微分与微分技术

3.4微 分 与 微 分 技 术二 、 微 分 的 几 何 意 义三 、 基 本 初 等 函 数 的 微 分 公 式 与 微 分 运 算 法 则四 、 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用一 、 微 分 的 概 念 边 长 由3.4.1 微 分 的 概 念引 例 : 一 块 正 方 形 金 属 薄 片 受 温 度 变 化 的 影 响 ,问 此 薄 片 面 积 改 变 了 多 少 ? 设 薄 片 边 长 为 x , 面 积 为 S , 则 ,2xS 面 积 的 增 量 为220 )( xxxS 20 )(2 xxx 0 xx xx 0 20 xA xx 0 2)( x关 于 x 的线 性 主 部 高 阶 无 穷 小0 x 时 为故 xxS 02 称 为 函 数 在 的 微 分0 x 当 x 在 0 x 取得 增 量 x 时 ,0 x 变 到 ,0 xx 其 定 义 3.3的 微 分 ,若 函 数 )(xfy 在 点 的 增 量 可 表 示 为0 x)()( 00 xfxxfy ( A 为 不 依 赖 于 x 的 常 数 )则 称 函 数 )(xfy 而 称 为xA 在)(xf0 x点 记 作 0d xxy ,)(d 0 xxxf 或 即xAxdfy xxxx 00 )(d )( xoxA 在 点 0 x 可 微 ,一 、 微 分 的 定 义注 意 , 不 对 的 。 ， 是的 区 别 。 教 材 上 用 后 者与 )()( 00 xdfxdf xx 定 理 3.6 函 数证 : “必 要 性 ” 已 知 )(xfy 在 点 可 微 ,0 x 则 )()( 00 xfxxfy )(limlim 00 xxoAxy xx A故 Axf )( 0 )( xoxA )(xfy 在 点 的 可 导 ,0 x 且)(xfy 在 点 可 微 的 充 要 条 件 是0 x)(xfy 在 点 处 可 导 ,0 x 且 ,)( 0 xfA 即xxfy xx )(d 00重 要 结 论 ： “充 分 性 ” 已 知 )(lim 00 xfxyx )(xfy )( 0 xfxy )0lim( 0 xxxxfy )( 0故 )()( 0 xoxxf 线 性 主 部 即 xxfy xx )(d 00 在 点 的 可 导 ,0 x )0)( 0 时 xf 则 说 明 : 0)( 0 xf 时 , xxfy xx )(d 00),()( 0 xoxxfy yyx dlim0 xxf yx )(lim 00 xyxf x 00 lim)(1 1所 以 0 x 时 y yd很 小 时 , 有 近 似 公 式 x 0d xxyy 与 是 等 价 无 穷 小 , 当 故 当1. 2 若 函 数 f (x)在 区 间 I内 点 任 一 点 都 可 导 ,则 在 I内任 意 点 x的 微 分 记 为 .)(d xxfy 规 定 自 变 量 x的 微 分 为 自 变 量 的 改 变 量 ,即,xdx 则 有 .)(d xdxfy 从 而 有 )(xf dxdy 即 ,函 数 微 分 与 自 变 量 微 分 之 商 等 于 函 数 的 导 数 . 微 分 的 几 何 意 义xxfy )(d 0 xx 0 xyo )(xfy 0 x yydx tan当 很 小 时 ,x yy d 切 线 纵 坐 标 的 增 量二 、 几 何 意 义 三 、 基 本 初 等 函 数 的 微 分 公 式 与 微 分 运 算 法 则设 u(x) , v(x) 均 可 微 , 则)(d.1 vu )(d.2 uC (C 为 常 数 )(d.3 vu )0()(d.4 vvu分 别 可 微 ,)(,)( xuufy )( xfy 的 微 分 为xyy x dd xxuf d)()( uduufy d)(d 微 分 形 式 不 变5. 复 合 函 数 的 微 分则 复 合 函 数 vu dd uCdvuuv dd 2 dd v vuuv (一 )基 本 初 等 函 数 的 微 分 公 式 (见 教 材 P.113)(二 )微 分 运 算 法 则 : 例 3.31 ,)12(sin xy 求 .dy解 : 令 u = 2x+1， 则)(sind udy dxx 2)12cos( dxx )12cos(2 uducos )12()12cos( xdx 例 3.32 ,)1(ln 2xey 求 .dy解 : 21 1d xey )1(d 2xe 21 1 xe )(d 2x xxee xx d21 1 22 xeex xx d12 22 2xe 例 3.33 ,cos31 xey x 求 .dy解 : )cos(d 31 xedy x )31(cos 31 xdex x dxex x )3(cos 31 dxxxe x )sincos3(31 )(cos 31 xexd )(cos31 xde x dxxe x )sin(31 dxxe x )sin(31 3.4.2 隐 函 数 的 微 分 法 3 1 xy 若 由 方 程 0),( yxF 可 确 定 y 是 x 的 函 数 ,由 )(xfy 表 示 的 函 数 , 称 为 显 函 数 .例 如 , 013 yx 可 确 定 显 函 数032 75 xxyy 可 确 定 y 是 x 的 函 数 ,但 此 隐 函 数 不 能 显 化 .函 数 为 隐 函 数 . 则 称 此隐 函 数 求 导 方 法 : 0),( yxF 0),(dd yxFx 两 边 对 x 求 导(含 导 数 的 方 程 ) y 例 3.34 求 由 方 程 0 xyey)(xyy 的 导 数 。解 法 1 01 yyxyey解 之 得 xe yy y 确 定 的 隐 函 数解 法 2 0)()()( xydedxyed yy方 程 两 边 对 x 求 导方 程 两 边 求 微 分 得 .xxyy 0 ydxxdydyey解 之 得 xe ydxdy y 例 3.35 求 由 方 程 0sin21 yyx确 定 的 隐 函 数 )(xyy 的 二 阶 导 数 。解 方 程 0sin21 yyx 两 端 对 x求 导 得 ,0cos211 yyy （ 3.4.2）.xxy y 解 之 得 .cos2 2 yy 将 方 程 （ 3.4.2） 两 端 再 对 x求 导 ， 注 意 到 y 也 是x 的 函 数 ， 得 ,0)sin(cos21 yyyyyy （ 3.4.3）将 （ 3.4.3） 代 入 上 式 ， 得 .)cos2( sin4 3yyy 补 例 求 椭 圆 1916 22 yx 在 点 )3,2( 23 处 的 切 线 方 程 .解 : 椭 圆 方 程 两 边 对 x 求 导8x yy 92 0y 2 323xy yx169 2 323xy 43故 切 线 方 程 为 323y 43 )2( x即 03843 yx 例 3.36 求 )0(sin xxy x 的 导 数 . 解 : 两 边 取 对 数 , 化 为 隐 式xxy lnsinln 两 边 对 x 求 导yy 1 xx lncos x xsin )sinlncos(sin x xxxxy x 说 明 : 1) 对 幂 指 函 数 vuy 可 用 对 数 求 导 法 求 导 :uvy lnln yy 1 uv ln uvu )ln( uvuuvuy v vuuy v ln uuv v 1按 指 数 函 数 求 导 公 式 按 幂 函 数 求 导 公 式注 意 : 2) 有 些 显 函 数 用 对 数 求 导 法 求 导 很 方 便例 如 , )1,0,0( babaaxxbbay bax两 边 取 对 数yln 两 边 对 x 求 导yy baln xa xb bax axxbbay baln xa xbbaxln lnln xba lnln axb 又 如 , )4)(3( )2)(1( xx xxy uuu )ln(21ln y 对 x 求 导21yy )4)(3( )2)(1(21 xx xxy 41312111 xxxx两 边 取 对 数 2ln1ln xx 4ln3ln xx11x 21x 31 x 41 x 若 参 数 方 程 )( )(ty tx 可 确 定 一 个 y 与 x 之 间 的 函 数)(,)( tt 可 导 , 且 ,0)()( 22 tt 则0)( t 时 , 有xydd xtty dddd txty dd1dd )( )(tt0)( t 时 , 有yxdd yttx dddd tytx dd1dd )( )(tt(此 时 看 成 x 是 y 的 函 数 )关 系 ,3.4.3 由 参 数 方 程 确 定 的 函 数 的 导 数 若 上 述 参 数 方 程 中 )(,)( tt 二 阶 可 导 ,22dd xy )dd(dd xyx )(2 t)()( tt )()( tt )(t)( )()()()( 3 t tttt )dd(dd xyt txdd)( )(dd ttxy )(tx 且 ,0)( t则 由 它 确 定 的 函 数 )(xfy 可 求 二 阶 导 数 .利 用 新 的 参 数 方 程 ,可 得 例 3.38 已 知 椭 圆 的 参 数 方 程 为 .sincostby tax求 椭 圆 在 4t 相 应 点 处 的 切 线 方 程 。解 当 4t 时 ， 椭 圆 上 的 相 应 点 M0 的 坐 标 是,224cos 0 aax 曲 线 在 M0 的 切 线 斜 率 为 44 )cos( )sin( tt ta tbdxdy 4sincos tta tb ,ab .224sin0 bby 代 入 点 斜 式 方 程 ， ),22(22 axabby 即 .02 abaybx例 3.39 计 算 由 摆 线 的 参 数 方 程 （ 图 见 教 材 P.119） )cos1( )sin( tay ttax所 确 定 的 函 数 )(xyy 的 二 阶 导 数 。即 得 椭 圆 在 点 M0 处 的 切 线 方 程 解 dxdy ),( Znnt 22dxyd )cos1( 1sin2 1 22 tat ),( Znnt dtdx dtdy / )cos1( sin ta ta 2cot tdxdttdtd )2(cot dtdxt /1sin2 1 22 2)cos1( 1 ta xyo a 2ata 转 化内 容 小 结1. 隐 函 数 求 导 法 则 直 接 对 方 程 两 边 求 导2. 对 数 求 导 法 : 适 用 于 幂 指 函 数 及 某 些 用 连 乘 ,连 除 表 示 的 函 数3. 参 数 方 程 求 导 法 极 坐 标 方 程 求 导求 高 阶 导 数 时 ,从 低 到 高 每 次 都 用 参 数 方 程 求 导 公 式 四 、 微 分 在 近 似 计 算 中 的 应 用 (略 )()( 0 xoxxfy 当 x 很 小 时 , )()( 00 xfxxfy xxf )( 0 xxfxfxxf )()()( 000 xxx 0令使 用 原 则 : ;)(,)()1 00 好 算xfxf .)2 0 靠 近与 xx )()()( 000 xxxfxfxf 得 近 似 等 式 : 特 别 当 xx ,00 很 小 时 , xffxf )0()0()( 常 用 近 似 公 式 : x1 )1()1( x 很 小 )x( xxx x1xsin)2( xe)3(xtan)4( )1ln()5( x证 明 : 令 )1()( xxf 得 ,1)0( f )0(f,很 小 时当 x xx 1)1( 微 分 在 估 计 误 差 中 的 应 用某 量 的 精 确 值 为 A , 其 近 似 值 为 a ,aA 称 为 a 的 绝 对 误 差aaA 称 为 a 的 相 对 误 差若 AaA A 称 为 测 量 A 的 绝 对 误 差 限aA 称 为 测 量 A 的 相 对 误 差 限 误 差 传 递 公 式 : 已 知 测 量 误 差 限 为 ,x按 公 式 )(xfy 计 算 y 值 时 的 误 差y yd xxf )( xxf )(故 y 的 绝 对 误 差 限 约 为 xy xf )(相 对 误 差 限 约 为 xy xf xfy )( )(若 直 接 测 量 某 量 得 x , 内 容 小 结1. 微 分 概 念 微 分 的 定 义 及 几 何 意 义 可 导 可 微2. 微 分 运 算 法 则微 分 形 式 不 变 性 : uufuf d)()(d ( u 是 自 变 量 或 中 间 变 量 )3. 微 分 的 应 用 近 似 计 算估 计 误 差