |Cn|为 离 散 频 谱 ； |Cn|的 量 纲 和 信 号 幅 值 的 量 纲 一 致 ， 即振 幅 ， 而 |X ()|的 量 纲 相 当 于 |Cn|/， 为 单位 频 宽 上 的 幅 值 ， 即 “ 频 谱 密 度 函 数 ” ，振 幅 /频 率 （ 如 cm/Hz） 。 非 周 期 信 号 幅 值 谱 |X ()|与 周 期 信 号 幅 值 谱 |Cn|之 间 的 区 别 ： 65 二 .傅 立 叶 变 换 的 性 质 a.若 x(t)是 实 函 数 a1.若 x(t)为 实 偶 函 数 ， 则 ImX()=0， 而 X()是 实 偶 函 数 ； a2.若 x(t)为 实 奇 函 数 ， 则 ReX()=0， 而 X()是 虚 奇 函 数 ； b.若 x(t)是 虚 函 数 b1.若 x(t)为 虚 偶 函 数 ， 则 ReX()=0， 而 X()是 虚 偶 函 数 ； b2.若 x(t)为 虚 奇 函 数 ， 则 ImX()=0， 而 X()是 实 奇 函 数 。2( ) ( )( )cos2 ( )sin2( )+ ( )j fte mX f x t e dtx t ftdt j x t ftdtR X f jI X f 1.奇 偶 虚 实 性 66( )cos2 ( ) ( )sin2 ( )e mx t ftdt R X f j x t ftdt jI X f ( )cos2 ( ) ( )sin2 ( )m ex t ftdt jI X f j x t ftdt R X f 如 果 有 则 1 1( ) ( )x t X f 2 2( ) ( )x t X f1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )c x t c x t c X f c X f 2.线 性 叠 加 性证 明 2 1 1 2 22 21 1 2 21 1 2 2( ) ( )( ) ( )( ) ( ) j ftj ft j ftc x t c x t e dtc x t e dt c x t e dtc X f c X f 例 子 ： 求 下 图 波 形 的 频 谱+ X1(f)X2(f)用 线 性 叠 加 定 理 简 化 3.对 称 性 若 :(时 域 信 号 ) x(t) X() (频 域 信 号 )， 则 X (t) x (-) 69 ( )X f( )X t TT2T 2T 1T 1T1T 1T 2T 2T 对 称 性 ： X(t) x(-f )证 明 ： 互 换 t 和 f从 而 ： X(t) x(-f) ffXtx ftj de)()( 2 fefXtx ftd)()( 2j ttXfx ftj de)()( 2 70 2( ) ( ) j ftX f x t e dt 4.时 间 尺 度 改 变 特 性 若 ， 则 对 于 实 常 数 ， 有 71 () ( )xt X f 1( ) fx kt Xk k k 当 时 域 尺 度 压 缩 ( 1)时 ， 对 应 的 频 域 展 宽 且幅 频 谱 谱 线 高 度 减 小 ； 当 时 域 尺 度 展 宽 ( 1)， 则 信 号 的 频 宽 压 缩 k倍 ， 而 幅 值 变 为 原来 的 k倍 。 sin( )( )R fTW f T fTk=1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0 1 2 3 t mm (a)窗函数频谱图(T=3) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗函数频谱图(T=1) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1 0 1 2 3 t mm (a)窗函数频谱图(T=3) -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5 0 0.5 1 t mm (b)窗函数频谱图(T=1) 7213k 时 间 尺 度 改 变 性 证 明 ： j2 j2 ( ) ( ) ( )e d1 1( ) d( ) ( )ft f ktkF x kt x kt t fx kt e kt Xk k k 2j 2j1( ) ( )e d1 1( )e dfk fkF x kt xk fx Xk k k （ k 0）（ k 1， 变 化 速度 加 快 ） 等 效 于 在 频 域 扩 展 （ 频 带 加 宽 ） ； 反 之 亦 然 。 73 5.时 移 性若 ， 则 在 时 域 中 信 号 沿 时 间 轴 平 移 一 常 值 t0（ 时移 ） ， 则 020( ) ( )j ftx t t e X f 对 应如 果 信 号 在 时 域 中 延 迟 了 时 间 t0， 其 频 谱 幅 值 不 会 改 变 ， 而相 频 谱 中 各 次 谐 波 的 相 移 -2t0， 与 频 率 成 正 比 。 74 ( ) ( )x t X f例 求 图 所 示 矩 形 脉 冲 函 数 的 频 谱 。解 ： 该 函 数 可 视 为 一 个 中 心 位 于 坐 标 原 点 的 矩 形 脉 冲 时 移 至 t0点 位 置所 形 成 ， 则 其 傅 里 叶 变 换 及 幅 频 谱 和 相 频 谱 分 别 为 02( ) sin ( ) j ftX f T c fT e 00( ) sin ( )2 , sin ( ) 0( ) 2 , sin ( ) 0X f T c fTt f c fTf t f c fT 证 明 ： 若 t0为 常 数 则 时 移 结 果 只 改 变 信 号 的 相 频 谱 ， 不 改 变 信 号 的 幅 频 谱时 移 性 质 02j0 e)()( ftfXttx 0 00 j20 0 j2 ( ) j20 0j2 ( ) ( )e d( )e e d( )( )e ft f t t ftftF x t t x t t tx t t t tX f 0j20 1 ( ) ( )e f tafF x at t Xa a 75 ( ) ( )x t X f 图 x(t)cos 0t的 频 谱 6.频 移 性若 ， 在 频 域 中 信 号 沿 频 率 轴 平 移 一常 值 0（ 频 移 ） ， 则 tfjetxffX 020 )()( 证 明 ： 若 f0为 常 数 则 频 移 性 质 1 0 010 1 0 1 0 j20 1 0j2( )1 1j2j21 1 j2 j21 1j2 ( )( )e d ( )( )e d( )e e de ( )e de ( ) ftf f tf tf t f t f tf t F X f fX f f f f f fX f fX f fX f fx t 令 77 tfjetxffX 020 )()( 时 域 表 达 式例 :求 被 截 取 的 余 弦 信 号 的 频 谱 函 数 000 |0 |cos)( Tt Ttttx 78 7.卷 积 定 理对 于 任 意 两 个 函 数 x1(t)和 x2(t)， 定 义 它 们 的 卷 积 为 ： dtxxtxtx )()()(*)( 2121若 x1(t) X1()， x2(t) X2()， 则1.两 个 函 数 在 时 域 中 的 卷 积 ， 对 应 于 频 域 中 的 乘 积2.两 个 函 数 在 时 域 中 的 乘 积 ， 对 应 于 频 域 中 的 卷 积 x1(t)* x2(t) X1()X2() x1(t) x2(t) X1()*X2() 79 时 域 卷 积 特 性 证 明 对 于 x1(t)和 x2(t)， 定 义 它 们 的 卷 积 为 ： dtxxtxtx )()()(*)( 2121若 x 1(t) X1()， x2(t) X2()， 则x1(t)* x2(t) X1()X2() )()( )()( )()( )()( )()()(*)( 21 221 2)(221 221 22121 fXfX defXx ddteetxx ddtetxx dtedtxxtxtxF fj fjtfj ftj ftj 801X（ f） 频 域 卷 积 特 性 证 明 对 于 和 ， 定 义 它 们 的 卷 积 为 ： 1 2 1 2( )* ( ) ( ) ( )X f X f X X f d 若 x 1(t) X1()， x2(t) X2()， 则x1(t) x2(t) X1()*X2() 1 21 2 1 2 21 2 2 ( ) 21 2 2 21 2 2 11 2( )* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) j ftj ftj f t j tj t j tF X f X f X X f d e dfX X f e df dX X f e e df dX x t e d x t X e dx t x t 81 1( )X f 2 ( )X f nn t txd )(d )(2j fXf n ffXtx ftde)()( 2j ffXfttx ftde)()2j(d )(d 2jd ( ) (j2 ) ( )dx tF f X ft d ( ) (j2 ) ( )dn nnx tF f X ft 8.微 分 特 性 ： 证 明 ：同 理 ： 82 83 84 能 量 信 号 和 功 率 信 号 n 能 量 (energy)信 号 ： 例 如 ： 在 右 图 所 示 的 单 自 由 度 振 动 系 统 中：由 弹 簧 所 积 蓄 的 弹 性 势 能 为 x2(t);若 x(t)表 达 为 运 动 速 度 ， 则 x2(t)反映 的 是 系 统 的 运 动 中 的 动 能 。 定 义 ： 当 x（ t） 满 足 关 系 式 则 称 信 号 x（ t） 为 有 限 能 量 信 号 ， 简 称 能 量 信 号 。 矩 形 脉 冲 、 衰 减 指 数 信 号 等 均 属这 类 信 号 。 dttx 2)( 图 单 自 由 度 振 动 系 统 n 功 率 (power)信 号 ：当 信 号 满 足 条 件 亦 即 信 号 具 有 有 限 的 （ 非 零 ） 平 均 功 率 ， 则 称信 号 为 有 限 平 均 功 率 信 号 ， 简 称 功 率 信 号 。 2/ 2/ 2)(1lim0 TTT dttxT 功 率 信 号 的 傅 里 叶 变 换 只 有 满 足 狄 里 赫 利 条 件 的 信 号 才 具 有 傅 里 叶变 换 ， 即 。有 限 平 均 功 率 信 号 ， 它 们 在 (- , )区 域 上的 能 量 可 能 趋 近 于 无 穷 ， 但 它 们 的 功 率 是 有 限 的， 即 满 足利 用 函 数 和 某 些 高 阶 奇 异 函 数 的 傅 立 叶 变换 来 实 现 这 些 函 数 的 傅 立 叶 变 换 。0)( dttx 2/ 2/ 2 )(1lim TTT dttxTP 三 、 几 种 典 型 信 号 的 频 谱 在 时 间 内 激 发 矩 形 脉 冲 （ 或 三 角 脉 冲 、 双 边 指数 脉 冲 ， 钟 形 脉 冲 ） 所 包 含 的 面 积 为 1；1.单 位 脉 冲 函 数 (t)及 其 频 谱 0lim ( ) ( )t t 0 t )(tS 单 位 面 积 1 0 t 0 t2 1 1 )(t)(tS 1各 种 单 位 面 积 为 1的 脉 冲 矩 形 脉 冲 到 函 数 当 0时 ， 的 极 限 就 称 为 单 位 脉 冲 函 数 ， 记 作 (t)，即 （ 单 位 脉 冲 函 数 ） 。 (1)(t)的 定 义 88 ( )t( )t( )t ( )t 从 极 限 角 度 : (2)(t)的 特 性 00 0)( ttt从 面 积 角 度 : 1)(lim)( 0 dttSdtt 0 t 0 t2 1 1 )(t )(tS 1矩 形 脉 冲 到 函 数 89 ( )t (3)(t)乘 积 性 0( ) ( ) (0) ( )( ) ( )x t t x tx t t t 00 0)( ttt 0 0( ) ( )x t t t 0( ) lim ( ) 1t dt t dt 90 )0()()0()()0()()( xdttxdttxdtttx (4)(t)的 筛 选 性 )( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1)( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1t 0 t 0 0 0 0 0 0 0() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t t t dt x t t t dt x t t t dt x t )( tx t 0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1)( tx t0 t)( t 0 - 1+ 1 )( tx t0 - 1+ 1t 0 t 0 0( ) lim ( ) 1t dt t dt 91 n 令 t-=t， 则 =t- t， d=-d t， 代 入 则)()0( dtttx )()()()(*)( txdtxttx )()()()( )()()(*)( dttttxdttttx dtxttx 结 果 ： x(t)与 (t)的 卷 积 等 于 x(t)。 函 数 的 卷 积 特 性 (5)(t)与 其 它 信 号 的 卷 积 92 )()()()(*)( 000 ttxdttxtttx 结 果 ： (t t0)时 卷 积 ， 就 是 将 函 数 x(t)在 发 生 脉冲 函 数 的 坐 标 位 置 上 重 新 作 图 当 脉 冲 函 数 为 (t t0)时 ， 与 函 数 x(t)的 卷 积 函 数 的 卷 积 特 性 2 93 (6)(t)的 频 谱 2( ) ( ) j ftf t e dt 逆 变 换 ： dfet ftj 21)(t) 1 据 对 称 性 ： 1() 0 t)(t 0 )( f1 函 数 的 频 谱 10 e 直 流 分 量 的 频 谱 94 (t) 1 1() 根 据 时 移 特 性 ： 020 )()( ftjefXttx 对 应 tfjetxffX 020 )()( 95020( ) j ftt t e 02 0( )j f te f f 根 据 频 移 特 性 ： 2.谐 波 函 数余 弦 函 数 的 频 谱 ： 0 0 01cos2 ( ) ( )2f t f f f f 0 02 20cos2 2j f tt j f te ef t eR 0 02 20 ( )sin2 2j f t j f ttj e ef t 正 弦 函 数 的 频 谱 ： 0 0 01sin 2 ( ) ( )2f t j f f f f 3.周 期 函 数 的 频 谱 周 期 函 数 x(t) 的 傅 里 叶 级 数 形 式 ：式 中x(t)的 傅 立 叶 变 换 为 ：v一 个 周 期 函 数 的 傅 里 叶 变 换 由 无 穷 多 个 位 于 各 谐波 频 率 上 的 单 位 脉 冲 函 数 组 成 。 n tjnn eCtx 0)( dtetxTC tjnTTn 0)(1 22 0 0 22 0( ) ( ) ( )jn f tnnjn f tn nn nX f F x t F C eC F e C f nf 4.周 期 单 位 脉 冲 序 列 的 频 谱 相 等 间 隔 的 周 期 单 位 脉 冲 序 列 ， 常 称 为 梳 状 函 数 )()( n snTttg 式 中 ， Ts周 期 ， n整 数 ，n=0, 1, 2, 3,。 n tnfjn seCtg 2)(该 函 数 为 周 期 函 数 ， s=1/Ts，用 傅 立 叶 级 数 的 复 指 数 形 式 表 示 ： 22 222 2 )(1)(1 ss sss s TT tnfjsTT tnfjsn dtetTdtetgTC sT1 时 域 中 ， 序 列 的 周 期 为 Ts， 频 域 中 ， 序 列 的 周 期 为 1/Ts。 时 域 中 ， 幅 值 为 1 ， 频 域 中 ， 幅 值 为 1/Ts n tnfjs seTtg 21)( 1 1( ) ( ) ( )sn ns s snG f f nf fT T T 对 进 行 傅 立 叶 变 换 ： s=1/Ts， 100 n tnfjn seCtg 2)(02 0( )j f te f f ( )g t u频 谱 分 析 的 应 用 频 谱 分 析 主 要 用 于 识 别 信 号 中 的 周 期 分 量 ， 是 信 号 分析 中 最 常 用 的 一 种 手 段 。案 例 ： 在 齿 轮 箱 故 障 诊 断 通 过 齿 轮 箱 振 动 信 号 频 谱 分 析 ， 确 定 各 频 率 分 量 ， 然 后 根据 机 床 转 速 和 传 动 链 ， 找 出 故障 齿 轮 。 案 例 ： 螺 旋 浆 设 计 可 以 通 过 频 谱 分 析 确 定 螺旋 浆 的 固 有 频 率 和 临 界 转 速 ，确 定 螺 旋 浆 转 速 工 作 范 围 。 101 n 有 一 齿 轮 传 动 系 统 ， 大 齿 轮 为 输 入 轴 ， 转 速 为600r/min， 大 、 中 、 小 齿 轮 的 齿 数 分 别 为40,20,10。 下 面 是 在 齿 轮 箱 机 壳 上 测 得 的 振 动 信 号 功 率 谱 ： n 请 根 据 所 学 的 频 谱 分 析 知 识 ， 判 断 是 哪 一 个 齿 轮轴 存 在 故 障 齿 轮 ？ 第 一 章 知 识 总 结n 机 械 量 测 量 系 统 经 常 产 生 时 变 输 出 信 号 。 即 使 很 复 杂 的信 号 也 能 分 解 和 分 析 成 谐 波 分 量 的 合 成 ， 每 个 分 量 都 有不 同 的 幅 值 、 相 位 和 频 率 。 所 有 的 确 定 性 信 号 实 际 上 都是 如 积 木 一 般 的 简 单 正 弦 波 的 合 成 。n 简 单 正 弦 波 是 最 基 本 的 信 号 形 式 ， 无 论 是 在 机 械 工 程 领域 还 是 在 电 气 工 程 领 域 ， 都 可 常 见 这 种 形 式 的 变 量 。 当一 个 函 数 的 二 阶 导 数 与 该 函 数 成 比 例 但 符 号 相 反 时 ， 则被 称 为 一 个 变 量 的 简 谐 函 数 。 这 种 信 号 的 频 率 可 以 用 线频 率 或 圆 频 率 来 描 述 。 n 有 周 期 性 方 波 、 三 角 波 两 个 周 期 信 号 ， 设它 们 的 频 率 均 为 1000Hz。 对 这 两 个 信 号 进行 测 量 时 ， 后 续 设 备 通 频 带 的 截 止 频 率 上限 各 应 是 多 少 ？ （ 设 某 次 谐 波 的 幅 值 降 低到 基 波 的 1/10以 下 ， 则 可 以 不 考 虑 ） 第 一 章 知 识 总 结n 复 杂 周 期 信 号 可 用 具 有 不 同 频 率 和 幅 值 的 简 谐 分量 之 和 来 表 示 ， 这 些 和 称 为 傅 里 叶 级 数 。n 瞬 变 非 周 期 信 号 也 可 用 具 有 不 同 频 率 和 幅 值 的 简谐 分 量 之 和 来 表 示 ， 这 些 和 称 为 该 信 号 的 傅 里 叶逆 变 换 。n 尽 管 分 解 出 的 所 有 的 谐 波 分 量 都 存 在 于 信 号 中 ，但 实 际 上 所 有 的 测 量 系 统 都 有 一 定 的 上 下 限 ， 超过 这 些 界 限 的 谐 波 就 会 给 削 弱 。 换 言 之 ， 没 有 一个 测 试 系 统 能 对 无 限 的 频 率 范 围 有 响 应 。 第 一 章 知 识 总 结n 如 果 要 获 得 精 确 波 形 ， 无 穷 级 数 中 的 所 有项 都 是 必 需 的 。 当 然 ， 随 着 谐 波 阶 次 的 增加 ， 它 们 对 总 合 的 影 响 越 来 越 小 ， 小 到 可以 忽 略 不 计 。n 频 谱 图 非 常 有 用 ， 因 为 它 让 我 们 可 以 一 眼就 看 出 信 号 中 的 频 率 成 分 。
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