线性代数习题集(带答案)

第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是().(A)2 43 1 5(B)1 43 2 5(C)41 52 3(D)2 43 51如果阶排列j j-j的逆序数是3则排列j-j J的逆序数是(1 2 n n 2 I(A)k(B)n-k(C)_-2(D)-3.”阶行列式的展开式中含。的项共有()项.11 12(A)0(B)n-2 (-2)!(D)(n-1)!0 0 0 10 0 1 0).4.0=(0 1 01 0 0 0(A)00 0 10(B)-l(C)1(D)20 1 0 0).5.=(0 0 0 11 0 0 0(A)0(B)-l(C)1(D)22x x-116.在函数/(x)=-1-x 13 2 -x23中X 3项的系数是().0 0 01(A)0(B)-l(C)1(D)27.若Daiia21a31a12a2 2a3 28.(A)4aii2112=Qa2 2(A)kaa13a=23a33(B)L,则 o =22a2a2a2131a13a23a33a-2a11 12a 2a21 22a-2a31).a,则12aii-4ka2 2ka21(C)2).(B)ka(C)Z2a32(D)-2(D)Z2a9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4,0,1,3,第3行元的余子式依次为一 2,5,1,x,则x=().10.(A)0(C)3(D)2若。(B)-3-87436-23-1111143-75,则。中第一行元的代数余子式的和为().(A)-l(B)-2(C)-3(D)03 0 4 011111 1.若。=,则。中第四行元的余子式的和为(0-1005 3-2 2).(A)-l(B)-2(C)-312.等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组()(A)-l(B)-2(C)-3(D)0 x+x+kx=0l 2 3+kx+x=0有非零解.I 2 3kx+x+x-0I 2 3(D)0二、填空题21.2 阶排列24(2)13(2-1)的逆序数是2.在六阶行列式中项 a a a a所带的符号是32 54 41 65 13 26-3.四阶行列式中包含且带正号的项是22 43-4.若一个 阶行列式中至少有 2-+1个元素等于0,则这个行列式的值等于1 1 10 1 0行列式C ,0 1 10 0 101100 1 0 0002.06.行 列 式.0 0 0n 0 0 07.8.9.11行列式二0 0a a11 12如果。=以 a21 22a a31 32a13a=A f ,23a3311则。=1 21a31a-3a 3a13 12 12a-3a 3a23 22 22a-3 3a33 32 32已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为41 -11 -11 0.行列式1 x-1x+1-11 x-1x+1 -11 -11 -11 +X 1 .11.阶行列式1 1+入 1=1 1 1 +入12,已知三阶行列式中第二列元素依次为12 3,其对应的余子式依次为32 1,则该行列式的值为1 3.设行列式D=，A(j =l,2,3,4)为D中第四行元的代数余子式,44)1 2 3 45 6 7 84 3 2 18 7 6 51 2 3 43 3 4 41 5 6 71 1 2 24414243 441 4.已知。c b a ba baD中第四列元的代数余子式的和为4a c b d41 5.设行列式D-6,A4/为a(J=1,2,3,4)的代数 余子式，则4/4A+A441 42,A443+A444135 2n-1120 01 6.已知行列式D=103.0，D中第一行元的代数余子式的和为100.nkx+2x+x=01 7.齐次线性方程组，2x+kx=1 20仅有零解的充要条件是X-X+X 二1 2 3：01 8.若齐次线性方程组.%+2X2+2 一 +X2x3=05.=0有非零解，则广.Xk3一 3x 2x+1 2kx=031.三、计算题abedX y x+yQ 2 b2 C 2 d 2;2.y x+y xQ 3 加 C 3 d 3x+y x yb+c+d Q+c+d Q+力+d Q+8+c0 13.解方程1 x 11 xX 11 X1 01 0Xaia,2 an-21aXa.a1i2n-2aax,a1i2n-2Qaa X1123C laa a1123n-a 1 1o1 a 115.1 1 21 1 1111a：#1J=0，,)；1 1 1 13-b 1 16.1 1 2-b 11 1 1 (n V booo12ooo21012：oo121-oo210oooooQooQoQ-o4-oooooD-6四、证明题1,设必c d=1,证明:1。2+1a12ah2+_h11方bi=01C 2+c11不?d 2 +_d11d 2d3.4.a1C 1 21OH-211bb2Z?4a2a22an-22C ln21dd2d 4(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(a+b+c+d).a2an-2ana 1 l(a 一 ci).i j i11a111 i j n1 1 15.设a力,c两两不等，证明a b c=0 的充要条件是a+b+c=0.a3 hi C 3参考答案一.单项选择题ADACCDABCDBB二.填空题1.n;2.;3.a a a a；4.0 ;5.0 ;6.(-l)n-m!;14 22 31 437.(-1)2 a a aIn 2(n-l)n8.-3 M;9.-1 60;1 0.x 4；1 1.(X +n)Xn-i；1 2.-2;1 3.0;1 4.0;1 5.1 2,-9;I 6.n!(l-Z 1)；1 7.-2,3Rk=l1 8.k =7三.计算题1.(Q+b +c +d)(b o)(c Q)(d Q)(C b)(d b)(d c)；2.2(x 3 +y 3)3.x =-2,0,1；5 F I (a +kk=0 k=0 k7.(-l)n F I(Z)-a)；k kk=l9.l +Xx；kk=l4.Fl(x-a)kk=6.-(2 +b)(l-b)-(n -2)-b);8.(x+。)H(x-a);k kk=l k=l1 0.+l；1 1.(1 -G)(l+Q 2+Q 4).四,证明题(略)8第二章 矩阵一、单项选择题1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)侔卜词2 (b)A2-B 2=(A-S)(A+B)(c)(A-B)A=A2-AB(d)(AB)r=ArB r2 .设方阵A、B、C满足AB=AC,当A 满足()时，B=C。(a)AB =B A(b)(c)方程组 AX=O 有非零解(d)B、C 可逆3 .若力为n 阶方阵，上为非零常数，则 阳=()。(a)kA(b)忖网4.设力为n 阶方阵，且=则(a)/中两行(列)对应元素成比例(c)/中至少有一行元素全为零(c)左 国 (d)k aA I)o(b)N中任意一行为其它行的线性组合(d)力中必有一行为其它行的线性组合5.设4，B 为n 阶可逆矩阵，下面各式恒正确的是()0(a)|(n +B)-i|=P l-i|+|B-I|(b)|(|=卜胆|(c)|(-I+B)T|=P-I|+|B|(d)(/+B)T=/T+3T6.设/为 n 阶方阵，力为力的伴随矩阵,则()。(a)(a)A=4-1 1(b)|4|=惘(c)|4|=因3(d)卜斗1 卜 17.设 N 为 3 阶 方 阵，行 列 式 闻=1 ,N,为 力 的 伴 随 矩 阵，则行列式|(2 4卜 一 词=()。(a)-2 7(b)-8(c)2 7(d)8T 2 7 T 2 78.设力，B为n阶方矩阵，/2=&,则下列各式成立的是()。(a)A=B(b)A =-B(c)AB (d)徘=时9.设4,B均为n阶方矩阵，则 必 有()。(a)3+=国+历|(b)AB =B A(c)AB =B A(d)=网10.设力为阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是()o(a)%|=2 体|(b)(2 4)-i =2 41(c)(4-1)-1/=(4T)7-1(d)(AT)T-=(A-y)rr(a)Ar=A(b)A-=A(1 0(c)4|0 0 0 1)f11 =20 乂31 3 0 21 ”f 1 o o)p 1(d)0 0 1 A =2 00 1 0 )3 1 7 3、21713.设 为 同 阶 方 阵，/为单位矩阵，若力B C=/,则()。(a)ACB =I(b)CAB =I(c)CB A=1(d)B AC=114.设“为阶方阵，且|力快0,则()。10(a)4 经列初等变换可变为单位阵/(b)由 AX =84,可得 X =B(c)当(如/)经有限次初等变换变为(/|B)时，有 4 i=B(d)以上(a)、(b)、(c)都不对1 5.设A 为mx”阶矩阵，秩(A)=rm 秩(B)(b)秩(/)=秩(B)(c)秩(/)秩(B)(d)秩(4)与秩(B)的关系依。而定1 7 .4,B为 n 阶非零矩阵，且A B =0,则秩(A)和秩(B)()。(a)有一个等于零(b)都为n (c)都小于n (d)一个小于n,一个等于n1 8.n 阶方阵A可逆的充分必要条件是()o(a)r(A)r/3T 2)5.设4 为5 阶方阵，/*是其伴随矩阵，且回=3,则卜*|=6.设4 阶方阵力的秩为2,则其伴随矩阵/*的秩为7.非零矩阵的秩为.8.设4 为 100阶矩阵，且对任何100维非零列向量X,均有N XHO,则力的秩为_9.若力=(助)为15阶矩阵，则4的第4 行第8 列的元素是4.若方阵/与 4/相似，则 A=(1 2 K、11.K+_iI-12.lim2030三 计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).122oO1oOO1O/1_2173 1 1 0 13)=1,其中 8 =4 0 4；c=2 1 24 2 2k )1 2 1IC 0 1 4)/X=42 +X 1,其中力=|0 2 0110 1；5)W+2 X,其中:；I-1 2 32 .设/为阶对称阵,且42 =0,求 力.(-1 0、3 .已知力|0 2 1 ，求(力+2。(/2 -4/)-1.I 1 0 -172、3 4、0 0(2 1 J A 力),4=|/=|I，/=1 I，求 I 1 2 I32 1 2 3 J 3 1 0 0 J121 4 5 r A-2 4，求一秩为2的方阵3,使 N B =0.n4.设/=|1 10(15 .设4=2(36.设力=1 11，求非奇异矩阵C,使 N=J 1 0)M 1 0 J7.求非奇异矩阵P,使 P-S P 为对角阵.1)、(2 1A =1U 2、1 12)/=-1-3、一 2 0 2)18.已知三阶方阵 力 的 三 个 特 征 根 为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1加(1,1,0),(一2,1,1),求矩阵 A.15-3 2、9.设力6-4 4，求不00.、4-4 5,四、证明题1.设N、B均为阶非奇异阵求证可逆.2.设/上=0（左为整数），求证/-力可逆.3.设”,为 实 数，且 如 果 中0，如 果 方 阵“满 足1 2 k kA+a力*-i+a A.+a 1=0,求证4是非奇异阵.1点一1 k4.设 阶方阵/与B中有一个是非奇异的,求证矩阵A B相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.6.证明两个矩阵和的秩小于这两个矩阵秩的和.7.证明两个矩阵乘积的秩不大于这两个矩阵的秩中较小者.8.证明可逆矩阵的伴随矩阵也可逆，且伴随矩阵的逆等于该矩阵的逆矩阵的伴随矩阵.9.证明不可逆矩阵的伴履矩阵的逆不大于1.10.证明每一个方阵均可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和。14第二章参考答案一:1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；1 0.d；1 1.b；1 2.c；1 3.b：1 4.a：1 5.a；1 6.b：1 7.c：1 8.b；1 9.d.o-4:4.5.816.工7.00:9.&o2.IS不唯一；6.|0、7AiI7oO11ooo1o4-65-43 卜4）、2oO103203 i o o -1 )3 28.-1 0-1 -10 ；9.13 i o o +2(2 w o -1)2(2 w o +3 i o o)-42(3 i o o -1)2 2 的 30。4-2 i o o -2(3 i o o)2(1-3 i o o)2(3 i o o-1)2(3 i o o)-1第三章 向量一、单项选择题1 .a,a,a ,p ,p都是四维列向量，且四阶行列式I 2 3 1 2 a a p|=n?,|a p a a|=n,则行列式1 2 3 1 1 2 3 2l a a a P +P 1=()1 2 3 1 2(a)m-n(b)m-n(c)-m +n(d)-m-n2.设A为n阶方阵，且=0,则()o(a)4中两行(列)对应元素成比例(b)4中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合3.设4为阶方阵，r(A)=r，则在/的个行向量中()。(a)必有r个行向量线性无关(b)任意r个行向量线性无关(c)任意r个行向量都构成极大线性无关组(d)任意一个行向量都能被其它r个行向量线性表示4.n阶方阵人可逆的充分必要条件是()(a)r(A)=rn16(勿 A 的列秩为n(c)/的每一个行向量都是非零向量(d)/的伴随矩阵存在5.n 维向量组a,a,a线性无关的充分条件是()1 2 s(a)a,a,.,a 都不是零向量1 2 s(b)a,a,.,a 中任一向量均不能由其它向量线性表示1 2 5(c)a,a,a 中任意两个向量都不成比例1 2 s(d)a,a,a 中有一个部分组线性无关1 2 56.维向量组a。，,a(sN 2)线 性 相 关 的 充 要 条 件 是()1 2 s(a)a,a,.,a 中至少有一个零向量1 2 5(b)a,a,a 中至少有两个向量成比例1 2 s(c)a,a,a 中任意两个向量不成比例1 2 s(d)a,a,.,a 中至少有一向量可由其它向量线性表示1 2 s7.维向量组a,a,a(3 4s,a=(!,-2,2,0%,a=(2,1,5,1 0 ,则该3 4 5向量组的极大线性无关组为()(a)a,a ,a (Z?)a,a ,a1 2 3 1 2 4(c)a,a ,a (d)a,a ,a ,a1 2 5 1 2 4 51 5 .设a=(a,a,Q)/，B =(b,b,b)r 9 a =(a,a)T9 P =(Z?,b)r,1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 1 2下列正确的是()(a)若a,P线性相关，则a,。也线性相关；1 1(b)若a,B线性无关，则a ,B也线性无关;11(c)若a ,P线性相关，则a,P也线性相关；1 1(d)以上都不对二 填空题1,若a=(1,1,1)7,a =(1,2,3)7,a=(1,3,t)T 线性相关，则1=_1232.向量一定线性_ 关。3.向量a线性无关的充要条件是_。4.若a ,a,a线性相关，则a ,a,a(s3)线性_关。1 2 3 1 2 s5.n维单位向量组一定线性_。6.设向量组a ,a,.,a的秩为r,则a ,a,.,a中任意r个_的向1 2 s 1 2 s量都是它的极大线性无关组。7.设向量a =(1,0,1)?与a =(1,1,a 正交，贝！|a=_。128.正交向量组一定线性_。9.若向量组a ,a,a与B,等价，则a ,a,a的秩与I 2 s I 2 t I 2 sp,p,的秩_。1 2 t10.若向量组a ,a,a可由向量组p，P,P线性表示，则1 2 s 1 2 tr(a,a,.,a)r(p,p,.,P)。1 2 s 1 2 t11.向量组a=(a,1,0,0%,a=(a,1,1,0 ,a=(a,1,1,l 的II2 2 3 3线性关系是。12.设 n 阶:A =Q ,a，,a )a =a +a，则囿=_.1 2 n 1 2 3 1 1201 3 .设a=(),y,a=(x,0,0,若a和。是标准正交向量，则x1 y/2 2和y的值_.1 4.两向量线性相关的充要条件是_.三、计算题1.设a =(1 +X,1,l)r,a =(1,1 +X,I)?,a =(1,1,1 +X)r,123(3=(0,入，九2)T,问(1)人为何值时，0能由a ,a,a唯一地线性表示？(2)九为何值时,0能由a,a ,a线性表示，但表达式不唯一?1 2 3(3)入为何值时,B不能由a ,a ,a线性表示?I 2 32.设a =(1,0,2,3)/，a =(1,1,3,5)7，a =(1,1,a+2,l)r,I 2 3a =(1,2,4,Q+8)T,P=(l,1,+3,5),问：4(1)a涉为何值时，P不能表示为a ,a ,a ,a的线性组合？12 3 4(2)a/为何值时，p能唯一地表示为a ,a ,a ,a的线性组合？12 3 43.求向量组a =(1,-1,0,4)r,a =(2,1,5,6)r,a =(1,2,5,2)r,12 3a =(1,-1,-2,0)r,a =(3,0,7,1 4)r 的一个极大线性无关组，4 5并将其余向量用该极大无关组线性表示。4.设aLLD r，a,=/21 4.对应分量成比例三、解答题1.解：设 P=xa+x a +x aI I 2 2 3 3(1 +X)x +x+x =0则对应方程组为|x +(1+%)/+/=入1 2 3X +x 4-(1+A,)X =九2 I 2 31 +X 1 1其 系 数 行 列 式 国=1 l+x 1 =屹(九+3)1 1 1 +x(1)当入=O,A,H 3时，内中0,方程组有唯一解，所以。可由a,a a唯一地线性表示;1 1 1 0、1 1 1 0、(2)当九=0时，方程组的增广阵N =111()-0 0 0 01110、0 0 0 0/r(A)=r(A)=l 3,方程组有无穷多解，所以。可由a ,a a线性表示,I 2,3但表示式不唯一；(3)当入=-3时，方程组的增广阵-2 1 10、1 -21-3A=1-2 11 1 -2V t-03二 1ar(A)r(A),方程组无解,所以P 不能由a,a1工线性表示。2.解似a,a ,a,a 帮 为列构造矩阵12 3 4(1(1 1 1 1 1 )C 0 10 1 1 2 12 3a+2 4 b+3 0、3 5 1 a+8 5)o 011101 12 11 24(1)当。=1且/耐，B不能表示为a,a,a,a 的线性组合;12 3 4(2)当aw 1力任意时,B能唯一地表示为a,a,a,a 的线性组合。12 3 4r 1 2 1 1 3 i n o-1-1 1 2-1 0 0 1 1211OO3.解：(a,a.a,a,a)=12 3 4 51 0145 5-2 7 0 0 0 1 -16 2 0 14j O O 0 0 0 j24a ,a,a 为一个极大无关组，且a=-a+a+0a,a=2a+a-a1 2 4 3 1 2 4 5 1 2 44.解：|a,a,a1 1 2 311=111 12 3=f-5,3 t当/=5 时&。线性相关，当/工5 时&。1 2 3 15.解：先正交化:令p=a1P0%4255,a 线性无关。2 3V21a，P a ,p (11 1 2 21 1 V_,-I6 6；再单位化:Y ,Y J为标准正交向量组。1 2 3四、证明题1 .证:V 3(p +p )-4(2 p -P )=01 2 1 3，-5 p+3p +4p =01 2 3 线性相关1 2 32.证：设左(a +a )+%(a +a )+k(a +a )=01 1 2 2 2 3 n n 1则%+Z )a +(k+k)a+(%+左)a =01 n 1 1 2 2 zj-1 n nV a ,a ,a线性无关1 2 n k+k=0+k=0k+k=n-1 n01 0 0 0 1110 .0 00t八 U其系数行列式11 .0=l +(T)e0 0 00 0 0.当n为奇数时，k,k,-I 2当n为偶数时，攵，左,1 21 01 1k只能为零，a ,a ,n，人可以不全为零，O力可双飞0,为偶数,a线性无关；n,a ,a线性相关。1 2 3.证：.a,a ,a邛 线性相关1 2 s,存在不全为零的数%,k,k，攵 使得1 2 sk a +ka+.+ka+用=01 1 2 2 5 s若 k=0,则+Za+.+k(x=0,1 k,k,1 1 2 2 s s 1 2,k不全为零）与a,a ,.,a线性无关矛盾1 2 s所以Z w Ou c k k k于是 p =-a -a -.一、a k/Ak k 2 k s：.p能由a,a ,a线性表示。I 2 s设 B=A a+k a+.+k a I I 2 2 s sP=/a +/a +.+/a 1 1 2 2 s s则-得(k 一 /)a +(%-I)a +k-I)a1 1 1 2 2 2 s s .V a,a ,.,a线性无关I 2 3&-/=0,(i=l,2,，s)i i26%=/,(i =1,2,.：s)即表示法唯一4.证：假设a 能由a,a ,a 线性表示4 1 2 3V a ,a ,a 线性无关，,a 线性无关2 3 4 2 3V a ,a ,a 线性相关，；.a 可由a ,a 线性表示，1 2 3 1 2 3 e.a 能由a ,a 线性表示，从而a ,a ,a 线性相关，矛盾4 2 3 2 3 4；.a不能由a ,a ,a 线性表示。4 1 2 35 .证：必要性设向量组a ,a ,.。线性相关1 2 5则存在不全为零的数4 次，使得女a+女a +k a=01 2 s 1 1 2 2k k k不妨设k w O，则a =-丁i _ a _ _ La-.-.a as s k k 2 k$即至少有一个向量是其余向量的线性组合。充分性设向量组a ,a ,a中至少有一个向量是其余向量的线性组合1 2 s不妨设a =ka+k a+.+k as 1 1 2 2 f-1 s-1则Z a +k a +.+k a -a =0,1 1 2 2 5-1 5-1 s所以a ,a ,a线性相关。1 2 s6.证：用数学归纳法当 S=1 时，a/0,线性无关,1当 s=2 时，V a不能由a 线性表示，a ,a 线性无关,2 1 1 2设 5 4 1 时，a ,a ,.,a线性无关1 2 f-1则 s=i时，假设a,a,。线性相关，a,a,a 线性无关，a 可1 2/1 2/-1 i由a,a ,a 线性表示，矛盾，所以a,a,。线性无关。得证1 2 Z-1 T 2 i7.证：若向量组a,a,a 中有一部分组线性相关，不妨设a,a,a(rs)12s 1 2 r线性相关，则存在不全为零的数左,左,，左，使得1 2 rka +k a+.+k a=01 1 2 2 r r于是k a+%a+.+%a+0a+,+Oct=01 1 2 2 r r r+1 s因为MZ,k,0,0 不全为零1 2 r所以a,a,a 线性相关。1 2 s8.证：设k a+Z(a+a)+Z(a+a)+Z(a+a)=00 0 1 0 1 2 0 2 s 0s贝 ij优 +k+k+Z)a+ka+k a+%a=00 1 2 s Q 1 1 2 2 s s因a,a,a，,a 线性无关，0 1 2 sk+k+k+女=01 2 sJ 0=0所以j 4=0 解 得 0 =勺=t =A =0k=0s所以向量组a,a+a,a+a,a+a 线性无关。0 0 1 0 2 0 s28第四章线性方程组一、单项选择题1 .设元齐次线性方程组/X=0的系数矩阵的秩为r,则4 X=0有非零解的充分必要条件是()(A)r=n(B)rn(D)r n2.设力是勿x 矩阵，则线性方程组为X=。有无穷解的充要条件是()(A)44)m(B)r(A)n(C)r(Ab)=/)m(D)r(Ab)=/1/)n3.设力是勿x 矩阵，非齐次线性方程组力的导出组为力X=0,若勿则()(A)公=必有无穷多解(B)必有唯一解(C)/X=0必有非零解(D)4=0 必有唯一解2 x -x=4I 2 34.方程组女劣；头无解的充分条件是九=()=九 3)(3(A)1 (B)2(C)3 (D)4x +x=九 一 1k 2 25.方程组1 彳一一 有唯一解的充分条件是:()%二人一4(入-l)x =-(X -3)(入-1)i3(A)1 (B)2(C)3 (D)4x+2x -乂=九一16.方程组.3XA-x =A-2、6有无穷解的充分条件是九=()A x 一 *=入一3 入-4)+(九 一 2)(3)(I 2 3(A)1 (B)2(C)3 (D)47.已知P,B 是非齐次线性方程组/X=的两个不同的解，a,a是导出组1 21 2NX=O的基本解系，归次为任意常数，则 NX=。的通解是()I 2(A)左 a +左(a +a )+国1 1 2 1 2 2O 4-B(B)(a +9(a -a )+三1 1 2 1 2 2(C)-a +二 0 +B)+匕一牝(D)1 1 2 1 2 2设/为勿X 矩阵，则下列结论正确的是()心 a +心(0-P )+1+/1 1 2 1 2 2(A)若力X=0 仅有零解，则/X=)有唯一解(B)若力X=0有非零解，则/X=有无穷多解(C)若力X=有无穷多解，则力X=0仅有零解(D)若NX=。有无穷多解，则 4 X=0有非零解9.设/为力x 矩阵，齐次线性方程组4 X=0 仅有零解的充要条件为()(A)力的列向量线性无关(C)N的行向量线性无关I 不 +X9+X r 11 0.线性方程组 X 2A-+3 =0 +xI 2 34v+lx+1 O x =1I 2 3(B)”的列向量线性相关(D)力的行向量线性相关()(A)无解(B)有唯一解有零解(C)有无穷多解(D)其导出组只二、填空题1 .设力为1 00阶矩阵，且对任意1 00维的非零列向量X ,均有NXw O,则/的秩为.kx+2x +x =01 2 32.线性方程组 2、+合=0仅有零解的充分必要条件是.x x +x =0l 1 2 3303.设 X,X,X 和 c X+c X+c X 均为非齐次线性方程组AX=b 的解1 2 s 1 1 2 2 s s(c,c,C 为常数)，则 C +C+C=.12s 1 2 s4.若线性方程组/X=b 的导出组与BX=O(r(B)=r)有相同的基础解系，则)=.5.若线性方程组A X=b的系数矩阵的秩为m,则其增广矩阵的秩为.m x n6.设10 x15矩阵的秩为8,则C=0的解向量组的 秩 为.7 .如果阶方阵/的各行元素之和均为0,且r=n-l,则线性方程组/X=0的通解为.8.若n 元齐次线性方程组回=()有 个线性无关的解向量，则4=.9 .设4=9 5=若齐次线性方程组4X=0只有零解，11 -2 L I 11I)I)1 x j贝a =.10.设/=以?/z l b Ul x *),若线性方程组A X=b无解，则La 2 图-I)I)Q =.11.阶方阵/,对于/X=0,若每个维向量都是解，则r(A)=.12.设5x4矩阵4 的秩为3,a,a ,a 是非齐次线性方程组4X=b 的三个不同的1 2 3解向量,若a+a+2a=(2,0,0,0)r,3a+a=(2,4,6,8)7，则 AX=b 的通解I 2 3 I 2为 一.13.设/为 m xn矩阵，r(A)=rmin(m,n),则AX=O有 个解，有 个线性无关的解.三、计算题1.已 知a,a,a是 齐 次 线 性 方 程 组4 x=0的 一 个 基 础 解 系，问1 2 3a +a ,a +a ,a +a是否是该方程组的一个基础解系？为什么？1 2 2 3 3 12.设/=4 3 3 -112 2 62 11-31 1 1 1-1 -2 0 1 0-5-6 001B=1 -2 1 0 0,已知B的行向量都是线_ 1 -2 3 -2 0_5031性方程组4 X=0的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？3 .设四元齐次线性方程组为（I）：X-屋=0k 2 41）求（I）的一个基础解系2）如果左（0,1,1,0）r+左（-1,2,2,1），是某齐次线性方程组（II）的通解，问方程组1 2（I）和（I I）是否有非零的公共解？若有，求出其全部非零公共解；若无，说明理由。4.问a,b为何值时，下列方程组无解？有唯一解？有无穷解？在有解时求出全部解1)（用基础解系表示全部解）。X +公+X =1 2 35 ax 4-x 4-x =1I1 1 2 3x+x +公*=21 2 32)x +bx=A1 2 3 X +加+X =忱r 1 2 3I x x +2x =41 2 3求一个非齐次线性方程组，使它的全部解为|为|q|-|+i-|l f|卜 卜/为任忠实数）I*（3 J 1 2J2 _ 9 1 3 1设/=I ，求4x 2 一个矩阵B，使得A B =0，9-5 2 8J且B)=2 o32参考答案一、单项选择题1.B 2.D 3.0 4.B 5.A 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C二、填空题1.1 00 2.k h -2且k w 3 3.1 4.r 5.m 6.77.,1)r(k为任意实数)8.0 9.a w 1 或3 10.a=1 11.012.(I。,。,。)r +k(0,2,3,4)T,k任意实数 13.无穷，n-r2三、计算题1.是 2.不 能3.1)i/=(0,0,1,0)3 =(1,1,0,1)2)(其中k为任意非零常数)121 +c z 1 (1+a)24.1)当a=-2时，无解；当a w-2且QW1时有唯一解：(-_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2+a 2+a 2+a当a=1时有无穷多解：C(-1,1,0)T+C(-1,0,1)7+(1,0,0)T(其中。，。为任意常数)1 2 1 22)当b =-1时，无 解；b(b+2)从 +25+4 2b,)T;b+1 b+1 h +1当bw-1且b*4时 有 唯 一当 b =4 时 有 无 穷 多 解：解：4-3,-1,1)r+(0,4,0)T(其中，为任意常数)5.9 x+5x 3x=51 2 31OOO(1116.设力=0OO101201O20O(d)10102OoO102O1oOZH_oO211O17.下列说法不妥的是()(a)因为特征向量是非零向量，所以它所对应的特征向量非零(b)属于一个特征值的向量也许只有一个(c)一个特征向量只能属于一个特征值(d)特征值为零的矩阵未必是零矩阵18.若 力 B,则下列结论错误的是()(a)入E-A =XE-B(b)4=B(c)存在可逆矩阵P,使P-SP=B(d)trA=trB二、填空题1.n 阶零矩阵的全部特征值为 o362.设4为n阶方阵，且4 =/，则4的 全 部 特 征 值 为。3 .设A为n阶方阵，且A m=O(m是自然数)，则4的 特 征 值 为。4.若4 =4,则/的 全 部 特 征 值 为。5.若方阵力与4/相似，则4=。6 .若n阶矩阵4有n个相应于特征值大的线性无关的特征向量，则4=。7 .设三阶矩阵4的特征值分别为-1,0,2,则行列式依+A+/|=。8.设二阶矩阵4满足42 3 A +2E =O,则A的特征值为。9.特征值全为1的正交阵必是 阵。1 1 1 I。.若四阶矩阵4与B相似，力的特征值为一 I,I,，则B rE=。乙 c、2 3 4 5 1 1-什 22 3 1、(1 2、皿1 1.右/=|,.|=B,则、=y=oy x I I 3 4 1_三、计算题 1.若”阶方阵A的每一行元素之和都等于a，试求A的一个特征值及该特征值对应的一个特征向量.2.求非奇异矩阵P,使P-M P为对角阵.3 .已知三阶方阵A的 三 个 特 征 根 为1,1,2,其相应的特征向量依次为(0,0,1)T,(-1,1,0)”-21 1)7,求矩阵 A.(2-1 2),1)4.设4=5 a 3 ,有一个特征向量a1 求a,b的值，并求出对应 1 b 2于a的特征值。5.设/=3 有一个特征向量a，,求3/的值。3 O1oX/1-1设6.n夕有三个线性无关的特征向量，求 满 足 的 条 件。1 o o/(a b7 .求正交阵P,使PT/P为对角阵，其中力=|a)8.设三阶矩阵力的特征值为T,2,5,矩阵8=3/-4 2,求(1)B的特征值；(2)B可否对角化，若可对角化求出与B相似的对角阵；(3)求|耳,陷-3 4.(2)9.已知矩阵力=2 4-2与8=2 相似，、一3 -3 5 J 1 y)(1)求j ；(2)求一个满足PT/P=B的可逆阵P。-3-4-42、4,求/w o.57四、证明题11 .设力是非奇异阵，儿是4的任一特征根，求证一是/T的一个特征根，并 且“1关于大的特征向量也是4 1关于一的特征向量.2.设/2=已 求 证4的特征根只能是土1.383 .设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵A B相似于B A.4 .证明：相似矩阵具有相同的特征值.5 .设n B徙 阵/WE,如果r(4 +E)+r(4 E)=，证明：T 是A的特征值。6 .设4 B,证明4 Bk。7 .设a,a是n阶矩阵4分别属于九，九的特征向量，且九/九，证明a+a不1 2 1 2 12 12是A的处征向量。第五章 参考答案一、单项选择题l.a 2.c 3.c 4.d 5.b 6.b 7.b 8.d 9.b l O.c U.b 1 2.a 1 3.a1 4.c 1 5.b 1 6.b 1 7.a 1 8.a二、填空题1.0 2.1,-1 3.0 4.0,1 5.41 6.X I 7.7 8.1,2 9.单位 1 0.241 1.-1 7,-1 2三、计算题4.Q=3,b=0,X=15.s=9,t =2,X=66.x+y =08.(1)-4,2,-10(2)2,(3)8、-ioj-1 1 1 、9.(1)y=6,(2)特征值 2,2,6；p=1 0-2、0 1 3,3ioo+2(20 1)2 2ioo3ioo 3wo-1 10.2(2ioo+3ioo)4 4 2ioo 2-3ioo 2(3ioo-1)、2(3ioo-1)2(1-3ioo)2-3ioo-1四.证明题(略)40第 六 章 二 次 型一、单项选择题阶对称矩阵N正定的充分必要条件是()()卜|0(份存在阶阵C,使4 =负惯性指数为零(4各阶顺序主子式为正设/为 n 阶方阵，则下列结论正确的是()。(a)A 必与一对角阵合同(b)若A 的所有顺序主子式为正，则 A 正定(c)若 A 与正定阵B 合同，则 A 正定(d)若 A 与一对角阵相似，则 A 必与一对角阵合同设 A 为正定矩阵，则下列结论不正确的是()。(a)A 可逆(份 A-正定(c)A 的所有元素为正(4 任给X=(,x,x)y 0,均有X k 01 2 方阵A正定的充要条件是()。(a)A 的各阶顺序主子式为正；(份/t是.正定阵；(0 A 的所有特征值均大于零；0 A A r是正定阵。5.下列/(*,/,1)为二次型的是()o(a)a品+如2+a2 (4)ax+勿2+气(，)axy+I哄+以 +小火(0 索 +bxy+，苍 C6.设A、B为n阶方阵，X=(x,x,乂)丁且X/X =X/B X则A=B的充要I 2 条件是()o()r(4)=r(B)()A r=A(c)BT=B(d)AT-A.,Br=B,7.正定二次型/(x,x,x,x)的矩阵为A,则()必 成 立.1 2 3 4(a)A的所有顺序主子式为非负数(b)A的所有特征值为非负数 A 的所有顺序主子式大于零(小A 的所有特征值互不相同8.设A,B为n阶矩阵，若(),则A与B合同.m).存在n阶可逆矩阵P,Q且 哪 =B(b)存在n阶可逆矩阵P ,且P-i N P=B(c)存在n阶正交矩阵均，且=B(d)存在n阶方阵C,T ,且C 4 T =B9 .下列矩阵中，不悬二次型矩阵的为(0 0 0().0 0 0 0 0-1/)(3 0 -2、0 4 6 -2 6 57 1 0 0、(份 0 -1 0 0 0 2/1 2 3、(4 4 5 6 7 8 9710.下列矩阵中是正定矩阵的为()42O3_502-36J出S4 J11.已知A是一个三阶实对称且正定的矩阵，那么A的特征值可能是()()3,i,1;()2,-1,3;(r)2,i,4;(d)1,3,4二、填空题1.二次型 f(x,x,X,)=XX+2*x+；3.用配方法化二次型/(XBB)=X X+xx为标准形，并写出相应的满秩线性I 2 3|2 I 3变换4.求非奇异矩阵P,使P-SP为对角阵.A=(2 n AJ-1-3 彳)J四、证明题1.已知二次型/(B B=在正交变换乂=0下的标准形为J/2+)2,1 2 3r 2且 的第3列 为 昌0,昌.(1)求矩阵人；(I I)证明/+E为正定矩阵，其中E为3阶单位矩阵.2.设A、B为同阶正定矩阵，入，p0,求证人/+|1 B也是正定矩阵。3.设A,B是同阶正定矩阵，试 证A+B也是正定矩阵。44第六章参考答案一、单项选择题1.2.(c)3.(c)4.(。)5.()6.(d)7.(c)8.(c)9.(d)1 0.(c)1 1.(d)3.noo25 oQ 力49.1OX=,-2y-2/)X3yX=32)2.roi03.)=J 1+J 投 3X2X-、31001=)1乙+包=Ji 3o)0 ,1,x =JI 11 0 0、解：令%即 x=J 4 (j)Y=O Y/(x,x,x)=y+力1 2 3 1 1 2 I 3则：=(7 +U+9)2一 0+j )212 2 2 3 4 2 3VJ+7+i 3 fl-4 f令 卯=7+7 即y=|0 i -i iir=C 2 ir1 2 2 3*0 0 1 1I”=4 I)即 X =C C IF 使/(*,x,*)=2必 解1 2 1 2 3 1 4 2四、证明题1.解：由 题 意A的 特 征 值 为l,O.Jl(，O，j为特征值0的特征血量所 以1的特征向量若为(x,X ,X)7时 有I 2 3&X +巫 x=()22 3解方程即得Q的前2列为(0。)丁，|(V-凡叫46。方!-171 1-Av1-2oo16IL 1-2-4 o-2/1 Ilc r,-J M7oooo161ooI l-第二部分历年期末试题ft西财经大学20062007学年第二学期期末2007级线性代数课程试卷（A）1、本卷考试形式为闭卷，考试时间为两小时。题号二三四五总分分数评卷人复核人2、考生不得将装订成册的试卷拆散，不得将试卷或答题卡带出考场。3、考生只允许在密封线以外答题，答在密封线以内的将不予评分。4、考生答题时一律使用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔（制图、制表等除外）。5、考生禁止携带手机、耳麦等通讯器材。否则，视为为作弊。6、丕可以使用普通计算器等计算工具。一、单 项 选 择 题(共5小题，每 题2分，共 计1 0分)二、填 空 题(共1 0小题，每 题2分，共 计2 0分)三、计 算 题(一)(共4小题，每 题8分，共 计32分)四 计 算 题(二)(共3小题，每 题1 0分，共 计30分)五、证 明 题(共2小题，每题4分，共 计8分)本题得分一、单 项 选 择 题(共5小题，每 题2分，共 计1 0分)答题要求：(每题只有一个是符合题目要求的，请将所选项填在题后的括号内，错选、多选或未选均无分)1、设n阶方阵A与8等价，则必有(A)当|A|=a(a w O)时，冏=a(0 当|A|HO时，例=02、设A,8为同阶可逆矩阵，则(A)矩阵A与8等价(C)矩阵A与8合同3、向量组 I ：a ,a ,a ；1(A)当s时，(B)当 rs 时，(0当r s 时，()(B)当同=a(a 3 0)时，忸=a当“|=0 时，|B|=0()矩阵A与8相似矩阵A与B可交换P ,P ,线性表示，则()1 2 s(D)(B)(D)可由向量组I I：向量组n必线性相关向量组I必线性相关向量组I必线性相关向量组n必线性相关484、已知p和p是非奇次线性方程组力乂=。的两个不同的解，a,a是对应导出1 21 2组的基础解系，左，左为任意常数,1 2则方程组力乂=的通解（一般解）为（R(A)左 a +左(a +a)+:1 1 2 1 2 2(C)/a +4(a-a )+%+)：(B)k a+k(p+p)+Pi-P21 1 2fl5、若方阵C=1(D)上a +1 1心(P-P)+2 1 2(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,本题得分二 填空题（共1 0小题，每题2分,共计20答题要求：将正确答案填写在横线上分）11o220 12Z1 1 2222)011 ,则C的特征值为1)1、已知a,a为2维列向量，矩阵力=(2a+a,a-oc),B=(a,a ),若行列式1 2 12 12 1 2因=-6,则|B|=5 0 0、2、设3阶方阵力=0 1 _2，则力的逆矩阵、。1 I(2 13、设1 21 00、0,矩阵B满足/B/*=2B4*+E,其中力*为N的伴随矩阵，E1,为三阶单位矩阵，则B的行列式网=c n ，、,贝!J r(BA)=J 0 3,4、设”是3x5阶矩阵，力的秩N)=2,而5、已知四阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,4,其对应的余子式依次为4,503,2,1,则该行列式的值为6、设三阶矩阵1 ；，三维列向量a/）已知/a 与a 线性相关，则Io/La-o7、设四阶矩阵力相似于B,4 的特征值为2,3,4,5,E 为四阶单位矩阵，则行列式忸一同=。8、如 果 10阶方阵人的各行元素之和均为0,且,（4）=9,则线性方程组/x=0 的通解为。9、若方阵Z 与对角阵相似，且 4v=0,（m为自然数），则力=。1 0、若二次 型 人-丫，乂）=2 +卓+黎+2乂乂+Z v x 正定，则/的 所 属 区 间1 2 3 1 2 3 1 2 2 3为o本题得分三、计 算 题（一）（共 4 小题，每 题 8 分，共 计 3 2 分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）1 -1 1 X-11 1 1 11、解方程=01 X-1 1 -1x+1 -1 1 -1502、求向量组a,a ,a,a ,a 的一个极大无关组，并用该极大无关组表示其余的向1 2 3 4 5量。其中a=(1,4,0,2)T,a=(-2,-7,1-4)r,a=(1,4,-1,3)r1 2 3a=(-4,-4,3,1)T,a=(2,5,1,0)入4 53、设力=，求/的秩。4、求矩阵X,it X A =2X B +C o其中力4 9、5 7 ,3 WT 1 4)B=2 3 2、1 0 b/c=本题得分四、计 算 题（二）（共3小题，每 题10分，共30分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）写出它的一般表示方式；若不能，请说明理由。1、已知向量=-1,a=1)2,a=5、-5,a=,1、-3,判断向量B能否由向量组31-32123641113a,a,a线性表示，若能,1 2 3521 -8 12、设1 X=|受I ）W（1）计算二次型X r/4 X,写出该二次型所对应的矩阵；（2）将二次型Xr NX化为标准形，写出所用的可逆线性变换及变换矩阵。(1 -2 -4)(53、设/=2 x 2,B -4-21)(1)X,j的值如果N,B 相似，求（2）相应的正交矩阵P,使P-i/P=B。本题得分五、证明题（共 2小题，每 题 4分，共 计 8分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，并写清证明过程）1、设 力 为n阶方阵，E为n阶单位矩阵，且/2-2 4-4石=0。试证：力3 E可逆，并求，3E)-L2、若向量组a ,a ,a ,a线性无关，向量组a +a ,a +a ,a +a ,a +a是否线性相1 2 3 4 12233441关？说明其理由。20082009学年第二学期期末线性代数 课程试卷（A）本题得分一、单 项 选 择 题（共5小题，每 题2分，共 计1 0分）答题要求：（每 题 只 有 一 个 是 符 合 题 目 要 求 的，请将所 选 项 填 在 题 后 的 括 号 内，错 选、多 选 或 未 选 均 无 分）3 1 x1 .行 列 式4 x 0的 展 开 式 中，x 2的系数为1 0 x(A)-1 (B)2 (C)3 (D)4)2 .设4B为n阶 非 零 矩 阵，且/B =0,则)(A)/)+r(B)n(B)A-n,r(B)=054(C)不N)+r(B)n3.向 量组a,a 。线性无关的充要条件是()1 Z s(A)向量组a ,a,a 不含零向量1 2,(B)向量组a Q,a 中任意两个线性无关1 2 1(c)向量a不能由向量组a ,a,a 线性表出1 2 3如任一组不全为零.的数左，/，应，都使1 2 s应a+6 a+电a w O1 1 2 2 -4.已知四阶方阵力有特征值0,1,-2:3,则方程组%X =的基础解系所含解向量个数为.()(A)1(B)2(C)3(D)45.n阶对称阵力为正定矩阵的充分必要条件是()(A)A0(B)N等价于单位矩阵E(C)/的 特征值都大于0(D)存在n阶矩阵C,使力=0。本题得分二、填空题(共1 0小题，每题2分，共计2 0分)答题要求：将正确答案填写在横线上1.三阶行列式|的展开式中，a a a 前面的符号应是I y 32 11 232.设N=4 2 4为力中元的代数余子式，则1 3 4 3)力+A+A=。11 12 13-3 .设 n 阶 矩 阵”的秩,则/的 伴 随 矩 阵/*的 元 素 之 和y-z=1 y=14 .三阶初等矩阵E（1,2）的伴随矩阵为。5 .若非齐次线性方程组是。56/LX=8有唯一解，则其导 出 组NX=0解的情况33本题得分566-若向量组%=|他卢=|勺 线 性 相 关,则 向 量 组 吐2=（融2 I)2567 .设矩阵力的特征多项式为九五一力=0一1）2（九+2）,则行列式2A-+A*-3E=。8 .如果n阶方阵力的各行元素之和均为2,则矩阵/必有特征值569.设力=酎 b 2友（为正交矩阵，则其逆矩阵N-1=)=2绫 +M+M 4-2X X10.二次型了（、汶3的正惯性指数为5656三、计 算 题（一）（共4小题，每 题8分，共 计3 2分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文56字说明或计算步骤）1.计 算n阶行列式:D=n1000111000011000:0o-o0:01;i22.设N=I Uo 10 01 00 0)0 02 21 2)(1)用初等变换法求T；(2)将 N r 表示为初等矩阵之积。(33.设N=1*-103-1-n n0 I,B=03 1 1n10且满足力X 2 X=B,求X。4.化 二次型/（%1，与，、）=子+2当+2%2%为标准形，并写出可逆I Z.O I 0 I 0 .0的线性变换。本题得分四、计算题（二）（共3小题，每题1 0分，共3 0分）答题要求：（请将答案写在指定位置上，解题时应写出文字说明或计算步骤）1.当。为何值时，方程组583 x +2x +x +x 3 x =01 2 3 4 5x+2x+2x+6%=30010011-30）2263-111133-1a,1111、22630002200007方程组有无穷多组解，所以r（/）=r（4 4=2,故 =24 分64d a )-原方程组等价于方程组0-1-1-5-2、012263000000100000o J取*=x=x=0,得到特解 n=(-2,3,0,0,0)T3 4 5 7 令I线im i in 1HH H，分别代入等价方程组的齐次线性方程组中求得基础解系为匕=(1,-2,1,0,0)T,g=(1,-2,0,1,0)r,匕=(5,-6,0,0,1)/-1 2 3方程组的全部解为X=V 上自+转 其中左，缸上为任意常数1 1 2 2 3 3 1 2 3.1 0分2、解：初等行变换矩阵(a,a,a,p,p )到行最简梯矩阵为12 3 121OoOO1oOo