《数学分析》PPT课件

1数 列 的 概 念收 敛 数 列 的 性 质小 结 思 考 题 作 业 数 列 极 限 的 概 念 概 念 的 引 入第 一 节 数 列 的 极 限 第 三 章 极 限 与 函 数 的 连 续 性 2 一 、 概 念 的 引 入 极 限 概 念 是 从 常 量 到 变 量 ,从 有 限 到 无 限 , 即 从 初 等 数 学 过 渡 到 高 等 数 学 的 关 键 . 极 限 的 思 想 源 远 流 长 .庄 子 (约 公 元 前 355275年 )在 天 下 篇 “一 尺 之 棰 ,日 取 其 半 ,万 世 不 竭” .意 思 是 :一 尺 长 的 棍 子 ,第 一 天 取 其 一 半 , 第 二天 取 其 剩 下 的 一 半 ,以 后 每 天 都 取 其 剩 下 的 一半 ,这 样 永 远 也 取 不 完 .数 列 的 极 限 中 写 道 : 3 刘 徽 (三 世 纪 )的 “ 割 圆 术 ” 中 说 :意 思 是 :设 给 定 半 径 为 1尺 的 圆 ,从 圆 内 接 正 6边形 开 始 ,每 次 把 边 数 加 倍 ,屡 次 用 勾 股 定 理 .求 出正 12边 形 、 等 等 正 多 边 形 的 边 长 ,正 24边 形 .边 数 越 多 , 圆 内 接 正 多 边 形 越 与 圆 接 近 ,最 后 与圆 周 重 合 , 则 正 多 边 形 周 长 与 圆 周 长 就 没 有 误差 了 .数 列 的 极 限 “割 之 弥 细 ,所 失 弥 少 .割 之 又 割 ,以 至 不 可割 ,则 与 圆 周 合 体 ,而 无 所 失 矣 .” 4 正 六 边 形 的 面 积 1A正 十 二 边 形 的 面 积 2A正 形 的 面 积126 n nA , 321 nAAAA S R数 列 的 极 限 5如 ;,2,8,4,2 n ;,21,81,41,21 n 2 n 21 n 定 义 按 照 自 然 数 的 顺 序 排 列 的 一 列 数 , 21 nxxx简 记 为 的称 为 数 列其 中 nn xx 通 项 (generalterm),或 者 一 般 项 ., nx数 列 的 极 限二 、 数 列 (sequence of number) 的 概 念 6可 看 作 一 动 点 在 数 轴 上 依 次 取 ., 21 nxxx1x 2x3x 4x nx ;,)1(,1,1,1 1 n )1( 1 n;,)1(,34,21,2 1 nn n )1( 1nn n数 列 的 (两 种 )几 何 表 示 法 :数 列 可 看 作 自 变 量 为 正 整 数 n的 函 数 : )(nfxn 整 标 函 数 或 下 标 函 数(1)数 列 对 应 着 数 轴 上 一 个 点 列 . 数 列 的 极 限 7 (2) 在 平 面 上 画 出 自 变 量 坐 标 轴 和 因 变 量 坐 标 轴 ,注 不 可 将 这 串 点 连 成 曲 线 .o nxn 1 2 3 4则 数 列 的 几 何 意 义 是数 列 的 极 限 平 面 上 一 串 分 离 的 点 . 8 三 、 数 列 极 限 的 概 念 .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当研 究 数 列 nnn即 ,511,411,311,211,11 56,43,34,21,2问 题 当 无 限 增 大 时 , 是 否 无 限 接 近 于 某 一确 定 的 数 值 ? nxn 如 果 是 ,当 n无 限 增 大 时 , nx 无 限 接 近 于 1. 数 列 的 极 限 如 何 确 定 ? 9如 何 用 数 学 语 言 刻 划 它 .1nx 1)1)1(1( 1 nn1nx 可 以 要 多 么 小 就 多 么 小 ,则 要 看 1nx “无 限 接 近 ” 意 味 着 什 么 ?| .)1(1 1 时 的 变 化 趋 势当研 究 数 列 nnn n1 只 要 n充 分 大 ,小 到 什 么 要 求 .数 列 的 极 限 当 n无 限 增 大 时 , 无 限 接 近 于 1.nx 10 ,1001给 定 ,10011 n由 ,100时只 要 n ,10011 nx有,10001给 定 ,1000时只 要 n ,1000011 nx有,100001给 定 ,10000时只 要 n ,100011 nx有,0给 定 ,)1( 时只 要 Nn .1 成 立有 nxnxn 1|1| 数 列 的 极 限 11 定 义 如 果 对 于 任 意 给 定 的 正 数 (不 论 它 多 么 小 ),总 存 在 正 整 数 N, 使 得 对 于 时 的 一 切Nn ,nx不 等 式 axn成 立 . 收 敛 于 a (converge to a) . nx或 称 数 列 记 为 ,lim axnn 或 ).( naxn那 末 就 称 常 数 a是 数 列 nx 的 极 限 (limit),如 果 数 列 没 有 极 限 , 就 说 数 列 发 散 (diverge). 数 列 的 极 限 12 ;的 无 限 接 近与刻 划 了不 等 式 axax nn ,有 关与 给 定 的 N 注xn有 没 有 极 限 , 一 般 地 说 , ;, 将 越 大越 小 N,是 任 意 给 定 的正 数 但 是 一 旦 给 出 之 后 ,它 就 是 确 定 了 ;主 要 看 “ 后 面 ” 的 无 穷 多 项 . .axn有 ,时当 Nn,0 ,0NN 定 义 采 用 逻 辑 符 号 将 axnn lim 的 定 义 可 缩 写 为 : 数 列 的 极 限(1)(2)(3)(4) “前 面 ” 的 有 限 项 不 起 作 用 , 13 x1x2x 2Nx1Nx 3x数 列 极 限 的 几 何 意 义 2a aa,时当 Nn 数 列 极 限 的 定 义 通 常 是 用 来 进 行 推 理注 需 要 预 先 知 道 极 限 值 是 多 少 .和 证 明 极 限 ,而 不 是 用 来 求 极 限 , 因 为 这 里.)( 落 在 其 外个至 多 只 有只 有 有 限 个 N数 列 的 极 限 axa n )( Nn ),( aUxn axn即 ,),( 内都 落 在所 有 的 点 aaxn )( Nn 14 无 穷 小 量 Def 3.3 极 限 为 0的 数 列 称 为 无 穷 小量 Prop 3.1 以 下 三 个 命 题 等 价 ：（ 1）（ 2） 为 无 穷 小 量 ；（ 3） 存 在 无 穷 小 量 使;lim ax nn axn , n .nn ax 15 例 .1)1(lim 1 nn nn证 明 1)1( 1 nn n n1,0 ,1 nx要 ,1 n只 要 1n或所 以 , ,1N取 ,时则 当 Nn 1)1( 1nn n有 .1)1(lim 1 nn nn即证 1nx 虽 然 是 可 以 任 意 小 的 正 数 ,但 使 用 定 义 证 题时 ,对 于 给 定 的 总 暂 时 认 为 它 是 固 定 的 ,按 照 这个 找 出 使 不 等 式 成 立 的 N. , 解 不 等 式 数 列 的 极 限 16 例 证 明 数 列 以 0为极 限 . ）、 321(2cos1 nnnxn ,0证 要 使 02cos10 nnxn由 于 02cos1 nn ,1 n只 要 ,1n或 ,1N取 ,时则 当 Nn有 .0 2cos1 nn 02cos1lim nnn即 为 了 简 化 解 不 等 式 的 运 算 ,常常 把 作 适 当 地 放 大 .axn .2cos1 nn n1 数 列 的 极 限 用 定 义 证 数 列 极 限 存 在 时 ,关 键 是 任 意 给定 寻 找 N,但 不 必 要 求 最 小 的 N.,0 17 例 .lim),( CxCCx nnn 证 明为 常 数设证 Cxn CC ,成 立,0任 给所 以 , 0 ,n对 于 一 切 自 然 数.lim Cxnn 说 明 常 数 列 的 极 限 等 于 同 一 常 数 .数 列 的 极 限 18 例 .10,0lim qqnn 其 中证 明证 0 ,0 nn qx ,lnln qn,lnln qN 取 ,时则 当 Nn,0 nq有 .0lim nn q,lnlnqn 为 了 使 只 需 使 ),10( 不 妨 设数 列 的 极 限 19 1. 有 界 性如 , 1 nnx n数 列 nnx 2数 列有 界 ; 无 界 .定 义 ,nx对 数 列 若 存 在 正 数 M,| 成 立Mxn 数 n,恒 有称 为 无 界 . 则 称 数 列 有 界 ;nx 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 都 落 在nx, MM闭 区 间 上 . 否 则 ,使 得 一 切 自 然 数 列 的 极 限四 、 收 敛 数 列 的 性 质 20 定 理 1证 ,lim axnn 设 由 定 义 , ,1取 ,1, axNnN n时 恒 有使 得 当则 .11 axa n即 有 ,max ,n则 对 一 切 自 然 数 .有 界故 nx有 界 性 是 数 列 收 敛 的 必 要 条 件 , 推 论注 收 敛 的 数 列 必 定 有 界 .数 列 的 极 限 无 界 数 列 必 定 发 散 . 不 是 充 分 条 件 .,1a 1aM记 ,|,| 1x |,| 2x |,| Nx ,Mxn 皆 有 21 2. 唯 一 性定 理 2证 ,lim axnn 设 由 定 义 , ;1 axNn n时 恒 有当 ;2 bxNn n时 恒 有当 ,max 21 NNN 取时 有则 当 Nn | ba axbx nn .2 时仅 当 ba 故 收 敛 数 列 极 限 唯 一 . 每 个 收 敛 的 数 列 只 有 一 个 极 限 . )()( axbx nn ,lim bxnn 又 数 列 的 极 限 才 能 成 立 .,0 21 NN 使 得 22 例 .)1( 1是 发 散 的数 列证 明 nnx证 ,21取 ,0N则 ,时即 当 Nn 区 间 长 度 为 1.,1,1 两 个 数无 休 止 地 反 复 取而 nx不 可 能 同 时 位 于 长 度 为 1的 区 间 内 ., 是 有 界 的nx数 列 的 极 限 21a 21aa,时当 Nn ,21成 立有 axn 反 证 法假 设 数 列 nx 收 敛 ， 则 有 唯 一 极 限 a 存 在 .),21,21( aaxn但 却 发 散 . 23 数 列 的 极 限3. 保 号 性定 理 3 如 果 ,lim axnn 且 0a ,0N则,Nn当 0nx有 ),0( a).0( nx证 0a 由 定 义 , ,02 a ,时当 Nn对 ,0N,2aaxn 有 从 而 nx 2aa 2a .0推 论 如 果 数 列 nx 从 某 项 起 有 0nx ),0( nx且 ,lim axnn 那 么 0a ).0( a 用 反 证 法 24 定 理 3.3 若 则 存 在 当 时 ， 有 Corollary 3.2 设i） 若 则 存 在 当 时 ， 有ii） 若 则 存 在 当 时 ， 有,0lim axnn ,NNn .02 ax n ,lim axnn ,0a ,N Nn ;02 ax n,0a Nn .02 | axn,N 25 极 限 与 四 则 运 算 及 与 不 等 式 的 关 系 Thm 3.1 设 则,lim,lim byax nnnn ;)(lim) bayxi nnn ;)(lim) bayxii nnn .)0(lim) bbayxiii nnn 26 Thm 3.4 若 是 无 穷 小 量 是 有界 数 列 ， 则 是 无 穷 小 量 . Corollary 3.3 若 为 常 数 ，则 Thm 3.5（ 保 序 性 ） 若 且 则 存 在 当 时 ， 有cbynn ,lim .)(lim bcyc nn nx , ny nn yx ,lim,lim byax nnnn ,ba ,N Nn .nn yx 27 Thm 3.6 若 对 任 意 正 整 数 有 且 则 Remark（ 1） 因 为 数 列 的 前 有 限 项 不 影 响 数 列 的极 限 ， 故 上 不 等 式 的 条 件 可 减 弱 为 ：“ 若 当 时 ， ” ；（ 2） 若 条 件 加 强 为 结 论 是 否 可 以加 强 为 ,n ,nn yx ,lim,lim byax nnnn .baNn,0N nn yx ,nn yx ?ba 28 Thm 3.7(唯 一 性 ) 若 数 列 有 极 限 存 在 ，则 极 限 是 唯 一 的 Thm 3.8(夹 迫 性 ) 如 果 对 任 意 正 整 数（ 或 减 弱 为 “ 若 当 时 ” ） ， 有 且 则 存 在 且 等 于 Thm 3.9 单 调 有 界 数 列 必 有 极 限 nNn,0 N, nnn zyx ,limlim azx nnnn nn ylim .a 29 无 穷 大 量 Def 3.4 设 是 一 数 列 若 对 于 任意 给 定 的 存 在 正 整 数 当时 ， 有 则 称 是 无 穷 大 量 ，记 为 或 Def 3.4 设 是 一 数 列 若 对 于 任意 给 定 的 存 在 正 整 数 当时 ， 有 则 称 是 正 无 穷 大 量 ，记 为 或 类 似 的 请 给 出 负 无 穷 大 量 的 定 义 . nx,0G ,N Nn ,| Gxn nx nn xlim .)( nxn nx,0G ,N Nn ,Gxn nx nn xlim .)( nxn 30 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 ;证 )(lim0 xfxx设 ,0 .)(1 xf即.)(1,0 为 无 穷 小时当 xfxx 定 理 4 恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数 为 无 穷 大 .,0,0 0 时 xx ,1)( Mxf有无 穷 小 与 无 穷 大三 、 无 穷 小 与 无 穷 大 的 关 系,1M此 时 对 使 得 当 31 ,0)(lim, 0 xfxx设反 之 ,0 M .)(1 Mxf 从 而 .)(1,0 为 无 穷 大时当 xfxx ,0)( xf由 于关 于 无 穷 大 的 讨 论 , .0)( xf且 ,0,0 0 时 xx ,1)( Mxf 有意 义 无 穷 小 的 讨 论 . 都 可 归 结 为 关 于 在 同 一 过 程 中 ,无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 ;定 理 4 恒 不 为 零 的 无 穷 小 的 倒 数 为 无 穷 大 .无 穷 小 与 无 穷 大 ,1M此 时 对 使 得 当 32 两 个 正 (负 )无 穷 大 之 和 仍 为 正 (负 )无 穷 大 ; 有 界 变 量 与 无 穷 大 的 和 、 差 仍 为 无 穷 大 ; 有 非 零 极 限 的 变 量 (或 无 穷 大 )与 无 穷 大 之 积 仍 为 无 穷 大 ; 用 无 零 值 有 界 变 量 去 除 无 穷 大 仍 为 无 穷大 .容 易 证 明例 )1(lim xxx 求解 )1(lim xxx 无 穷 小 与 无 穷 大 33 (1) 无 穷 大 是 变 量 ,不 能 与 很 大 的 数 混 淆 ;无 穷 大 一 定 是 无 界 函 数 , .)(lim)2( 0 认 为 极 限 存 在切 勿 将 xfxx注 (3) 无 穷 大 与 无 界 函 数 的 区 别 :它 们 是 两 个 不 同 的 概 念 .未 必 是 某 个 过 程 的 无 穷 大 .但 是 无 界 函 数无 穷 小 与 无 穷 大 34 如 xxy sin 是 无 界 函 数 , 但 不 是 无 穷 大 .因 为 取 ,22 时 nxx n 22)22( nnf 而 取 ,2 时nxx n .0)2( nf无 穷 小 与 无 穷 大 )( n当所 以 ,时x f (x)不 是 无 穷 大 ! 35 11lim1 xx证 明 11 xy1证 ,0 M ,11 Mx 要 使 ,11 Mx 只 要 ,1M取,10 时当 x .11 Mx 有 .11lim1 xx,)(lim 0 xfxx如 果 例 |1| x解 出 )( 0 xfyxx 是 函 数则 直 线的 图 形 的 铅 直 渐 近 线 (vertical asymptote). 无 穷 小 与 无 穷 大结论 xyO 1 36 无 穷 小 与 无 穷 大思 考 题 ).(1sin1,0 2 是时当 xxx A. 无 穷 小 量 B.无 穷 大 量C. 有 界 量 非 无 穷 小 量 D.无 界 但 非 无 穷 大 量D 37 在 数 列 中 依 次 任 意 抽 出 无 穷 多 项 : nx , 21 knnn xxx 所 构 成 的 新 数 列)( 21 knnn其 下 标 knx这 里 是 原 数 列 中 的 第 项 ,kn 在 子 数 列 中 是第 k项 , k 4. 收 敛 数 列 与 其 子 数 列 (subsequence)间 的 关 系 knx 的 nx 子 数 列 .叫 做 数 列数 列 的 极 限 kn 38*,ax kn 证 knx 是 数 列 nx 的 任 一 子 数 列 .若 ,lim axnn 则 ,0 ,N ,Nn当axn 成 立 .现 取 正 整 数 K,使 ,N 于 是 当 k 时 , 有kn N从 而 有 由 此 证 明 .lim ax knk NNx 定 理 4设 数 列数 列 的 极 限正 整 数 Kn KKn Knx Kn收 敛 数 列 的 任 一 子 数 列 收 敛 于 同 一 极 限 . 39 由 此 定 理 可 知 ,但 若 已 知 一 个 子 数 列 发 散 , 或 有 两 个 子 数 列敛 于 a . nx 12 kx 2kx收 敛 于 不 同 的 极 限 值 ,可 断 定 原 数 列 是 发 散 的 .数 列 的 极 限一 般 不 能 断 定 原 数 列 的 收 敛 性 ;还 可 以 证 明 :数 列 的 奇 子 数 列 和 偶 子 数 列均 收 敛 于 同 一 常 数 a 时 ,则 数 列 nx 也 收仅 从 某 一 个 子 数 列 的 收 敛(证 明 留 给 做 作 业 ) 40 例 试 证 数 列 不 收 敛 . ncos证 因 为 的 奇 子 数 列 ncos 不 收 敛 .收 敛 于 ,1,1,1 而 偶 子 数 列 ,1,1,1 ncos所 以 数 列数 列 的 极 限 收 敛 于,1 ,1 41 一 些 常 用 极 限1lim)3( nn n en nn 11lim)4( 1|,0lim)2( qq nn 0,01lim)1( pn pn 42 lk lk lkbabnbnb anana lll kkkn ,0 ,lim)5( 00110 110 其 中 .0,0 00 ba（ 6） 设 有,lim aa nn ;lim 21 an aaa nn （ i）（ ii） 若 则 .lim 21 aaaan nn ,0na 43 数 列数 列 极 限收 敛 数 列 的 性 质收 敛 数 列 与 其 子 数 列 间 的 关 系 .五 、 小 结数 列 的 极 限 研 究 其 变 化 规 律 ;极 限 思 想 , 精 确 定 义 , 几 何 意 义 ;有 界 性 , 唯 一 性 ,保 号 性 , 44 数 列 极 限的 定 义 有 界 性数 列 保 号 性极 限 保 序 性的 性 质 不 等 式 性唯 一 性夹 迫 性实 数 连 续性 定 理 单 调 有 界 原 理 en n n 11lim 45 数 列 的 极 限思 考 题 31axn ,时当 Nn,0 ,0N“ ” 恒 有是 数 列 nx 收 敛 于 a的 ( ). A. 充 分 但 非 必 要 条 件 B. 必 要 但 非 充 分 条 件C. 充 分 必 要 条 件 D. 既 非 充 分 也 非 必 要 条 件(1) C (2) ).(lim,lim 2 nnnn aKa 则若KA. KB 2. 2. KC D. 不 确 定A 46 作 业习 题 1-2 (页 ) 2. 3.(1) (3) (4) 4. 5. 6. 数 列 的 极 限