弯曲的几个补充问题

1 第 八 章 弯 曲 的 几 个 补 充 问 题8.1 非对称纯弯曲8.2 斜弯曲8.3 开口薄壁杆件的剪应力,弯曲中心 2 8.1 非对称纯弯曲回顾：平面弯曲的条件：外力偶在xOz平面时：对横向力：对非薄壁实体构件，横向力沿形心主惯性轴作用时，发生平面弯曲。 zzI yM外力偶在xOy平面时：yyI zMIyz=0，且中性轴过形心。非对称纯弯曲对外力偶：外力偶作用面在形心主惯性平面内，或与形心主惯性平面平行，发生纯弯曲。 3 8.2 斜弯曲回顾:平面弯曲斜弯曲:杆件在横向力的作用下,杆件在两个互相垂直的平面内发生平面弯曲,变形后杆件轴线与外力作用平面不共面。 4 任意截面内力 xy平面：(前压后拉)xz平面：(上拉下压) M=P(l-x)斜弯曲应力的计算sinPPy cosPPz sin)(sin)( MxlPxlPM yz cos)(cos)( MxlPxlPM zy 5 任意截面上任意点的应力 设任意点C(x,y) 斜弯曲时任意截面上任意点处的应力注意: 、只是大小，符号由变形定。 P y、Pz引起的剪应力，对于细长梁，可忽略。 yIMI yMM zzzz sin: zIMI zMM yyyy cos: )cossin(: zIyIMP yz 6 强度计算危险截面危险截面在固定端处,弯矩为:M危险点)cossin( 11max tyzt zIyIM )cossin( 22max cyzc zIyIM 最大拉应力点为：D1，最大压应力点为：D2又 D1、D2点：=0， D1、D2点为单向应力状态设：D1(y1,z1),D2(y2,z2) 7 讨论:对有棱角的截面,外凸角点为危险点。中性轴方程,为过截面形心的一条直线。与y轴夹角为，有：中性轴把截面分为两个区域：受拉区、受压区。危险点确定 在截面周边作平行于中性轴的切线，切点为危险点。对于没有棱角的截面，如何定危险点？0)cossin( 00 zIyIM yz 0cossin 00 zIyI yz tgIIyztg zy 00中性轴的确定：设中性轴各点坐标：(y0,z0) 8 斜弯曲变形的计算在xy平面：在xz平面：P引起的总挠度：总挠度与z轴夹角为 zzyy EI lPEIlPf 3sin3 33 yyzz EI lPEIlPf 3cos3 33 22 zy fff tgIIfftg zyzy 9 讨论：当IyIz，发生斜弯曲。当Iy=Iz，=，发生平面弯曲，如正方形、圆形。=，中性轴仍垂直于挠度f所在平面 tgIItg zy tgIIfftg zyzy 10 例：已知：起重机大梁为32a号工字钢，材料为A3钢，=160Mpa，l=4m，载荷P偏离纵向垂直对称面一个角度=15，P=30KN，试校核梁的强度。解： 由内力图知：危险截面在梁的中点处KNPPy 76.715sin30sin 0 KNPPz 2915cos30cos 0 mKNlPM zy 294max mKNlPM yz 76.74max +-+ - 11 查表：由应力分布知：D1为最大拉应力点，D2最大压应力点。满足强度讨论：若=0，狭长矩形应避免斜弯曲的不利影响33 8.702.692 cmWcmW zy 4.151108.70 1076.7102.692 1029 6363maxmaxmax MPaWMWM zzyy MPaWM y 4.43102.692 4103041 63maxmax +-+ - 12 总结：关于“平面弯曲”的截面判定梁有纵向对称面时： 横向力作用在该对称面内时 外力偶的作用面与此对称面平行或共面时 挠曲线所在平面与外力作用面共面,发生平面弯曲。截面为无对称轴的实体构件： 横向力沿形心主惯性轴作用 外力偶的作用面与形心主惯性平面平行或共面时 挠曲线所在平面与外力作用面共面，发生平面弯曲。“平面弯曲”的截面判定：形心主惯性轴 zy II 13 开口薄壁杆件，横向力过弯曲中心，且平行于形心主惯性轴时，发生平面弯曲。当横向力过截面形心，不沿对称轴或形心主惯性轴作用时，若Iy=Iz，发生平面弯曲。 14 8.3 开口薄壁杆件的剪应力,弯曲中心弯曲中心的概念 在横截面内，载荷平行于形心主惯性轴，且通过特定的点A时，杆件只发生平面弯曲。A点称为弯曲中心、弯心、剪心 15 开口薄壁杆件弯曲剪应力的计算弯曲剪应力沿壁厚剪应力均布横截面上剪应力都与周边相切取微段：zzI yMI z为整个截面对中性轴的惯性矩z zzIsMN *1 z zzz I sdMMN *2 )( 横截面的弯曲正应力 16开口薄壁杆件弯曲剪应力的计算公式Qy为与y轴平行的剪力。 00 12 tdxNNx tIsQz zy * tIsQz zy * 17 弯曲中心的确定同理下翼缘的剪力：2* htsz zyIhQ21 1 0 211 42A b zyzy IhtbQtdIhQdAQ 11 QQ 翼缘上距自由边为处 18 腹板的剪应力 Q 2=Qy dy hbthsz )4(2121 22* )4(212 222 dyhbthdIQzy )122()4(212 3222 222 dhbthIQdyddyhbthdIQQ zyhh zy 122 32 dhbthIz 19 对B点用合理矩定理： Q1h=Qye可定出Qy作用线位置当外力沿z轴作用时，z为对称轴，Q z与z重合 Qy 、Qz交点为弯曲中心y QQQQ的合力为、211 zy I thbQhQe 4 221 20 讨论弯曲中心的位置与外力的大小、材料的性质无关，与截面的几何性质有关，在对称轴上。当外力过弯曲中心，在横截面内，平行与任意形心主惯性轴时，发生平面弯曲。当外力不过弯曲中心，发生平面弯曲和扭转变形。对实体杆件或闭口薄壁杆件，抗扭刚度较大，且弯曲中心常在截面形心附近，扭转变形可以忽略。 21 例：已知:如图。试确定弯曲中心的位置。解：z轴为对称轴，弯曲中心一定在z轴上对o取矩： )cos(cossin 21* tRtRdRydAs Az )cossin()sin( 322 tRtRdRdAyI Az )cossin( )cos(cos* tRQtIsQ yz zy A yzy RtRdtRQdARaQ )cossin( )cos(cos cossin cossin2 Raz 22 例：已知:如图，试确定弯曲中心的位置。解：截面由两个矩形组成其切向内力必沿截面中线对汇交点用合力矩定理知 中线交点为弯曲中心汇交力系 23 24 25