期货和远期定价南开大学出品

期货和远期的定价南开大学数学科学学院白晓棠 Nankai University Contents什么是远期1期货与远期的不同2利率远期3无套利远期定价45 现货远期平价定理 Nankai University 远期v远期合约是20世纪80年代初兴起的一种金融衍生产品，它是一种交易双方约定在未来的某一确定时间，以确定的价格买卖一定数量的某种资产的合约。v合约中要规定交易的标的物、有效期和交割时的执行价格等项内容。v期货与远期的定义很相似但是细细观察不难看出它们还是有一些差别的。v再考虑到其交易方式等细节，我们总结它们的主要区别如下： Nankai University 期货和远期的区别v1、交易场所不同。v2、合约的规范性不同。v3、交易风险不同。v4、保证金制度不同。v5、履约责任不同。v6、会计上的优势不同。 Nankai University 远期利率协议v在所有远期市场中，货币远期市场是最为发达的。v主要的金融远期合约：远期利率协议（FRA）、远期外汇合约和远期股票合约。v远期利率协议（FRA）是1983年由银行引入的一种远期合约。协议双方同意按某项“存款”支付某个利率。v名义本金、合约利率和参考利率（结算日所流行的市场利率）三者一道共同确定以单个现金结算的方式支付和接受的利息差额的大小。 v名义本金（存款）本身并不实际交换。 Nankai University 远期利率协议v实际支付和接受的数额由以下两个步骤确定：v第一步，取合约结算日的参考利率与协议利率之差，将这个差与名义本金相乘，再乘以存款的期限。v第二步，利用参考利率作为折现率，将在第一步求得的和折现，最后得到的现值就是支付或接受的数额。v参考利率常常取LIBOR。v3个月对9个月的LIBOR 3个月后开始并在9个月末结束6个月期的LIBOR。 Nankai University 什么是Libor？vLibor（London Interbank Offered Rate ），即伦敦同业拆借利率，是指伦敦的第一流银行之间短期资金借贷的利率，是国际金融市场中大多数浮动利率的基础利率。v作为银行从市场上筹集资金进行转贷的融资成本，贷款协议中议定的LIBOR通常是由几家指定的参考银行，在规定的时间（一般是伦敦时间上午11：00）报价的平均利率。最经常使用的是3个月和6个月的Libor。 Nankai University 远期利率的例子v假设美国银行需要锁定3个月后开始的500万美元期限为6个月的基于LIBOR的融资利率。即3个月后，银行将贷出6个月期的500万美元给客户。然而，客户需要立即从银行处确定利率。v银行不能自己给出利率承诺，他与某个远期利率协议交易商联系。当时，6个月的LIBOR报价为8.25%。银行向交易商询问3个月对9个月期的LIBOR交易商报价为8.32%，这家银行接受了（即成为了远期的买方）。 Nankai University 远期利率的例子v银行向它的客户报出8.82%的利率，银行在融资成本上加50个基点，来实现自己的利润并抵补所承担的信用风险。v假设3个月后6个月期的LIBOR利率为8.95%。于是银行在欧洲货币市场以8.95%的利率获得500万美元的LIBOR存款并将其以承诺利率8.82%贷给客户。v银行的损益为v（8.82 % -8.95%）5000000 182/360 v=-3286.11美元 Nankai University 远期利率的例子v虽然在贷款中有损失，但银行却可以在他对冲保值的远期合约中获得盈亏：v1 (8.95% - 8.32 % )5000000 182/360v=15925美元v银行此次的总盈亏为v15925 - 3286.11=12639美元v接受/支付的量是要用参考利率折现的（why?） v15925/(1+8.95% 182/360)=15235.59 Nankai University 远期利率的确定v对于上面的例子我们给出了39的LIBOR，如果我们给出的是现在执行的9个月期的固定利率及现在执行的3个月期的固定利率是否可以计算出39的固定利率呢？v所谓远期利率就是指现在时刻的将来一定期限上的利率。那么远期利率是如何确定的呢？v远期利率可以由一系列即期利率决定：v例如，如果1年期的即期利率为10%，2年期的即期利率为10.5%，那么其隐含的意思是1年到2年的远期利率为11%。（Why？） Nankai University 远期利率的确定v这是因为v一般地，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为r，T*时刻（ T* T ）到期的即期利率为r*，则t时刻的T* - T 期间的远期利率 可以通过下面式子求得：v注意，上式是每年计息一次的结果。当复利进行计算时我们要另行讨论。2(1 10%)(1 11%) (1 10.5%) r * *(1 ) (1 ) (1 *)T t T T T tr r r Nankai University 远期利率的确定v对于复利的情形我们利用连续复利计算比较方便。v在前面我们讨论过名义年利率为r，每年记m次复利的n年期有效利率为：v而对于年连续复利 ，我们有n年期有效利率为：v所以我们可以得到每年计m次复利与连续复利之间的换算关系为：(1 ) mnmrmcrln(1 ), ( 1) crm mc mrr m r m em cnre Nankai University 远期利率的确定v当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时，即期利率和远期利率可以表示为：v于是有v对于我们前面的例子，若一年期和两年期的连续复利年利率分别为10%和10.5%，则一年到两年的连续复利远期利率为11%，因为( ) ( * ) *( * )r T t r T T r T te e e *( * ) ( ) *r T t r T tr T T 0.10 0.11 0.105 2e e e Nankai University 远期和期货合约的定价v为了下面讨论方便，我们定义v T：远期和期货合约到期的时间，单位为年；v t ：现在的时间；v S ：标的资产在t时刻的价格；v S T ：标的资产在T时刻的价格；v K ：远期合约中的交割价格；v f ：远期合约多头在t时刻的价格；v F ： t时刻的远期合约和期货合约中标的资产的远期理论价格和期货理论价格。v r ： T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率。 Nankai University 无收益资产远期合约的定价v我们所用的定价方法为无套利定价法。其基本思路为：构建两种投资自合，让其终值相等，则其现值一定相等。v为了给无收益资产的远期定价我们可以构建如下两种组合：v组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为 的现金；v组合B：一单位标的资产。v在组合A中， 的现金以无风险利率投资，投资期为 。到T时刻，其金额将达到K。 ( )r T tKe ( )r T tKe ( )T t Nankai University 无收益资产远期合约的定价v在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来一单位标的资产。根据无套利原则，这两种组合在t时刻的价值必须相等，即：v无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价格现值的差。 ( )r T tf Ke S ( )r T tf S Ke Nankai University 现货远期平价定理v远期价格（F）就是使合约价值（f）为零的交割价格，即当 时， 。则v这就是无收益资产的现货远期平价定理（Spot-Forward Parity Theorem）。v大家思考一下如果上面的等式不成立会出现什么情况？v（1）v（2）0f K F ( )r T tF Se ( )r T tF Se ( )r T tF Se Nankai University 现货远期平价定理v若 ，说明交割价格大于现货的终值。v在此情形下，套利者可以按无风险利率r借入现金S，期限为T-t。然后用S买一单位的标的资产，同时卖出一份该资产的远期合约，交割价格为F。v若 ，说明交割价格小于现货的终值。v在此情形下，套利者可以卖空一单位的标的资产，将所得收入以无风险利率r进行投资，期限为T-t，同时买进一份该资产的远期合约，交割价格为F。( )r T tF Se ( )r T tF Se Nankai University 例题及练习v例 设一份标的资产为一年期债券的剩余期限为6个月的远期合约多头，其交割价格为950美元，6个月期的无风险年利率（连续复利）为6%，该债券的现价为930美元。求此份远期合约多头的价值？v解 由于v故 v此份远期合约多头的价值为：8.08美元。( )r T tf S Ke 0.06 0.5930 950 8.08f e Nankai University 例题及练习v例 假设一年期的贴现债券价格为960美元，3个月期无风险年利率为5%，则3个月期的该债券远期合约的交割价格应为多少？v解 根据现货远期平价定理v故v3个月期的远期合约的交割价格应为972美元。 ( )r T tF Se 0.05 0.25960 972F e Nankai University 远期价格的期限结构v下面我们讨论不同期限远期价格之间的关系。v F ： T时刻交割的远期价格；v F*： T*时刻交割的远期价格；v r ： T时刻到期的无风险利率；v r* ： T*时刻到期的无风险利率；v ： T时刻到T*时刻的无风险远期利率；v由现货远期平价定理v即 ( ) *( * ), * r T t r T tF Se F Se *( * ) ( ) ( * )* r T t r T t r T TF Fe Fe r Nankai University 远期价格的期限结构v例 假设某种不付红利股票6个月远期的价格为20元，目前市场上6个月至1年的远期利率为8%，求该股票1年期的远期价格。v解 根据不同期限远期价格之间的关系：v于是该股票1年期远期价格为 ( * )* r T TF Fe 0.08 0.5* 20 20.82( )元F e Nankai University 远期利率协议的定价v在刚才我们提到过，远期利率协议是空方承诺在未来某个时刻（T时刻），将一定数额的名义本金（A）按约定的合同利率（rK）在一定的期限（T*-T）贷给多方的远期协议。v本金A在借贷期间会产生固定的收益率r，因此其属于支付已知收益率资产的远期合约。v远期利率协议多方（即借入本金的一方）的现金流为：vT时刻： AvT*时刻： ( * )Kr T TAe Nankai University 远期利率协议的定价v这些现金流的现值即为远期利率协议多头的价值。为此，我们要先将T*时刻的现金流用T*-T期限的远期利率（ ）贴现到T时刻，再贴现到现在时刻t，即：v这里的远期价格就是合同利率。根据远期价格的定义，远期利率就是使远期合约价值为0的协议价格（r K）。v理论上远期利率（rF）应与 相等。r( * )( ) ( * ) ( )( )( * )( ) 1 K Kr T Tr T t r T T r T tr r T Tr T tf Ae Ae e eAe e r*( * ) ( ) *F r T t r T tr r T T Nankai University 远期外汇综合协议的定价v例 假设2年期即期年利率（连续复利）为10.5%，3年期即期年利率为11%，本金为100万美元的2 3年远期利率协议的合同利率为11%，请问该远期利率协议的价值和理论上的合同利率等于多少？v解 根据远期利率定价公式有v该合约的价值为0.11 3 0.105 2 12.0%3 2 Fr r 0.105 2 (0.11 0.12)(3 2)1000000 1 8065.31( )美 元f e e Nankai University 期货价格v期货价格与预期的未来现货价格的关系vE(ST) ：现在市场上预期的标的资产在T时刻的市价；vy：表示该资产的连续复利收益率；vt：为现在时刻。v于是v与远期定价讨论类似，对期货价格也有： ( )( ) y T tTE S Se ( )r T tF Se Nankai University 期货价格v根 据 资 本 资 产 定 价 原 理 ：v若 标 的 资 产 的 系 统 性 风 险 为 0， 则 y=r；v若 标 的 资 产 的 系 统 性 风 险 大 于 零 ， 则 yr；v若 标 的 资 产 的 系 统 性 风 险 小 于 零 ， 则 yr。v在 现 实 生 活 中 ， 大 多 数 标 的 资 产 的 系 统 性 风 险 都 大 于 零 ，因 此 在 大 多 数 情 况 下 ， F都 小 于 E（ S T） 。v对 于 有 收 益 资 产 我 们 也 可 以 得 出 同 样 的 结 论 。 Nankai University 期货价格v我们用持有成本的概念来概括远期和期货价格与现货价格的关系。v持有成本保存成本利息成本标的资产在合约期限内提供的收益v对于不支付红利的股票，没有保存成本和收益，所以持有成本就是利息成本r，股票指数的持有成本是r-q，货币的持有成本是r-r f。如果我们用c表示持有成本，那么( )c T tF Se ( )c T tf F Se Nankai University 总 结v远期的概念v远期利率v无套利定价v现货远期平价定理v远期定价的例子v期货定价 Nankai University 练习v1、假设你签订了一期货合约，7月在纽约商品交易所以每盎司$5.20的价格卖出白银。合约规模为5,000盎司。初始保证金为$4,000，维持保证金为$3,000。将来价格发生什么样的变化会导致保证金催付？如果你不补足保证金会怎样？v答：当投资者保证金帐户损失额度达到$1，000时，即白银的价格上涨1000/5000=$0.20，（白银价格为每盎司$5.40）会导致保证金催付。如果不补足保证金，合约会被平仓。 Nankai University 练习v2、请解释空头套期保值者当基差意想不到地扩大时，为什么保值效果会有所改善？v答：基差指进行套期保值资产的现货价格与所使用合约的期货价格之差。空头套期保值者买入资产同时卖出期货合约，因此当基差扩大时，保值效果改善，反之，保值效果恶化。 Nankai University 练习v3、芝加哥交易所的玉米期货合约，有如下交割月可供选择;3月、5月、7月、9月、12月、次年5月。当套期保值的到期日分别为6月、8月和次年1月时，应选用哪种合约进行套期保值？v答：套期保值到期日应在交割月份之后，且二者最为接近的月份，v7月v9月v次年5月 Nankai University 练习v4、黄金的现价为每盎司$500。两年后交割的远期价格为每盎司$700。一位套期保值者可以10的年利率借到钱。套利者应当如何操作才能获利？假设储存黄金费用不计。v套利者以10%的年利率借入货币，购买黄金现货，卖出黄金远期，一年后交割收益为v700-500（110） 2 =95 Nankai University 练习v5、一家银行给你的报价如下:年利率14，按季度计复利。问：(a)等价的连续复利利率为多少？(b)按年计复利的利率为多少？v解：(a)等价的连续复利为v（b）按年计复利的利率为.0.144ln(1+ ) 0 64 137 ( ) .40. 014+ 51 4 147 Nankai University 练习v6、当一种不支付红利股票为$40时，签订一份一年期的基于该股票的远期合约，无风险利率为10（连续复利计息）。v解：（a）远期合约价格为v远期价格$44.21。期货合约的初始价值为零。v（b）远期合约的交割价格为$44.21。六个月后，远期合约的价值为v远期合约价值为$2.95。远期价格为 。 . 0.10 = 140 44e 2F -0.1 0.5=45-44.21 =2.95f e 0.10.545 =47.31e Nankai University v7、无风险年利率为7（连续复利计息），某股票指数的红利年支付率为3.2%.指数现值为150。六个月期限的期货合约的期货价格为多少？v解：期货合约的价格为0.5 (0.07-0.032)150 =152.88e Nankai University 练习v8、银的现价为每盎司$9。储存费用为每盎司每年$0.24,每季度支付一次而且要预先支付，假设所有期限的利率均为每年10(连续复利计息)，计算九个月到期的银的期货价格？v解：九个月的储存费用为每盎司v所以期货的价格为 -0.25 0.1 -0.5 0.10.06+0.06e +0.06e =0.1760.1 0.75=(9.000+0.176) =9.89F e