电子的自旋算符和自旋函数

7-2 电子的自旋算符和自旋函数 一 、 自 旋 算 符 及 其 性 质二 、 自 旋 算 符 的 矩 阵 表 示三 、 自 旋 波 函 数四 、 电 子 态 函 数 的 普 遍 形 式 7-2 电子的自旋算符和自旋函数 一、自旋算符及其性质 电 子 的 轨 道 角 动 量 和 自 旋 角 动 量 对 比 2x y zS S S 22 2 2 4x y zS S S 2 2 2 2 234x y zS S S S 自 旋 量 子 数 12s 自 旋 磁 量 子 数 12sm 为 使 运 算 更 加 简 单 方 便 ， 引 入 泡 利 算 符 2S 2x xS 2y yS 2z zS 即 性 质 ： 1 1 x y z 2 2 2 1x y z 2 2 2 2 3x y z 2 满 足 对 易 关 系 , 2 , 2 , 2x y x y y x zy z y z z y xz x z x x z yiii 或 2 i 3 满 足 反 对 易 关 系 , , 0 , , 0 , , 0 x y x y x y y xy z y z y z z yz x z x z x x z 证 明 ： 1 1 2 2x y y x x z x x z z x x z xi i 4 izyx 证 明 ： zxyyx i 2 0 xyyx zyx i ii zzyx 2 所 以二、自旋算符的矩阵表示 1 0 0 12 zS 1 0 0 1z 在 表 象 中 ， 有 2( , )zS S 2 21 2 x z x x z z x x z xi 2 1x 0 设 dc bax因 为 它 是 厄 米 算 符 ， 所 以 dc badb ca * * cb *因 此 db bax * 因 为 * *1 0 1 0 0 1 0 1z x x z a b a bb d b d 所 以 0 da 00*b bx 又 2 * *0 00 0 x b bb b 2 00 2a d 02 200b b 1 00 1 所 以 ， 取 。 12 b 1b 则 01 10 x 利 用 对 易 关 系 式 ， 得 2z x x z yi 1 0 0 1 0 1 1 01 0 1 1 0 1 0 0 12y i 0 0ii 泡 利 矩 阵 0 1 0 1 01 0 0 0 1 x y zii 相 应 的 自 旋 角 动 量 矩 阵 表 示 0 1 0 1 01 0 0 0 12 2 2x y ziS S Si 三、自旋波函数 本 征 值 为 zS 2zS 令 本 征 值 （ 通 常 称 为 自 旋 朝 上 ） 对 应 的 本 征 矢 为 2zS baSz )( 21则 )(2)( 2121 zzz SSS baba 210 012 bb 0b 0)(21 aSz 利 用 归 一 化 条 件 得 1 12 2 *( ) ( ) 0 0z z aS S a 取 。 则 1a 01)(21 zS也 可 记 为 0121 2a 1 10)(21 zS 或 1021 同 理 ， 本 征 值 （ 通 常 称 为 自 旋 朝 下 ） 对 应 的 本 征 矢 为 2zS 、 构 成 正 交 归 一 完 备 封 闭 系 ： )(21 zS 12 ( )zS 正 交 性 ： 1 1 1 12 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0z z z zS S S S 或 0 归 一 性 ： 1)()()()( 21212121 zzzz SSSS 或 1 封 闭 性 ： 1 完 备 性 ： 1 12 2( ) ( ) ( )z z zS a S b S 任 何 一 个 电 子 的 自 旋 波 函 数 都 可 表 示 为 )( zS1 00 1a b ab 如 果 已 归 一 化 ， 则 )( zS * *( ) ( )z z aS S a b b 2 2a b 1式 中 ， 在 态 中 测 得 的 概 率 ， 测 得 的 概 率 。 )( zS 2/zS 2b2/zS 2a 同 理 ， 、 的 本 征 矢 分 别 为 xS yS 12 11 1( ) 12 2x xS 12 11 1( ) 12 2x xS 12 11 1( ) 2 2y yS ii 12 11 1( ) 2 2y yS ii 例 1 若 电 子 自 旋 指 向 与 轴 成 角 状 态 ， 且 自 旋 在 平 面 上 ， 则泡 利 算 符 z xz sincos xz 求 其 本 征 值 和 本 征 函 数 。 解 ： 1 0 0 1cos sin0 1 1 0 设 它 的 本 征 方 程 为 所 以 baba cossin sincos 0cossin sincos 1 cos sinsin cos 当 时 ， 有 1 baba cossin sincos1 cos sin( / 2) sin cos( / 2)b a a sin( / 2)cos( / 2)a a cos( / 2)sin( / 2) 所 以 同 理 sin( / 2)cos( / 2) 归 一 化 * *sin( / 2) sin( / 2)cos( / 2) cos( / 2)aa a a cos 2a 22cos ( / 2)a 1 解 ： 12 0 1 1 ( ) 1 0 0 x zS 12 0 1 0 ( ) 1 0 1x zS 12 0 1 ( ) 0 0y z iS i 12 0 0 ( ) 0 1y z iS i )()( )()( )()( )()( 2121 2121 2121 2121 zzy zzy zzx zzx SiS SiS SS SS iiyyxx iiyyxx 即 或 或 例 2 求 、 对 的 作 用 。 x y )(21 zS 01 12 ( )zS10 12 ( )zS0i 12 ( )zi S0i 12 ( )zi S 四、电子态函数的普遍形式 写 电 子 的 态 函 数 时 ， 既 要 考 虑 其 坐 标 ， 又 要 考 虑 其 自 旋 。 在 表 象 中 ， 电 子 总 的 态 函 数 可 以 写 为 zS 1 2( , , ) , , , ,2 2zr S t r t r t 1 12 21 2( , ) ( ) ( , ) ( )z zr t S r t S 1 21 0( , ) ( , )0 1r t r t 12( , )( , )r tr t 若 已 归 一 化 ， 则 ( , , ) zr S t 1* *1 2 2,d d 2 21 2 d 1式 中 表 示 时 刻 自 旋 朝 上 的 电 子 在 处 出 现 的 概 率 密 度 ； 21 t r 表 示 时 刻 自 旋 朝 下 的 电 子 在 处 出 现 的 概 率 密 度 ； 22 t r 表 示 时 刻 自 旋 朝 上 的 电 子 在 全 空 间 出 现 的 概 率 ； d21 t 表 示 时 刻 自 旋 朝 下 的 电 子 在 全 空 间 出 现 的 概 率 。 22 d t 设 是 电 子 的 另 一 个 态 函 数 ， 则 ),( ),(),( 21 tr trtSr z 1* *1 2 2,d d * *1 1 2 2 d 注 意 ： 在 综 合 计 算 电 子 的 态 函 数 的 归 一 化 与 内 积 时 ， 分 别 对 其自 旋 空 间 部 分 进 行 矩 阵 运 算 ， 对 其 坐 标 空 间 部 分 运 用 积 分 运 算 ， 便能 得 到 完 整 结 果 。 2221 1211 GG GGG 若 为 自 旋 算 符 的 任 意 函 数 ， 写 成 矩 阵 形 式 为 G （ 1） 若 对 自 旋 球 平 均 则 它 在 态 中 的 平 均 值 （ 2） 若 对 坐 标 和 自 旋 同 时 求 平 均 11 12 1* *1 2 21 22 2, G GG G G G 11 12 1 * *1 2 21 22 2, G GG G d dG G 解 ： 211 211 1/2 210 1/22101 ( , , ) 1 32 ( , , ) ( ) ( , , ) ( )2 23 ( , , )2 z zr r S r Sr 显 然 ， 波 函 数 已 归 一 化 。 （ 1） zL 2( ) 1/ 2 1/ 4zW L 0zL 2( 0) 3 / 2 3/ 4zW L 4104341 zL 例 3 设 氢 原 子 状 态 是 2112101 ( , , )23 ( , , )2 r r 求 ： （ 1） 轨 道 角 动 量 z分 量 和 自 旋 角 动 量 z分 量 的 平 均 值 ；zL zSzzz SeLeM 2 （ 2） 总 磁 矩 的 z分 量 的 平 均 值 。 2/zS 2/zS 41243241 zS 2( / 2) 1/ 2 1/ 4zW S 2( / 2) 3 / 2 3/ 4zW L （ 2） 2z z ze eM L S 2 4 4e e 8e 作业7-1 7-3