第二十七章相似复习

相似图形相似图形位似图形位似图形相似多边形相似多边形相似三角形相似三角形对应角相等对应角相等对应边的比相等对应边的比相等周长比等于相似比周长比等于相似比面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方相似三角形的判定相似三角形的判定应应用用要点总结要点总结1.相似图形：相似图形：形状相同的图形。形状相同的图形。27.1 图形的相似图形的相似2.相似多边形的性质：相似多边形的性质：对应角相等，对应边的比相等。对应角相等，对应边的比相等。周长比等于相似比周长比等于相似比面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方相似多边形对应边的比。相似多边形对应边的比。3.相似比：相似比：1.相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法：1.通过定义通过定义2.2.平行三角形一边的直线和其他两边相交平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的或两边的延长线延长线),),所构成的三角形与原三角形相似所构成的三角形与原三角形相似.3.三边对应成比例三边对应成比例4.两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等5.两角对应相等两角对应相等6.两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）27.2 相似三角形相似三角形27.2.1 相似三角形的判定相似三角形的判定 对应角相等。对应角相等。对应边的比相等。对应边的比相等。对应高的比等于相似比。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。周长比等于相似比周长比等于相似比 面积比等于相似比的平方面积比等于相似比的平方2.相似三角形的性质：相似三角形的性质：相似的基本图形相似的基本图形ABCDE(1)DEBCABCDEDEBC(2)ABCDE(3)ABCD(4)BAD=CAB2=BDBCABCDACB=90，CDAB(5)ABCDE(6)D=C1.相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高测高 测量不能到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三常构造相似三角形求解。角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。（2）测距测距27.2.2 相似三角形应用举例相似三角形应用举例2.解相似三角形实际问题的一般步骤：解相似三角形实际问题的一般步骤：（1）审题。）审题。（2）构建图形。）构建图形。（3）利用相似解决问题。）利用相似解决问题。1.位似图形、位似中心、位似比：位似图形、位似中心、位似比：如果两个图形不仅形状相同如果两个图形不仅形状相同,而且每组而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么那么这样的两个图形叫做位似图形。这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比这时的相似比又称为位似比.27.3 位似位似2.位似图形的性质：位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。离之比等于位似比。以坐标原点为以坐标原点为位似中心位似中心的位似变换有以下性质：的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位），与原图形的位似比为似比为k，则像上的对应点的坐标为（，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（或（kx，ky）。画出基本图形。画出基本图形。选取位似中心。选取位似中心。根据条件确定对应点，并描出对应点。根据条件确定对应点，并描出对应点。顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。3.位似图形的画法：位似图形的画法：1.找一找找一找:(1)如图如图1,已知已知:DE BC,EF AB,则图中共有则图中共有_对三角形相对三角形相似似.(2)如图如图2,已知已知:ABC中中,ACB=900,CD AB于于D,DE BC于于E,则图中则图中共有共有_个三角形和个三角形和ABC相似相似.ABCDEF如图如图(1)3EABCD如图如图(2)4EFBGDCA3、如图，、如图，ABCD中，中，G是是BC延长线上一点，延长线上一点，AG交交BD于于E，与，与DC交于点交于点F，则图中相似三角形，则图中相似三角形共有共有_对。（全等除外）对。（全等除外）54.4.若如图所示，若如图所示，ABCADBABCADB，那么下列关系成立的是，那么下列关系成立的是 ()()A.ADB=ACBA.ADB=ACBB.ADB=ABCB.ADB=ABCC.CDB=CABC.CDB=CABD.ABD=BDC D.ABD=BDC 5.ABC5.ABC中，中，AC=6AC=6，BC=4BC=4，CA=9CA=9，ABCABCABCABC，ABCABC最短为最短为1212，则它的最长边的长度为，则它的最长边的长度为()()A.16 B.18 A.16 B.18 C.27 D.24 C.27 D.24 B BC C6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子成如图所示的样子,假设图形中的所有点假设图形中的所有点,线都在同一平面内线都在同一平面内,试写出一对相似三角形试写出一对相似三角形(不全等不全等).GABCDEF1ADE、BAE、CDA都相似都相似7.如图，正方形如图，正方形ABCD的边长为的边长为8，E是是AB的中点，点的中点，点M，N分别在分别在BC，CD上，上，且且CM=2，则当，则当CN=_时，时，CMN与与ADE相似。相似。EABCDMN1或或48.在平面直角坐标系，在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,点点P在在y轴的正半轴上运动，若轴的正半轴上运动，若以以O，B，P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似，则相似，则点点P的坐标是的坐标是_.yABCxOP（0，1.5）或（）或（0，2/3）E EA AB BC C.9 9、如图、如图,在在ABCABC中中,AB=5,AC=4,E,AB=5,AC=4,E是是ABAB上一点上一点,AE=2,AE=2,在在ACAC上取一点上取一点F,F,使以使以A A、E E、F F为顶点的三角形与为顶点的三角形与 ABCABC相似相似,那么那么AF=_AF=_F2F F1 11010、如图如图,在直角梯形中在直角梯形中,BAD=D=ACB=90,BAD=D=ACB=90。，CD=4,AB=9,CD=4,AB=9,则则 AC=_AC=_ D DA AB BC C6 1 10 0、如图（），、如图（），中，中，则，则:四边形四边形:四边形四边形=_=_答案：答案：1111、已知梯形、已知梯形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，对角线，对角线ACAC、BDBD交于点交于点O O，若，若AODAOD的面积为的面积为4cm4cm2 2,BOC,BOC的面积的面积为为9cm9cm2 2,则梯形则梯形ABCDABCD的面积为的面积为_cm_cm2 2ABCDO解解:AODCOB SAODCOB SAODAOD:S:SCOBCOB=4:9=4:9OD:OB=2:3OD:OB=2:3S SAODAOD:S:SAOBAOB=2:3=2:3S SAOBAOB=6cm=6cm2 2梯形的面积为梯形的面积为25cm25cm2 2ADBCADBC25ABCDEF12.如图：如图：DEBC，EF AB,AE：EC=2：3，S ABC=25，求，求S四边形四边形BDEF13.如如图图,ABC是等是等边边三角形三角形,点点D,E分分别别在在BC,AC上上,且且BD=CE,AD与与BE相交于点相交于点F.(1)图图中有全等三角形中有全等三角形吗吗?找出来并找出来并证证明明.(2)图中有相似三角形吗图中有相似三角形吗?找出来并证明找出来并证明.(3)BD2=ADDF吗吗?请说请说明理由明理由.1 14 4、如图、如图,已知点已知点P P是边长为是边长为4 4的正方形的正方形ABCDABCD内的一点，内的一点，且且PB=3PB=3，BFBP.BFBP.试问在射线试问在射线BFBF上是否存在一点上是否存在一点E E，使以点使以点B B、E E、C C为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABPABP相似相似?若存在若存在,请求出请求出BEBE的长的长;若不存在若不存在,请说明理由请说明理由.F FC CA AB BD DP PB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒1 15 5、在、在ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边边向向B B点以点以2cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C以以4cm/4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，经同时出发，经几秒钟几秒钟BPQBPQ与与BACBAC相似？相似？16、如图，在、如图，在ABC中，中，BAC=90，AB=6，BC=12,点点P从从A点出发向点出发向B以以1m/s的速度移动，点的速度移动，点Q从从B点出发向点出发向C点以点以2m/s的速度移动，如果的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B两地同时两地同时出发，几秒后出发，几秒后 PBQ与原三角形相似？与原三角形相似？ABCQP学以致用学以致用17、在正方形、在正方形ABCD中，中，E是是CD的中点，的中点，F是是BC上上一点，且一点，且BF CF=3 1，（1）求证：）求证：AEEF（2）求证）求证AEFADE18.如图，点如图，点D是是ABC的外接圆上弧的外接圆上弧BC的中点，且的中点，且AD9，DE4.求：求：BD的长的长.ABDCEA AB BC C画一画画一画1919、在方格纸中、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点每个小格的顶点叫做格点,以格点以格点为顶点的三角形叫做格点三角形为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图在如图4 44 4的格纸的格纸中中,ABC,ABC是一个格点三角形是一个格点三角形(1)(1)在右图中在右图中,请你画一个格点三角请你画一个格点三角形形,使它与使它与ABCABC相似相似(相似比不为相似比不为1)1)(2)(2)在右图中在右图中,请你再画一个格请你再画一个格点三角形点三角形,使它与使它与ABCABC相似相似(相相似比不为似比不为1),1),但与图但与图1 1中所画的中所画的三角形大小不一样三角形大小不一样.A AB BC CA AB BC CA AB BC C2 25 512 25 51 12 25 51 1 20、皮皮欲测楼房高度，他借助一长皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m5m的标竿，的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上上时，其他人测出时，其他人测出AB=4cm,AC=12mAB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离。已知皮皮眼睛离地面地面1.6m.1.6m.请你帮他算出楼房的高度。请你帮他算出楼房的高度。ABCDEF2121.如图，梯形如图，梯形ABCDABCD中中 ADBCADBC ，ABC=90ABC=90，AD=9AD=9，BC=12BC=12，AB=10AB=10，在线段，在线段BCBC上任取一上任取一P P，作射线，作射线PEPDPEPD，与线段，与线段ABAB交于点交于点E.E.（1 1）试确定）试确定CP=5CP=5时点时点E E的位置；的位置；（2 2）若设）若设CP=xCP=x，BE=yBE=y，试写出，试写出y y关关于自变量于自变量x x的函数关系式，并求出的函数关系式，并求出自变量自变量x x的取值范围的取值范围.提示提示：体会这个图形的：体会这个图形的“模型模型”作用，将会助你快速解题！作用，将会助你快速解题！BCADEPHCEPAD拓展提高拓展提高