二次函数的性质的应用

二次函数的性质的应用教学案例及反思一、教学目标1、能将简单的实际应用的最值问题转化为数学问题。2、掌握用二次函数的性质解决具体问题的一般步骤。3、提高学生归纳、建模、转化、数形结合的思想，培养学生的创新精神和实践能力。4、让学生体验知识来源于实践又作用于实践的辩证唯物主义观点，体验数学的应用价值。二、教学重点和难点重点：如何将生活、生产中的实际问题转化为数学问题，并用二次函数求出最大（小）值。难点：将实际应用转化为数学问题，用二次函数求最值的建模思想。三、教学过程的形成过程成功的教案形成的过程各不相同，但有两点是必不可少的：第一，借鉴他人成功的经验。许多老教师、名教师的教学经验丰富，对教材的理解深刻，教学过程的处理得法，重点的突破和难点的化解都有独到的方法，是年轻教师得以学习的。值得借鉴的可以是一份完整的教案，也可以是教学过程某一个环节的教学，如新课的导入，概念的形成过程，重点的突破，难点的化解，解题步骤的归纳等学生不容易掌握的知识点。第二，执教者自身对教材的理解和独特的教学思路，在认真学习数学课程教学大纲和阅读教科书后和教学参考书后，教师明确了数学课程标准的教学理念，了解教科书中该节内容的编写意图，会形成对这一教学内容新的理解，在教学过程的设计中反映出自身的特色和风格，这样编写的教学过程才会有创新。1、创设情境，提出问题板书课题：二次函数性质的应用。（1）实验：学生用课前准备好的长6cm的细铝线围成一个矩形。量一量，你的矩形的长和宽是多少？算一算，你的矩形的面积有多大？比一比，谁围的矩形的面积最大？（2）思考和猜想：围成的矩形的长和宽有什么关系？矩形面积最大时长和宽有什么关系呢？（学生自由发言）（长和宽的和是定长3cm；当长和宽相等时，面积最大）【提示】营造一个学生熟悉的但不被注意的实际情境，让学生体验“数学来自生活”、“数学就在你身边”；通过动手操作，培养学生的学习兴趣；提出问题，让学生猜想、探索，激发学生的求知欲。（3）怎样用数学方法验证“长和宽相等时矩形面积最大”呢？ 通过多媒体动态图形观察，矩形的和变化时，宽也在变化，若长为xcm,则宽为多少？(3-x)cm矩形的面积怎样计算？面积y（cm2）与长x（cm）有什么关系？y=x(3-x)x的取值范围由什么确定？怎样求？怎样求面积y(cm2)的最大值呢？【提示】培养学生用运动变化的观点去分析问题，发现问题中蕴藏着一些相互联系的变量，找出最有代表性的变量设元，从而将实际问题转化为函数问题，使学生巩固数学建模思想。2、例题分析，比较归纳（1）例1用长6m的铝合金条围成如图4形状的矩形窗框，问宽和高各是多少时，窗户的透光面积最大？最大面积是多少？学生根据实验中的矩形进行分析，探索解决问题的方法。教师结合下列问题进行启发：本题中有哪些变化的量？哪个量与其他变量的关系都比较明显？（窗框的宽，窗框的高，窗框的面积） 设这一有代表性的量为x，请用x表示面积y。（学生口述，教师板书解题过程）【提示】与实际情形比较，培养学生类比能力，渗透比较思想，培养学生发散思维，通过例题讲解，让学生体会数学应用意识。（2）尝试反馈：如图5，用长20m的篱笆围成一个一面靠墙的长方形的园子，园子前面空出一段长1m的空隙为进出小门（小门不用篱笆），怎样围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？ 把60表示成两个正数的和，使这两个正数的积最大。（3） 归纳用二次函数解实际问题的步骤:（学生回答，教师补充并板书）选择适当的变量为自变量 列二次函数的解析式； 确定自变量的取值范围；在自变量取值范围内，求二次函数的最大（小）值，（用公式法或配方法）3、深入探究，问题迁移（1）出示实验中矩形的多媒体动态图形，如图6，在实验围成的矩形中，对角线L与边长（x）有何关系？学生观察发现：当矩形的边长AB变化时，它的对角线L的长也随着变化。能否写出L关于x的函数关系？（L_ 0x0）（4）要求s的最小值，只要求出169t2-260t+676的最小值再开方就行了。让学生阅读课本，理解教材中的解题过程。【提示】安排课堂讨论，发掘学生思维，培养团队合作能力；通过看书，培养学生自学能力，用不同的方式进行教学活动，使课堂气氛更加活跃。4、 归纳小结（1） 这节课学习了用什么知识解决哪一类问题？（2） 解决这类问题的步骤是什么？应注意什么问题？【提示】让学生归纳教学内容，使学生对知识加深理解，形成体系，为今后继续学习打下扎实的基础。5、迁移拓展（1） 你能用配方法求出函数y=x2+ 的最小值吗？（2） 某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格。经试验发现，若按每件25元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件30元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数。 试求y与x之间的关系式。 在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？（总利润总收入总成本）四、教学反思（一）精心设计实验，创设问题情境在自然科学教学中，教师指导学生动手操作实验是非常正常的事，而数学课堂似乎与实验无缘，其实，一切知识来源于现实世界，数学也是如此。新的数学理念就是要求学生了解数学发生、形成的过程，数学实验可以让深知实验中体验数学，体验从中获取数学知识的乐趣。本节课教学的引入进行了精心的设计，让学生从实验和多媒体的动态图形中得到感性的认识，又以实验为手段对有关知识进行进一步探究，从而理性地认识二次函数性质的实质。（二）步步设计问题，提高思维层次著名数学教育有波利亚曾说过：“问题是数学的心脏。”足见数学问题在数学教学中的重要地位。本节课的教学设计中，根据教学内容的进展，以矩形为载体，合理地设计了有针对性的问题，有意地将问题“复杂化”，使教学在学生已有的认识水平上展开，让学生的思维深入到解题的过程中去。同时，在解决问题的过程中又能发现新的问题，一环接着一环，学生学习的主动性随之调动，学生的参与性达到高潮。由于问题的设计能围绕学生容易产生困惑地地方展开，引导学生抓住最本质的现象进行思维，理清了思路，为教学目标的完成做好了铺路搭桥的工作。（三）归纳整理经验，体验成功乐趣总结不仅可以进一步梳理、巩固所学的知识，有利于学生对所学知识有整体认识，更重要的是提炼出让学生感受教学中的数学方法，使学生的思维水平有所提高，教学时，让学生对所学知识进行整理、归纳能提高学生独立发现问题、解决问题的能力，更容易解题的思路，形成灵活的知识块和相对稳定的解题流程，避免模式化和机械化，同时让学生体验到获得知识、取得成功的乐趣。本节课教学以点拨、补充，也符合数学课程教学大纲对教师作为课堂教育组织者的要求。（四）迁移拓展问题，培养探索能力由于受教育时间、内容和教学目的等诸多因素的限制，而使学生失去了主动思考、主动探究的时间和空间，对于学有余力的学生，课堂有限的教学不能满足他们的需要，因此在课堂上对一些内容进行加深拓展，对所学知识进行延伸，开阔学生视野，提高学生的探究能力。本节课最后补充的练习，可以让学生在原有的二次函数性质应用的基础上拓宽知识面。