数学分析曲线积分

17.3 Green 公 式 (I)（ George Green， 17931841） 一 、 Green公 式 及 简 单 应 用二 、 曲 线 积 分 与 路 径 无 关 性三 、 二 元 函 数 的 全 微 分 求 积主 要 内 容 一 、 Green公 式 及 简 单 应 用复 连 通 区 域单 连 通 区 域区 域 连 通 性 的 分 类 .1 , 为 平 面 区 域设 D 内 任 一 闭 曲 线如 果 D , D所 围 成 的 部 分 都 属 于 为 平 面 单 连则 称 D;通 区 域 .否 则 称 为 复 连 通 区 域D D 公 式Green .2定 理 1 则 有 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( 公 式 Green函 数 注 ： 的 正 方 向的 边 界 曲 线 LD ,当 人 沿 边 界 行 走 时 .)( 的 左 侧他总 在 她区 域 D负 方 向 ? 右 侧D D LD QdyPdxdxdyyPxQ )(待 证 表 达 式 LD QdydxdyxQ LD PdxdxdyyP等 价 于 证 明型 区 域y 型 区 域x分 析 ：证 明 依 赖 于 区 域 的 形 状 单 连 通复 连 通 型又既 yx 一 般 区 域 o xy Da b)(1 xy )(2 xy cd )(2 yx )(1 yx A BC E证 明 : ),()(),( 21 bxaxyxyxD ),()(),( 21 dycyxyyxD o xy Dcd )(2 yx )(1 yx A BC ED dxdyxQ dcdc dyyyQdyyyQ ),(),( 12 CAECBE dyyxQdyyxQ ),(),( EACCBE dyyxQdyyxQ ),(),( L dyyxQ ),(dxxQdy yydc )( )(21同 理 可 证 LD dxyxPdxdyyP ),(两 式 相 加 得 LD QdyPdxdxdyyPxQ )( LD1D 2D3D 321 )()( DDDD dxdyyPxQdxdyyPxQ 型型 又 是分 成 三 个 既 是用 光 滑 曲 线 将 yxD ., 321 DDD的 区 域 LD1L 2L3L 1D 2D3D 321 )()()( DDD dxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx L QdyPdx G F CE3L2L1L AB, 2 BALABD的 边 界 线 由则 CGAEC及, 3LCEAFC.构 成 D dxdyyPxQ )( CEAFCBALAB 2 CGAECL QdyPdx )(3, 2 知由 L QdyPdx 2 3 1 )( L L L QdyPdx . LD QdyPdxdxdyQP yx :便 于 记 忆 的 形 式 D简 单 应 用 .3 xyo LA BBOABOAL LD xdydxdy BOABOA xdyxdyxdy .41 2rdxdyxdy DAB 简 化 曲 线 积 分 )1( 1987年 考 研 试 卷 一 ， 一 (4) 18 L xx dyaxyedxyxbyeI )cos()(sin( 3 求例 ).00(2)0,2( 2 ，到沿 曲 线从 点其 中 OxaxyaAL .)4()22( ,9 2 222 L dyxxdxyxyI yxL求 取 正 向 的 圆 周设例 1999年 考 研 试 卷 一 ， 四 解 xyo LD.022 L yx ydxxdy L 1Drly xo lL yx ydxxdyyx ydxxdy 2222 xyo r 1DlL02222 lL yx ydxxdyyx ydxxdy .2 (注 意 格 林 公 式 的 条 件 ) dr rr 2 2222 sincos 20所 以 . ,)1( ,)01(,4 5 22 取 逆 时 针 方 向为 半 径 的 圆 周 为 中 心，是 以 点其 中计 算例 RR Lyx ydxxdyL解 .)0,0(),( ,)4( 4 222 22 yxxQyx xyyP ,4: 222 ayxlL 内 取 一 小 椭 圆在 2000年 考 研 试 卷 一 、 五.方 向 为 逆 时 针 方 向并 取 l lL yx ydxxdyyx ydxxdyI 2222 44 l ydxxdya21 22242 21 ayx dxdya :公 式 知由 Green. Green公 式 应 用 技 巧 :, )( 内 无 奇 点Di 则所 围 区 域 为是 封 闭 曲 线如 , , .1 DL ;直 接 用, )( 内 有 奇 点Dii ;挖 掉 再 用 , .2 是 非 封 闭 曲 线如 L .先 补 再 用不 闭 则 补 ， 出 奇 则 挖 计 算 二 重 积 分 )2( xyo AB 11 D BOABOA yD y dyxedxdye 22 10 22 dxxedyxe xOA y ).1(21 1 e 计 算 平 面 面 积 )3(格 林 公 式 LD yQxPyxyPxQ dddd推 论 : 正 向 闭 曲 线 L所 围 区 域 D的 面 积,dd21 L xyyxA , L xdyA . L ydxA例 如 , 椭 圆 20,sincos: by axL 所 围 面 积 . L xyyxA dd21 ab 解 L ydxxdyA 21 AMOONA ydxxdyydxxdy 2121 )0,(aANM AMO ydxxdy21 .614 20 adxxa a L l例 8 为 平 面 上 封 闭 曲 线 , 为 任 意 方 向 向 量 ，0),cos( L dsnl n L则 的 外 法 线 方 向 。 为( , )l a b (cos( , ),cos( , )n n x n yL(cos( , ),cos( , ) ( cos( , ),cos( , )t x t y n x n y 证 明 ： 设 ，的 切 线 方 向 2 2 2 2cos( , ) cos( , ) cos( , )L L a bl n ds n x n y dsa b a b 2 2 2 2 2 2 2 2 cos( , ) cos( , )0L La b a bt y t x ds dy dxa b a b a b a b = G u vu vdxdy dsn nu v u v 例 ( cos cos ) ( cos cos )u v u u v vds v u dsn n x y x yu v ( cos cos ) ( cos cos )( )cos ( )cos( )cos( , ) ( )cos( , )u u v vv u dsx y x yu v v vv u v u dsx x y yu v v vv u t y v u t x ds x x y y 证 明 ： = ( ) ( )( ) ( )D u v u vv u dx v u dyy y x xu v u vv u v u dxdyx x x y y y 2 2 2 2 2 2 2 2D v u u u v v v u u u v vv u v u dxdyx x x x x x y y y y y y ( )D G u vv u u v dxdy du v ),( yxu DD 0(0,0) D 2 2x yD xu yu dxdyx yD 2 2 2 21 1(0,0) 2 2 x yD D xu yuxdy ydxu u dxdyx y x y 例 7： 设 在 分 段 光 滑 闭 曲 线 围 成 的 有 界 闭 区 域上 连 续 一 阶 偏 导 数 在 上 可 积 证 明 2 2 2( , )D x y x y D D D 设 ，证 明 ： 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2D D DDD xdy ydx ux uyu dxdyx y y x y x x yux uy dxdyy x y x x yxux yuydxdyx y = 2sin 02 2 22sin* * , sin( )2 cos , sinxyD u conu xdy ydx dx yu 而 0 2 2 2 21 10,0 2 2D Dxdy ydx xux yuyu u dxdyx y x y 令 1. 连 通 区 域 的 分 类 ;2. 二 重 积 分 与 曲 线 积 分 的 关 系 ;3. Green公 式 的 简 单 应 用 . LD QdyPdxdxdyyPxQ )(小 结 .4 Dab DI 0,0,2 0,0,0思 考 题 ：