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6 6.3 3等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和-2-知识梳理考点自诊1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母q(q0)表示.2.等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1,公比为q,则它的通项an=.3.等比中项如果成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,即G是a与b的等比中项a,G,b成等比数列.4.等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn,当q=1时,Sn=na1;第二项 同一个 公比 a1qn-1 a,G,bG2=ab-3-知识梳理考点自诊设数列an是等比数列,Sn是其前n项和.(1)若m+n=p+q,则aman=apaq;若2s=p+r,则 ,其中m,n,p,q,s,rN+.(2)ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为qm(k,mN+).(3)若数列an,bn是两个项数相同的等比数列,则数列ban,panqbn和 也是等比数列.-4-知识梳理考点自诊-5-知识梳理考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)满足an+1=qan(n N+,q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a,b的等比中项G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)如果an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,那么数列bn也是等比数列.()(5)如果数列an为等比数列,那么数列ln an是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为 ()-6-知识梳理考点自诊D3.(2018山东济南外国语学校月考)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=Sn+2an,则a10=()A.511B.512C.1 023 D.1 024B解析解析:Sn+1-Sn=an+1=2an,即an是以2为公比的等比数列,a10=a129=29=512,故选B.-7-知识梳理考点自诊4.(2018湖南长郡中学三模,5)设an是公比q1的等比数列,若a2 010和a2 011是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2 012+a2 013=()A.18B.10C.25D.95.(2018贵州黔东南一模)等比数列an的前n项和为Sn,若公比q=8,S2=18,则()A.8Sn=7an+2B.8Sn=7an-2C.8an=7Sn+2D.8an=7Sn-2AC解析解析:用特殊值排除法.由题意,S2=a1+a1q=18,所以a1=2,则B、D错误;又a2=16,所以8a2=128=7S2+2,则A错误,C正确.-8-知识梳理考点自诊6.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn,则“|q|=1”是“S4=2S2”的条件.充要 解析解析:S4=2S2,a1+a2+a3+a4=2(a1+a2),a3+a4=a1+a2,q2=1|q|=1,所以“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件.-9-考点1考点2考点3考点4等比数列的等比数列的基本运算基本运算A-10-考点1考点2考点3考点4-11-考点1考点2考点3考点4思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法:(1)方程思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论思想:因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.-12-考点1考点2考点3考点4A-8-13-考点1考点2考点3考点4等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明例2(2018全国1,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.-14-考点1考点2考点3考点4思考判断或证明一个数列是等比数列的方法有哪些?解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法:(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,n N+),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.-15-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练2(2018黑龙江哈尔滨期中)已知数列an中a1=3,其前n项和Sn满足:Sn=an+1+n-3.求证:数列an-1是等比数列.-16-考点1考点2考点3考点4等比数列性质的应用等比数列性质的应用(多考向多考向)考向1等比数列项的性质的应用例3(1)(2018湖北重点高中联考)等比数列an的各项均为正数,且a1 007a1 012+a1 008a1 011=18,则log3a1+log3a2+log3a2 018=()A.2 017B.2 018 C.2 019 D.2 020(2)(2018衡水中学押题一,3)在等比数列an中,“a4,a12是方程x2+3x+1=0的两根”是“a8=1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程?BD-17-考点1考点2考点3考点4解析解析:(1)a1 007a1 012=a1 008a1 011,a1 007a1 012+a1 008a1 011=2a1 007a1 012=18,a1 007a1 012=a1a2 018=9,log3a1+log3a2+log3a2 018=log391 009=2 018log33=2 018,故选B.(2)由韦达定理知a4+a12=-3,a4a12=1,a40,a120,a8=a4q40,所以舍去S3=90.故答案为10.-19-考点1考点2考点3考点4思考本题应用什么性质求解比较简便?解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形:=aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知条件为等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.-20-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)(2018河北衡水中学金卷一模,4)已知等比数列an中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则a5=()A.2B.-2C.2D.4(2)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S4=10,S12=130,则S8=()A.-30B.40C.40或-30D.40或-50(3)(2018湖南长郡中学模拟二)已知数列an的首项为3,等比数列bn满足 ,且b1 009=1,则a2 018的值为.CB3-21-考点1考点2考点3考点4-22-考点1考点2考点3考点4等差、等比数列的综合等差、等比数列的综合问题问题(2)(2018衡水中学一模,15)在等比数列an中,a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为17,设bn=a2n-1-a2n,nN+,则数列bn的前2n项和为.D-23-考点1考点2考点3考点4-24-考点1考点2考点3考点4思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?解题心得等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.-25-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)已知各项不为0的等差数列an满足a4-+3a8=0,数列bn是等比数列,且b7=a7,则b3b8b10=()A.1B.8C.4D.2(2)(2018湖南长郡中学五模,8)设等比数列an的前n项和为Sn,公比为q,且S3,S9,S6成等差数列,则8q3等于()A.-4B.-2C.2D.4BA-26-考点1考点2考点3考点41.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2.判定等比数列的方法(1)定义法:(q是不为零的常数,n N+)an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,n N+)an是等比数列.(3)等比中项法:=anan+2(anan+1an+20,n N+)an是等比数列.3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.-27-考点1考点2考点3考点41.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.在求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.-28-数学文化与数列典例1(2018北京,文5)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于 .若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()答案:D-29-典例2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,则问第二天走了()A.192里B.96里 C.48里D.24里答案:B-30-典例3九章算术是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为()答案:B解析:设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,-31-典例4我国古代数学著作九章算术有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤.斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金杖,长5尺,一头粗,一头细.在粗的一端截下1尺,重4斤;在细的一端截下1尺,重2斤.问依次每一尺各重多少斤?”设该金杖由粗到细是均匀变化的,其总质量为M,现将该金杖截成长度相等的10段,记第i段的重量为ai(i=1,2,10),且a1a2a10,若48ai=5M,则i=.答案:6-32-解析:由题意知由细到粗每段的质量成等差数列,记为an,设公差为d,-33-反思提升我国古代数学强调“经世济用”,注意算理算法,其中很多问题可转化为等差数列、等比数列问题.以上几个例题是以我国古代数学名著的实际问题为背景的数列题,意在考查学生的数学文化素养和应用意识.求解的关键是将古代传统应用问题转化为现代数学,建立恰当的数列模型,运用方程思想求解计算.
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