本征值与本征向量

7.5.1 线 性 变 换 的 本 征 值 和 本 征 向 量 的 定 义 7.5.2 本 征 值 和 本 征 向 量 的 计 算 方 法 7.5.3 与 本 征 值 和 本 征 向 量 相 关 的 几 个 问 题 1.理 解 本 征 值 和 本 征 向 量 的 概 念 2.熟 练 掌 握 求 线 性 变 换 (矩 阵 )的 本 征 值 和 本 征 向 量 的 方 法 线 性 变 换 (矩 阵 )的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 求 法7.5 本 征 值 和 本 征 向 量 复 习 与 引 入 :问 题 1: 在 向 量 空 间 V中 ,同 一 线 性 变 换 关 于 不 同 基 的 矩 阵 有什 么 关 系 ? 这 种 关 系 是 如 何 刻 划 的 ?问 题 2: 矩 阵 的 这 种 相 似 关 系 对 于 我 们 研 究 线 性 变 换 有 什 么启 发 ?问 题 3: 线 性 变 换 关 于 向 量 空 间 V 中 某 个 基 的 矩 阵 为 这 种 简单 形 式 的 矩 阵 (准 对 角 矩 阵 或 者 甚 至 就 是 对 角 形 ),这 与 什 么理 论 有 关 ?你 认 为 应 该 怎 样 选 取 这 个 基 呢 ? 即 设 dimV=n， L(V)， 在 什 么 条 件 下 可 找 到 V 的 一个 基 ， 使 得 关 于 这 个 基 的 矩 阵 为 对 角 形 1 2 , , n 1 2 n 要 做 到 这 一 点 ， 从 上 节 最 后 的 分 析 结 果 知 道 在 于 V能 否分 解 为 的 一 维 不 变 子 空 间 的 直 和 .我 们 将 看 到 这 不 是 总 能办 到 的 ， 因 而 只 能 从 另 外 的 方 面 讨 论 . 1 1 12 2 2( )( )( )n n n 即 ： (*)? 显 然 ,从 解 决 的 问 题 所 满 足 的 式 子 （ *） 给 予 我 们 一 个重 要 启 示 ， 即 研 究 线 性 变 换 ， 很 重 要 的 一 点 就 是 设 法 去寻 找 满 足 条 件 的 数 和 非 零 向 量 ， 这 就 是 下面 要 介 绍 的 线 性 变 换 的 本 征 值 和 本 征 向 量 问 题 . )( 值 得 一 提 的 是 :本 征 值 -也 叫 特 征 值 ;本 征 向 量 -也 叫 特 征 向 量 . 以 后 我 们 可 以 根 据 自 己 的 喜 好 称 呼 它 们 . 定 义 1： 设 V是 数 域 F上 的 向 量 空 间 , 是 V 的 一 个 线 性 变换 .是 F 中 的 一 个 数 ， 如 果 存 在 V 中 非 零 向 量 ，使 得 ( ) 那 么 称 为 线 性 变 换 的 一 个 特 征 值 ， 称 为 的 属 于 特 征值 的 一 个 特 征 向 量 . Note:1) o 7.5.2 寻 求 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法 设 (V,F,dimV=n), 是 V 的 基 , 关 于 这 个 基 的 矩 阵 是 1 2 , , , n ( ) ,LV ( )ij n nA a 1 1 2 2 ,n nx x x V 令 令 的 属 特 征 值 的 一 个 特 征 向 量 ,则 1 12 2n nx xx xA x x 11 12 121 22 21 2 0nnn n nna a aa a aI A a a a 或 12 00( ) 0nxxI A x （)由 于 ,所 以 齐 次 线 性 方 程 组 ( )必 有 非 零 解 ,因 而o 由 此 可 求 特 征 值 . 有 非 零 解 ， 因 而1 2( , , , )nx x x反 过 来 ,若 满 足 ,则 齐 次 线 性 方 程 组 (*),F 0I A 1 1 2 2 n nx x x 满 足 ， 即 是 的 一 个 特 征 值 ， 就 是( ) , 属 于 的 一 个 特 征 向 量 对 于 行 列 式 ， 我 们 给 出I A 定义2：设 nnnn nnaaa aaa aaaA 21 22221 11211由 此 可 求 属 于 的 特 征 向 量 则 行 列 式 11 12 121 22 21 2( ) nnA n n nnx a a aa x a af x xI A a a x a 称为矩阵A的特征多项式 0 xI A 称为A的特征方程， ( )xI A称为矩阵A的特征矩阵 ( ) 0Af 由此不难看出，若是线性变换关于中某个基的矩阵， 而 是 的 一 个 特 征 值 ， 则 是 的 特 征 多 项 式 的 根 ( )Af x于 是 由 于 同 一 个 线 性 变 换 关 于 向 量 空 间 中 不 同 基 的 矩 阵 是 相似 的 ， 我 们 自 然 要 问 :相 似 矩 阵 是 否 具 有 相 同 的 特 征 值 呢 ? 定 理 7.5.1 相 似 矩 阵 具 有 相 同 的 特 征 多 项 式 ， 因 而 具 有相 同 的 特 征 值 证 明 ： 令 、 是 线 性 变 换 关 于 中 不 同 基 的 矩 阵 ， 则 11( ) ( )( )B Af x xI B T xI A TT xI A TxI A f x 存 在 可 逆 矩 阵 ， 使 ， 从 而 由 于 矩 阵 A是 线 性 变 换 关 于 向 量 空 间 中 基 的 矩 阵 ，因 此 ， 矩 阵 的 特 征 多 项 式 就 是 线 性 变 换 的 特 征 多 项 式 ，记 为 ， 即 ( ) ( ) ( )Af x f x f x 于 是 又 有 ：定 理 7.5.2 设 ， 是 的 一 个 特 征 值 的 充 要条 件 是 是 的 特 征 多 项 式 的 一 个 根 ( )LV F ( )f x 小 结 ： 求 线 性 变 换 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 方 法 例2：求矩阵 001 010 100A的特征值和特征向量。 解 ： 20 1( ) 0 1 0 ( 1) ( 1)1 0A xf x xI A x x xx 1231 0 1 00 0 0 01 0 1 0 xxx A的特征值为(二重)和1 对于 ,有齐次线性方程组 1 由 于 1 0 1 1 0 10 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 10 2 0 0 1 01 0 1 0 0 0 该齐次组的所有解为 ( , , ) , ,a b a a b F因此,属于特征1的特征向量是 ( , , ), , ,a b a a b F a b且不全为零1 对于 ,有齐次线性方程组 1231 0 1 00 2 0 01 0 1 0 xxx 由 于该齐次组的所有解为 ( , 0 , ) ,a a a F 因此,属于特征1的特征向量是 ( ,0, ), , 0a a a F a 且