《矩阵分析》课件

矩 阵 分 析东 北 大 学 信 息 科 学 与 工 程 学 院井 元 伟 教 授二 六 年 五 月 第 一 章 线 性 空 间 与 线 性 变 换第 二 章 内 积 空 间第 三 章 矩 阵 的 标 准 形 与 若 干 分 解 形 式第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用第 五 章 特 征 值 的 估 计 与 广 义 逆 矩 阵第 六 章 非 负 矩 阵 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应用 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 1 向 量 范 数 2 矩 阵 范 数 3 向 量 和 矩 阵 的 极 限 4 矩 阵 幂 级 数 5 矩 阵 函 数 6 矩 阵 的 微 分 与 积 分 7 常 用 矩 阵 函 数 的 性 质 8 矩 阵 函 数 在 微 分 方 程 组 中 的 应 用 9 线 性 系 统 的 能 控 性 与 能 观 测 性 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 1. 向 量 范 数 , 0;| | | | | | | | | | |V x y VR Vx xx xx y x y 先 让 我 们 回 顾 一 下 ：若 是 时 内 积 空 间 ， 为 任 意 向 量 ， 为 实数 域 中 任 一 元 素 ， 则 中 向 量 的 长 度 具 有 下 列基 本 性 质 ：（ 1） 当 时 ， 都 有（ 2） ；（ 3） 。1. 向 量 范 数 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 1. 向 量 范 数 | | | |0 | | | | | | , | | |V P Vx xx xP x xx y Vx y 设 是 数 域 上 的 线 性 空 间 。 若 对 于 中 任 一 向量 ， 有 一 非 负 实 数 与 之 对 应 ， 满 足 下 列 三 个 条 件 ：（ 1） 正 定 性 ： 当 时 ， 都 有 ；（ 2） 齐 次 性 ： 对 于 任 何 ， 有 ；（ 3） 三 角 不 等 式 ： 对 任 何 ， 都 有定 义 1 | | | | | | x yx x 则 称 非 负 实 数 为 向 量 的 范 数 。 对 于 一 般 的 线 性 空 间 ， 没 有 长 度 概 念 。引 入 某 种 度 量 ， 满 足 三 个 性 质 。 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 1. 向 量 范 数 11 1 11| | max | |- | | | |- | | ( | | )ii nn ii n p pp iixxp x 几 种 常 见 的 范 数 ：（ 1） 无 穷 范 数 （ 2） 1 范 数 （ 3） 范 数 对 于 内 积 空 间 ， 向 量 的 长 度 是 一 种 范 数 。2-范 数 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 1. 向 量 范 数 a b1 2 1 2 | | | | | | | ,| | | |a b b aVx x xC C V xx C x x C x 对 于 任 何 有 限 维 向 量 空 间 上 定 义 的 任 意 两 种向 量 范 数 及 ， 都 存 在 两 个 与 无 关 的 正 的 常 数， ， 使 得 对 中 任 一 向 量 ， 都 有 （ 1） 满 足 （ 1） 的 两 个 不 等 式 的 两 种 向 量 范 数 称 为 等 价有 限定 维 的向注 量 。： 定 空 间 上理 1可 叙 述 为 的 不 同 向 量 范： 数 是理 1 等 价 的 。 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 2. 矩 阵 范 数 | | , 0 | |0 | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 | n n n nn nA P PA A B PA AP A AA B A BAB A BA n n ： 对 每 个 ,在 上 定 义 一 个 非 负 实 值函 数 ， 若 对 任 意 的 ， 满 足 下 列 条 件 ：（ 1） 正 定 性 ： 若 （ 矩 阵 ） ， 则 ；（ 2） 齐 次 性 ： 对 任 意 ， 有 ；（ 3） 三 角 不 等 性 ： ；（ 4） 则 非 负定 义 实 函 数 称 为 方 阵 的 范 数 。对 于 矩 阵 ， 既 可 以 看 作 向 量 ， 又 有 不 同 于 向 量 的 运 算 。2. 矩 阵 范 数 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 2. 矩 阵 范 数| | | | | | | | | | | 2 |n n nA P n x Px Ax A xA x ： 若 对 任 何 及 维 列 向 量 ， 方 阵 范数 满 足 关 系 式则 称 方 阵 范定 义 数 与 向 量 范 数 是 相 容 的 。矩 阵 范 数 与 向 量 范 数 的 联 系每 一 种 矩 阵 范 数 都 有 与 之 相 容 的 向 量 范 数任 意 两 种 矩 阵 范 数 都 是 等 价 的 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 2. 矩 阵 范 数 2, 1 22 1F- ( ) | | | | tr( )| | | | FrobeniusF- | | | | | |n nij n nn HF iji j n nii F F F A CA A Ax x C UA A AU 范 数 ： 若 ， 则是 一 种 与 向 量 范 数 （ ） 相 容 的方 阵 范 数 ， 称 为 范 数 。范 数 的 优 点 之 一 是 乘 以 酉 矩 阵 后 不 变 （ 在 实 矩 阵的 情 形 下 是 乘 以 正 交 矩 阵 后 不 变 ） ,即 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 2. 矩 阵 范 数 1 1 11 12F- | | max | | | max | | | n ijj n i n iji n jH H HAAA A A A A A A 除 范 数 外 ， 下 列 三 种 也 是 比 较 常 见 的 矩 阵 范 数 。（ 1） （ 列 模 和 最 大 者 ）（ 2） （ 行 模 和 最 大 者 ）（ 3） （ 是 的 最 大 特 征 值 ） 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 3. 向 量 和 矩 阵 的 极 限 3. 向 量 和 矩 阵 的 极 限定 义 1 对 于 向 量若 存 在 极 限 ( ) ( ) ( ) ( )1 2( )( , , , ) , 1,2, ,lim , 1,2, ,m m m m nnmi imx C mi n 则 称 酉 空 间 的 向 量 序 列 收 敛 于 向 量记 为 nC )(mx ),( 21 nx xxxx mmm )()( or ,lim向 量 序 列 的 极 限 是 按 坐 标 序 列 的 极 限 来 定 义 的 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 3. 向 量 和 矩 阵 的 极 限 定 义 2 对 于 矩 阵若 存 在 极 限 ( ) ( )( )( ) , 1,2, , , 1,2, ,lim , , 1,2, ,m m n nijmij ijmA a C m i j na a i j n 则 称 酉 空 间 的 方 阵 序 列 收 敛 于 方 阵记 为 n nC ( ) mA ( ) n nijA a C ( ) ( )lim , or m mm A A A A 方 阵 序 列 的 极 限 是 按 元 素 序 列 的 极 限 来 定 义 的 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 3. 向 量 和 矩 阵 的 极 限 ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 lim lim 0lim lim 0lim lim ( ) , limlim ( )m mm mm mm mm mm m m m mm mm mmm x x x xA A A AA A Aa A b B aA bB A B ABA A 有 界 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 0 1 2 0 1 200 02 0 , , , , , ( )2 m mmmNN m Nm m m m ijm A A A A A A A AAS A S SS S An An 方 阵 序 列 则 和 式称 为 方 阵 级 数 ， 缩 写 为记 ， 若 方 阵 序 列 收 敛 于 方 阵 ， 则 称方 阵 级 数 收 敛 ,且 其 和 为 记 为个 数 值 级 数 收 敛 。当 这 个 数 值 级 数 绝 对 收 敛 时 ， 称 方收 敛 的 充 要 条 件 : 绝阵 级 数 对 收 敛 。4. 矩 阵 幂 级 数 收敛敛，和也不改变的次序所得的新级次序收敛敛，且任意交换各绝对收敛，则他它一定 阵级数1) 0m mA若 方 收敛敛，和也不改变的次序所得的新级次序收敛敛，且任意交换各绝对收敛，则他它一定 阵级数1) 0m Am若 方0m mA 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用4. 矩 阵 幂 级 数 方 阵 级 数 的 收 敛 性 质 ：和 也 不 改 变 。 所 得 的 新 级 数 仍 收 敛 ，且 任 意 交 换 各 项 的 次 序 敛 ，绝 对 收 敛 ， 则 它 一 定 收若 方 阵 级 数 0)1 m mA 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 收 敛 。正 项 级 数 ，是 对 任 意 一 种 方 阵 范 数绝 对 收 敛 的 充 要 条 件 ，方 阵 级 数 0 0)2 m mm mA A 方 阵 级 数 的 收 敛 性 质 ： 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 3) , 0 ( ) .0 0n nP Q CAmm o PA Qmm PA Q P A Qm mm m 若 为 给 定 矩 阵 ， 如 果 方 阵 级 数收 敛 （ 或 绝 对 收 敛 ） ，则 级 数 也 收 敛 （ 或 绝 对 收 敛 ）且 有 等 式 方 阵 级 数 的 收 敛 性 质 ： 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 1 0 , ( ) ., ( ) max| | ii n mmm n nA C A AA AA C A 谱 半 径若 则 对 于 任 给 则 对 于 任 给 正 数 ， 都 有 某一 方 阵 范 数 ， 使 得其 中 称 为 的方 阵 幂 级 数的定 理 1： 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 发 散 。方 阵 幂 级 数时） 当（ 绝 对 收 敛 ；方 阵 幂 级 数时）（） 当（ 则 ：）（的 谱 半 径 为而 方 阵 的 收 敛 半 径 为若 复 变 数 幂 级 数 0,)(2 0,1 , ,0 m zCRA m zCRA ACA Rm zC mm mmnn mm 定 理 2 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 推 论 1 1 2( )00,n n nmC z RmmA C ， ，若 复 数 幂 级 数 的 收 敛 半 径 是 ， 则 对 于方 阵 当 其 特 征 值 满 足 ),2,1(0 niRi ,0 ( )00 | Ri i mC A Emm 时 ， 方 阵 幂 级 数 绝 对 收 敛 ； 若 有 某 一 使 得 | 则 方 阵 幂 级 数 收 敛 。 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 4. 矩 阵 幂 级 数 推 论 2 也 收 敛 。方 阵 幂 级 数对 任 意 的 方 阵 ， 则在 整 个 复 平 面 上 都 收 敛若 复 变 数 幂 级 数 0,0 m ACCA m zC mmnn mm 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 0 02 1 2 11 11 12 21 1 0 e e! !sin ( 1) sin ( 1)(2 1)! (2 1)!cos 1 ( 1) cos ( 1)(2 )! (2 )!( ) m mx Am mm mm mm mm mm mm m mmm x Am mx Ax Am mx Ax A Em mf x C x 0 ( ) mmmf A C A 5. 矩 阵 函 数 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 m 0 m 01 2 1 2 ( ) ,( ) ( )( ) ( )m mm mk k X C X f X C XX XX X Xf X f Xf X f X 若 对 任 方 阵 ， 幂 级 数 都 收 敛 ， 和 为则 当 为 分 块 对 角 形 矩 阵 时 ， 即 有定 理 1 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 00 00 0 0 00 ( ) ,1 1, , mmm mmm f(z) C z z R RJ n R C J 若 是 收 敛 半 径 为 的 复 变 幂 级 数 又是 阶 约 当 块 则 当 时 方 阵 幂 级 数绝 对 收 敛 其 和 为 定 理 2 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 00 00 00 ( 1) ( 2)0 0 0 0( ) 0 0 0( ) ( ) 0 01 ( ) ( ) 0 0( ) 2!1 1( ) ( ) ( ) ( )( 1)! ( 2)!n nff ff ff J f f f fn n 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 1 2 11 , ( )1 . ( 1,2, ) ni A f AA A P PA PJPA i n 现 在 我 们 可 以 用 矩 阵 的 标 准 形 来 计 算 矩 阵 函 数 ，我 们 分 两 个 情 形 来 讨 论 。） 若 相 似 于 对 角 形 矩 阵 ：简 记 为这 里 是 的 特 征 值 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 1 2 1 1 2 1 1 ( ) ( ) ( )( ) ,( ) ( )( ) ( )n nf ff(A) P pf t Atf Atf t f tf At P Pf t 由 定 理 ， 我 们 可 以 得 到在 实 用 上 ， 我 们 遇 到 的 往 往 是 变 量 的 函 数 矩 阵 的矩 阵 函 数 ， 类 似 我 们 可 以 得 到 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 1 1 2 2 12) ( ) ( ) ( )1( ) 1 i i k ki ii i i n nA AJ JA P PJJ 当 不 能 与 对 角 形 矩 阵 相 似 ， 这 时 ， 必 可 与 约 当标 准 形 相 似 其 中 约 当 块 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 121 121 )()()()( )()(2 )()()()( 1 PtJftJftJfPAtf AfJf PJfJfJfPAf ki k 类 似 地 有 。， 从 而 便 可 得 到的 公 式 计 算 出 每 个再 由 定 理 ， 我 们 可 以 得 到由 定 理 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 11 p1741 1 04 3 0 .( )1 0 2: 0 0 1 1 1 10 1 2 2 1 01 1 1 1 0 02 0 00 1 00 1 1AA eP PP AP J ： 设 ,求解 我 们 已 求 得 及且 易 得 例 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 02 11 1 2 2 2 2 ( ( ) )!0 0 1 0 0 1 1 10 1 2 0 0 2 1 01 1 1 0 1 0 00 1 1 1 0 0 3 2 2 1 0 4 3 02 1 0 0 3 2mz mA zf z e mee ee ee e e ee e e ee e e e e e e e 因 此 ， 考 虑 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 2 20 0 0 00 0 0 00 0 .At tt t Atee ee ete e e et e 若 在 计 算 的 第 一 个 等 式 中 ， 用去 代 替我 们 就 可 求 得 含 变 量 的 矩 阵 函 数 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 112210 0021 21)( 1 )( )()(, )()()()( 3 21 mm kk kkk ks nsnn AAAEAfm AAfA ACAfzCzfA mAn s 次 多 项 式 的可 以 表 示 成函 数的 收 敛 幂 级 数 ， 则 矩 阵是 相 应 的收 敛 的 复 变 数 幂 级 数 值 。 又 与的 所 有 互 不 相 同 的 特 征是其 中 式次 多 项的 最 小 多 项 式 为阶 方 阵设定 理 方 法 要 简 便 些 。 上 述绍 多 项 式 表 示 法 ， 比 起具 体 计 算 问 题 ， 下 面 介 法 及数 来 表 示 方 阵 函 数 的 方以 上 讨 论 了 用 方 阵 幂 级 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数方 程 组 为 的的 函 数 ， 而 确 定 这 些是其 中 ， 有 类 似 的 方 法 ， 这 时的 方 阵 函 数对 于 含 变 数 出 ：由 下 列 方 程 组 的 系 数 给系 数 )()1,2,1)( )()()()()( )(),2,1,( )()1()1()!1( )()1(2 )(, 112210 )1(11 2121 112210 1210 ttmit AtAtAtEtAtf Atft si fnmmn fm f ii mmi innmimini i mimi imimiim iii 定Xm C m 0X 1 ， 幂 级 数若 对 任 一 方 阵定 理 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 5. 矩 阵 函 数 ),2,1,( )( )()1()2)(1()()!1( )()()1()(2)( )()()()(11 11 2121 1110 sid tfd tnmmmtn d tdftmtt tfttti inn nmimini imimi imimi ii ii 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 6. 矩 阵 的 微 分 与 积 分 0( ) ( ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) ( ) ( ( )ij m n ijij m n ij m nA z a z a zz z z A zd dA z a z A z a zdz dz 的 每 个 元 素 都 是 复 变 量 的 函 数 ，且 都 在 或 变 量 的 某 个 区 域 内 可 导 ， 则 定 义 的导 数 为 ： 或 A(z)导 数 的 定 义 6. 矩 阵 的 微 分 与 积 分 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 6. 矩 阵 的 微 分 与 积 分 1 1) ( ) ( ) ( ) ( ),2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),0, ( ) ( ).3) ( ) ( ( ) ( )( )( ) .4) ( ) ( ) ( )ij m nA z B z A z B zA z B z A z B z A z B zC CC A z C A zA u a u z u f zd dA u duA zdz du dzn A z A z A zd Adz 性 质 ：当 为 常 数 矩 阵 时 ， 有 且如 及 变 量 的 函 数 都 可 导 ， 则若 阶 函 数 矩 阵 可 逆 ， 且 及 其 逆 矩 阵 都 可 导 ， 则 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ).dz A z A z A zdz 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 6. 矩 阵 的 微 分 与 积 分 .)()()()()()(4 )()()(3 ),( )()()()()2 ;)()()1 dxxBxAxBxAdxxBxA CdxxACdxxACba dxxBbdxxAadxxbBxaA TdxxAxTA ） ；为 非 零 常 数 矩 阵） ；为 非 零 实 数 积 分 性 质 ： 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 7. 常 用 矩 阵 函 数 的 性 质 性 质 ： .)3 .,)2 .)1 BAeAeBeBeAe BAAB AtBeBAte BAAB AAteAtAeAtedzd 则 ，若则 若 .sin)sin( ,cos)cos( ),(21sin ),(21cos ,sincos)4 AA AA iAeiAeiA iAeiAeA AAAte 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 7. 常 用 矩 阵 函 数 的 性 质 .2 ,cos)2cos( ,sin)2sin( ,2cos2sin)6 sincoscossin)sin( ,sinsincoscos)cos( )5 AeEiAe AEA AEA EBA BABABA BABABA BAAB 时 ， 则 有 ：当 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 8. 矩 阵 函 数 在 微 分 方 程 组 中 的 应 用)0( )0(),0(),0()0( 21XeX xxxX AXdtdX At Tn 解 为 ：由 定 理 我 们 知 道 其 唯 一 定 解 问 题 ： 的常 系 数 齐 次 微 分 方 程 组首 先 我 们 讨 论 一 阶 线 性 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 8. 矩 阵 函 数 在 微 分 方 程 组 中 的 应 用 )()( )(| 0)( 000 tXetX tXX Axdt dX ttAtt 其 唯 一 解 是同 理 可 得 到 定 解 问 题 ： 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 8. 矩 阵 函 数 在 微 分 方 程 组 中 的 应 用0 0 000( ) ( )0 ( )| ( )( ) ( ) ( )t t tA t t A t ttdX Ax F tdtX X tX t e X t e F d 最 后 考 虑 一 阶 线 性 常 系 数 非 齐 次 微 分 方 程 组 的 定 解 问 题 ：其 解 是 : 第 四 章 矩 阵 函 数 及 其 应 用 8. 矩 阵 函 数 在 微 分 方 程 组 中 的 应 用 的 解 。：例 211 102 113)1,1,1()0(1 AX AXdtdX T