现代测试技术-第二章

现 代 测 试 技 术 第 2章测 量 误 差及 其 分 析 测量误差的基本概念；系统误差的消除；随机误差的处理；粗大误差的剔除；测量结果的估计；测量结果的表示；微小误差准则与对比标准的选取本章主要内容 2.1测 量 误 差 基 本 概 念2.1.1 测 量 误 差 的 几 个 名 词 术 语 1、 真 值 ： 被 测 量 本 身 客 观 存 在 的 实 际 值 。 真 值 是 客 观存 在 ， 但 是 不 可 测 量 的 。 在 实 际 计 量 和 测 量 中 ， 经常 使 用 “ 约 定 真 值 ” 、 “ 理 论 真 值 ” 和 “ 相 对 真值 ” 。 约 定 真 值 ： 按 照 国 际 公 认 的 单 位 定 义 ， 利 用 科 学 技 术 发 展 的 最 高 水 平 所复 现 的 单 位 基 准 。 以 法 律 形 式 规 定 的 。 可 以 忽 略 的 。 理 论 真 值 ： 理 论 上 推 导 分 析 出 来 的 。 相 对 真 值 （ 实 际 值 ） ： 是 在 满 足 规 定 准 确 度 时 用 来 代 替 真 值 使 用 的 值 。（ 仪 表 校 准 ） 2、 标 称 值 ： 计 量 或 测 量 器 具 上 标 注 的 量 值 。3、 示 值 ： 由 测 量 仪 器 给 出 的 量 值 ， 也 称 测 量 值 。4、 准 确 度 ： 表 示 测 量 结 果 与 真 值 的 一 致 程 度 ， 是 一 个定 性 概 念 。 与 其 相 近 的 另 一 个 概 念 是 不 确 定 度 。5、 重 复 性 ： 在 相 同 条 件 下 ， 对 同 一 被 测 量 进 行 多 次 连续 测 量 所 得 结 果 之 间 的 一 致 性 。6、 误 差 公 理 ： 一 切 测 量 都 具 有 误 差 ， 误 差 自 始 自 终 存在 于 一 切 科 学 实 验 之 中 。 2.1.2 测 量 误 差 的 表 示 1 绝 对 误 差 ： A=Ax-A0 绝 对 误 差 的 负 值 称 之 为 修 正 值 ， 也 叫 补 值 ， 一 般 用 c表 示 ， 即 c=- A=A0-Ax 仪 器 的 修 正 值 一 般 是 计 量 部 门 检 定 给 出 。 示 值 加 上 修 正 值 可 获 得 真 值 ， 即 实 际 值 。2 相 对 误 差 ： 因 真 值 A 0是 无 法 知 道 ， 往 往 用 测 量 值 代 替 ， 即 在 实 际 测 量 中 ， 相 对 误 差 常 常 用 来 评 价 测 量 结 果 的 准 确 度 ， 相 对 误 差 越 小 准 确 度 愈 高 。 0 0 100%AA 100%x AA 绝 对 误 差相 对 误 差引 用 误 差容 许 误 差 3 引 用 误 差 ： 绝 对 误 差 与 测 量 仪 表 量 程 之 比 ， 用 百 分数 表 示 ， 即最 大 引 用 误 差 ： 确 定 测 量 仪 表 的 准 确 度 等 级 应 用 最 大 引 用 误 差 。 电 测 量 仪 表 的 准 确 度 等 级 指 数 a分 为 ： 0.1、 0.2、 0.5、 1.0 1.5、 2.5、 5.0等 7级 。 最 大 引 用 误 差 不 能 超 过 仪 表 准 确 度 等 级 指 数 a的 百 分 数 ， 即 电 测 量 仪 表 在 使 用 时 所 产 生 的 最 大 可 能 误 差 可 由 下 式 求 出 ： 100%n mAA | | 100%mnm mAA % nm a %m mA A a ( / ) %x m xA A a 例 某 1.0级 电 压 表 ， 量 程 为 300V,当 测 量 值 分 别 为U1=300V,U2=200V， U3=100V时 ， 试 求 出 测 量 值 的 (最 大 )绝 对 误差 和 示 值 相 对 误 差 。 解 ： U1= U2= U3= 300 1.0%= 3V U1=( U1 U1) 100%=( 3/300) 100%= 1.0% U2=( U2 U2) 100%=( 3/200) 100%= 1.5% U3=( U3 U3) 100%=( 3/100) 100%= 3.0% 测 量 仪 表 产 生 的 示 值 测 量 误 差 x不 仅 与 所 选 仪 表 等 级 指数 a有 关 ， 而 与 所 选 仪 表 的 量 程 有 关 。 一 般 不 小 于 满 度 值 的2/3。 4 容 许 误 差 ： 指 测 量 仪 器 在 使 用 条 件 下 可 能 产 生 的 最 大 误 差 范 围 ， 可 用 工 作 误 差 、 固有 误 差 、 影 响 误 差 、 稳 定 性 误 差 来 描 述 。 容 许 误 差 通 常 用 绝 对 误 差 表 示 ： = (Ax %+Am %) 模 拟 仪 表 使 用 ， 例 ： 电 位 差 计 可 忽 略 = (Ax %+n个 字 ) 数 字 式 仪 表 一 般 常 用 式 中 Ax 测 量 值 或 示 值 ； Am 量 限 或 量 程 值 ； 误 差 的 相 对 项 系 数 ； 固 定 项 系 数 。 当 5 项 可 忽 略 “ n个 字 ” 所 表 示 的 误 差 值 是 数 字 仪 表 在 给 定 量 限 下 的 分 辨 力 的 n倍 ， 即 末 位一 个 字 所 代 表 的 被 测 量 量 值 的 n倍 。 例 如 ， 某 3位 数 字 电 压 表 ， 当 n为 5， 在 1V量 限 时 ， “ n个 字 ” 表 示 的 电 压误 差 是 5mV， 而 在 10V量 限 时 ,n个 字 ” 表 示 的 电 压 误 差 是 50mV。 例 ： 某 四 位 半 数 字 电 压 表 ， 量 程 为 2V， 工 作 误 差 为 = 0.025%UX 1个 字 ，用 该 表 测 量 时 ， 读 数 分 别 为 0.0012V和 1.9888V， 试 求 两 种 情 况 下 的 绝 对 误差 和 相 对 误 差 。解 ： 四 位 半 表 分 辨 率 为 0.0001V . 9 9 9 9 41 4 11 1 42 422 2(0.025% 0.0012 0.0001 1) 1.0030 101.0030 10100% 100% 8.36%0.0012(0.025% 1.9888 0.0001 1) 5.9720 105.9720 10100% 100% 0.030%1.9888xx VA VA 2.1.3 测 量 误 差 的 分 类 1 系 统 误 差 ： 大 小 、 方 向 恒 定 不 变 或 按 一 定 规 律 变 化 ， 可 预 知 、 可 修 正 。 基 本 误 差 :测 量 设 备 不 准 确 或 准 确 度 等 级 不 高 。 附 加 误 差 :超 过 正 常 工 作 范 围 带 来 的 误 差 。 理 论 误 差 （ 方 法 误 差 ） :测 量 方 法 、 理 论 不 完 善 所 带 来 的 误 差 人 员 误 差 ： 试 验 人 员 疏 忽 大 意 、 测 量 素 质 不 高 产 生 的 人 员 误 差 。 2 随 机 误 差 ：误 差 是 随 机 的 、 可 变 的 ， 不 可 预 知 、 不 可 修 正 ， 但 可 用 统 计 学 方 法 处 理 。3 粗 大 误 差 ：明 显 偏 离 真 值 （ 异 常 值 、 坏 值 ） ， 应 剔 除 。 系 统 误 差随 机 误 差粗 大 误 差 1.系 统 误 差n定 义 ： 在 同 一 测 量 条 件 下 ， 多 次 重 复 测 量 同 一 量 时 ， 测 量误 差 的 绝 对 值 和 符 号 都 保 持 不 变 ， 或 在 测 量 条 件 改 变 时 按一 定 规 律 变 化 的 误 差 ， 称 为 系 统 误 差 。 例 如 仪 器 的 刻 度 误差 和 零 位 误 差 ， 或 值 随 温 度 变 化 的 误 差 。n 产 生 的 主 要 原 因 是 仪 器 的 制 造 、 安 装 或 使 用 方 法 不 正 确 ， 环 境 因 素（ 温 度 、 湿 度 、 电 源 等 ） 影 响 ， 测 量 原 理 中 使 用 近 似 计 算 公 式 ， 测 量人 员 不 良 的 读 数 习 惯 等 。n 系 统 误 差 表 明 了 一 个 测 量 结 果 偏 离 真 值 或 实 际 值 的 程 度 。 系 差 越 小 ，测 量 就 越 准 确 。n 系 统 误 差 的 定 量 定 义 是 ： 在 重 复 性 条 件 下 ， 对 同 一 被 测 量 进 行 无 限 多次 测 量 所 得 结 果 的 平 均 值 与 被 测 量 的 真 值 之 差 。 即 0 x A 2.随 机 误 差定 义 : 在 同 一 测 量 条 件 下 （ 指 在 测 量 环 境 、 测 量 人 员 、测 量 技 术 和 测 量 仪 器 都 相 同 的 条 件 下 ） ， 多 次 重 复 测量 同 一 量 值 时 （ 等 精 度 测 量 ） ， 每 次 测 量 误 差 的 绝 对值 和 符 号 都 以 不 可 预 知 的 方 式 变 化 的 误 差 ， 称 为 随 机误 差 或 偶 然 误 差 ， 简 称 随 差 。 随 机 误 差 主 要 由 对 测 量 值 影 响 微 小 但 却 互 不 相 关 的大 量 因 素 共 同 造 成 。 这 些 因 素 主 要 是 噪 声 干 扰 、 电 磁场 微 变 、 零 件 的 摩 擦 和 配 合 间 隙 、 热 起 伏 、 空 气 扰 动 、大 地 微 震 、 测 量 人 员 感 官 的 无 规 律 变 化 等 。 例 ： 对 一 不 变 的 电 压 在 相 同 情 况 下 ， 多 次 测 量 得到 1.235V， 1.237V， 1.234V， 1.236V，1.235V， 1.237V。n 单 次 测 量 的 随 差 没 有 规 律 ;n 但 多 次 测 量 的 总 体 却 服 从 统 计 规 律 ;n 可 通 过 数 理 统 计 的 方 法 来 处 理 ,即 求 算 术 平 均值 。u随 机 误 差 定 义 ： 测 量 结 果 与 在 重 复 性 条 件 下 ， 对 同一 被 测 量 进 行 无 限 多 次 测 量 所 得 结 果 的 平 均 值 之 差 i ix x ( )n 3.粗 大 误 差 ： n 定 义 ： 粗 大 误 差 是 一 种 显 然 与 实 际 值 不 符 的 误 差 。n 产 生 粗 差 的 原 因 有 ： 测 量 操 作 疏 忽 和 失 误 如 测 错 、 读 错 、 记 错 以 及 实 验条 件 未 达 到 预 定 的 要 求 而 匆 忙 实 验 等 。 测 量 方 法 不 当 或 错 误 如 用 普 通 万 用 表 电 压 档 直 接 测高 内 阻 电 源 的 开 路 电 压 测 量 环 境 条 件 的 突 然 变 化 如 电 源 电 压 突 然 增 高 或 降低 ， 雷 电 干 扰 、 机 械 冲 击 等 引 起 测 量 仪 器 示 值 的 剧 烈变 化 等 。n 含 有 粗 差 的 测 量 值 称 为 坏 值 或 异 常 值 ， 在 数 据 处 理 时 ， 应剔 除 掉 。 2.1.4 有 效 数 字1 数 据 的 舍 入 规 则 小 于 5舍 去 ； 大 于 5进 1； 等 于 5则 应 用 偶 数 法 则 ， 末 位 是 偶 数 ， 则 末 位 不 变 ；末 位 是 奇 数 ， 则 末 位 增 加 1。例 如 ， 将 下 列 数 据 舍 入 到 小 数 第 二 位 。 25.325 0 25.32 （ 0.005 0=0.005， 末 位 为 偶 数 舍 去 ） 17.695 5 17.70 （ 0.005 5=0.005， 末 位 为 奇 数 进 1） 123.105 123.10 （ 0.005 0=0.005， 末 位 为 0， 按 偶 数 处 理 ， 舍 去 ） 2 有 效 数 字 若 截 取 得 到 的 近 似 数 ， 其 截 取 或 舍 入 误 差 的 绝 对 值 不 超 过 近 似 数 末位 的 半 个 单 位 ， 则 该 近 似 数 从 左 边 第 一 个 非 零 数 字 到 最 末 一 位 数 字 为止 的 全 部 数 字 ， 称 之 为 有 效 数 字 。3 测 量 结 果 有 效 数 字 位 数 的 确 定 数 据 记 录 、 运 算 的 准 确 性 要 和测 量 的 准 确 性 相 适 应 ！ cm674.1x cm04.0 xcm04.067.1 x测 量 值 的 末 位 数 与 误 差 的 末 位 数 对 齐 有 效 数 字 :所 有 准 确 数 字 和 一 位 欠 准 确 数 字 cm?04.0674.1 x 数 学 ： 2500.025.0 物 理 测 量 ： cm00.25m25.0 有 效 数 字 位 数 越 多 ， 测 量 精 度 越 高 数 字 取 舍 规 则,m/s755.9 2g如 29.74500m/s ,g 如 29.74501m/s ,g 如 29.74m/s ,g 29.75m/s ,g 29.76m/s ,g 运 算 结 果 (测 量 值 )的 末 位 数 应 与 误 差 的 末 位 数 对 齐 。 p 小 于 5舍 去 ；p 大 于 5进 1；p 等 于 5则 应 用 偶 数 法 则 ， 末 位 是 偶 数 ， 则 末 位 不 变 ； 末 位 是 奇 数 ， 则 末 位 增 加 1。25.325 025.32 17.695 517.70 2.2 系 统 误 差 的 消 除2.2.1 从 产 生 系 统 误 差 的 来 源 上 消 除基 本 误 差 ： 选 择 准 确 度 等 级 高 的 仪 器 设 备 ；u附 加 误 差 ： 使 仪 器 设 备 工 作 在 其 规 定 的 工 作 条 件 下 ，使 用 前 正 确 调 零 、 预 热 以 消 除 仪 器 设 备 的 ；u方 法 误 差 和 理 论 误 差 ： 选 择 合 理 的 测 量 方 法 ， 设 计正 确 的 测 量 步 骤 ；u人 员 误 差 ： 提 高 测 量 人 员 的 测 量 素 质 ， 改 善 测 量 条 件(选 用 智 能 化 、 数 字 化 仪 器 仪 表 等 )。 2.2 系 统 误 差 的 消 除2.2.2 利 用 修 正 的 方 法 来 消 除 C称 为 修 正 值 ， 由 计 量 部 门 检 定 时 给 出 2.2.3 利 用 特 殊 的 测 量 方 法 消 除 u 替 代 法 ； u 差 值 法 ；u 正 负 误 差 补 偿 法 ；u 对 称 观 测 法 ； u 迭 代 自 校 法 00 A xxC A AA A C 替 代 法 在 测 量 条 件 不 变 的 情 况 下 ， 用 一 已 知 的 标 准 量 去 替代 未 知 的 被 测 量 ， 通 过 调 整 标 准 量 而 保 持 替 代 前 后仪 器 的 示 值 不 变 ， 标 准 量 的 值 等 于 被 测 量 值 。 替 代 法 的 测 量 原 理x s 0- v + v2KK1 （ b ) 零 示 法( a ) 偏 转 法 x s 0- v + v2KK1 r 交 换 法p通 过 交 换 被 测 量 和 标 准 量 的 位 置 ， 从 前 后 两 次 换 位 测 量 结果 的 处 理 中 ， 削 弱 或 消 除 系 统 误 差 。p特 别 适 用 于 平 衡 对 称 结 构 的 测 量 装 置 中 ， 并 通 过 交 换 法 可检 查 其 对 称 性 是 否 良 好 。第 一 次 平 衡 第 二 次 平 衡 上 两 式 相 乘 、 开 方 得 ： 1 2 1 21( )2xW WW W W 1 1 2xW l W l2 2 1xW l W l (a) 天 平 称 重xW W1l1 l2 xWW2 l1 l2 例 ： 在 电 桥 中 采 用 交 换 法 测 电 阻 1 2 1 21 ( )2x s s s sR R R R R 2.3 随 机 误 差 的 处 理 2.3.1 随 机 误 差 的 统 计 特 性 和 概 率 分 布1 测 量 误 差 的 数 学 表 达根 据 误 差 理 论 ， 任 何 一 次 测 量 中 ， 一 般 都 含 有 系 统 误 差 和 随 机 误 差 ， 即 A= + =Ax-A0在 一 般 工 程 测 量 中 ， 系 统 误 差 远 大 于 随 机 误 差 ， 即 ， 相 对 来 讲 随 机 误 差 可 以 忽 略 不 计 ， 此 时 只 需 处理 和 估 计 系 统 误 差 即 可 。在 精 密 测 量 中 ， 系 统 误 差 已 经 消 除 或 小 得 可 以 忽 略 不 计时 ， 即 0。 2 随 机 误 差 的 统 计 特 性)( xf x 1lim 0n in i x 3 随 机 误 差 的 概 率 分 布（ 1） 正 态 分 布 的 随 机 误 差 ， 其 概 率 密 度 函 数 式 中 和 2随 机 误 差 的 标 准 差 和 方 差 2 2/ 2 ( )1( ) ( ) 2 e （ 2） 均 匀 分 布 特 点 ： 在 某 一 区 域 内 ， 随 机 误 差 出 现 的 概 率 处 处 相 等 ， 而 在 该 区 域 外 随 机 误 差 出 现的 概 率 为 零 。 均 匀 分 布 的 概 率 密 度 函 数 ( )为式 中 a随 机 误 差 的 极 限 值 。 )|(|0 )(21)( a aaa 仪 器 度 盘 刻 度 差 引 起 的 误 差 ；仪 器 最 小 分 辨 率 限 制 引 起 的 误差数 字 仪 表 的 量 化 ( 1)误 差数 字 计 算 中 的 舍 入 误 差对 于 一 些 只 知 道 误 差 出 现 的 大致 范 围 ， 而 不 知 其 分 布 规 律 的误 差 ， 在 处 理 时 经 常 按 均 匀 分 布 的 误 差 对 待 。 （ 3） t分 布 主 要 用 来 处 理 小 样 本 (即 测 量 数 据 比 较 少 )的 测 量 数 据 。 正 态分 布 理 论 只 适 合 于 大 样 本 的 测 量 数 据 。t分 布 的 概 率 密 度 函 数 (t)为 ： 2 22( )2( , ) (1 )( )2 nk tt k k kk 和 标 准 正 态 分 布 的 图 形 类 似 ；特 点 是 分 布 与 标 准 差 的 估 计 值无 关 ， 但 与 自 由 度 (n-1)有 关 ；当 n较 大 (n30)时 ， t分 布 和 正态 分 布 的 差 异 就 很 小 了 ， 当n 时 ， 两 者 就 完 全 相 同 了 。 4 随 机 变 量 中 幅 值 的 特 征 参 量随 机 变 量 通 常 有 两 个 重 要 特 征 参 数 ， 即 数 学 期 望 和 方 差 (标 准 偏 差 )。数 学 期 望 体 现 了 随 机 变 量 分 布 中 心 的 位 置 ；方 差 反 映 了 随 机 变 量 对 分 布 中 心 的 离 散 程 度 。1 测 量 数 据 的 数 学 期 望 式 中 n测 量 次 数 ； A i第 i次 的 测 量 读 数 . 2 随 机 变 量 的 方 差 和 标 准 差标 准 偏 差 （ 简 称 标 准 差 ） ： ni i nAnAM 1 )(1)(2 2 21 11 1( ) ( ) ( )n ni ii iA A M A nn n )(1)( 1 2 nnA ni i 2.3.2 随 机 误 差 的 估 计 1 算 术 平 均 值 原 理 测 量 列 的 算 术 平 均 值 是 最 佳 可 信 赖 值 ， 是 被 测 量 A数 学 期 望 (真值 )M(A)的 最 佳 估 计 ， 这 一 原 理 被 称 之 为 算 术 平 均 值 原 理 。算 术 平 均 值 的 数 学 表 达 为 ：算 术 平 均 值 具 有 以 下 特 点 ： 一 致 性 :随 着 测 量 次 数 n的 增 加 ， 趋 于 被 测 参 数 的 无 偏 性 ： 估 计 值 A围 绕 M(A)摆 动 ， 且 有 效 性 :A摆 动 幅 度 比 单 个 测 量 值 小 ； 充 分 性 ： A包 含 了 样 本 (测 量 列 )的 全 部 信 息 ni iAnA 11 )()( AMAM )(AM 2 标 准 偏 差 的 估 计 ：式 中 i剩 余 误 差 ， 其 定 义 是 (i=1,2,n)方 差 估 计 值 的 实 用 算 法 和 递 推 公 式 分 别 为 ： ni ivn 1 22 11 ni ivn 1 211 AAv ii )(111 2112 ni ini i AnAn 212 12 )(112 nnnn AAnnn 3 算 术 平 均 值 的 标 准 差 实 际 测 量 中 ， 测 量 次 数 一 般 取 1020次 。 若 要 进 一 步 提 高 测 量准 确 度 ， 需 从 选 择 更 高 准 确 度 的 测 量 仪 器 、 更 合 理 的 测 量 方 法 、 更好 的 控 制 测 量 条 件 等 方 面 入 手 。 ( ) ( )/A A n nA /)( 22 算 术 平 均 值 的 方 差 估 计 值 算 术 平 均 值 的 标 准 差 估 计 值 【 例 】 用 温 度 计 重 复 测 量 某 个 不 变 的 温 度 ， 得 11个 测 量 值的 序 列 （ 见 下 表 ） 。 求 测 量 值 的 平 均 值 及 其 标 准 偏 差 。解 ： 平 均 值 用 公 式 计 算 各 测 量 值 残 差 列 于 上 表 中 实 验 偏 差 标 准 偏 差 )(1.530)531530532530529533531527529531528(1111 1 Cxnx oni i xxii )(767.111)( 1 2 Cnxs oni i )(53.011767.1)()( Cnxsxs ox 4 测 量 结 果 的 置 信 度（ 1） 置 信 度 的 概 念 表 征 测 量 数 据 或 结 果 可 信 赖 程 度 的 一 个 参 数 置 信 区 间 M(A)-K (A),M(A)+K (A) K置 信 因 子 置 信 概 率 Ai在 置 信 区 间 中 的 概 率 P。 置 信 概 率 可 信 度（ 2） 置 信 度 的 几 何 意 义 ： 在 同 一 分 布 下 ， 置 信 区 间 愈 宽 ， 置 信 概 率 (概 率 曲 线 、 置 信区 间 和 横 轴 围 成 的 图 形 面 积 )也 就 愈 大 ， 反 之 亦 然 。 在 不 同 的 分 布 下 当 置 信 区 间 给 定 时 ， 标 准 差 愈 小 ， 置 信 因 子和 相 应 的 置 信 概 率 也 就 愈 大 ， 反 映 出 测 量 数 据 的 可 信 度 就 愈 高 。 置 信 概 率 是 图 中阴 影 部 分 面 积内 包 含 真 值 的 概 率 称 为 置 信 概 率k ( )x M A k （ 3） 正 态 分 布 的 置 信 概 率 当 分 布 和 k值 确 定 之 后 ， 则 置 信 概 率 可 定 正 态 分 布 ,当 k=3时置 信 因 子 k 置 信 概 率 Pc1 0.682692 0.95450 3 0.99730 kk dpkPkxExP )()( 997.0)2exp(21)()3( 2233 33 ddpP 区 间 越 宽 ，置 信 概 率 越 大 （ 4） t分 布 的 置 信 限ut分 布 与 测 量 次 数 有 关 。 当 n足 够 大 时 ， t分布 趋 于 正 态 分 布 。 正 态 分 布 是 t分 布 的 极 限分 布 。u给 定 置 信 概 率 和 测 量 次 数 n， 查 表 得 置 信 因子 kt。 自 由 度 ： v=n-1 （ 5） 非 正 态 分 布 的 置 信 因 子 由 于 常 见 的 非 正 态 分 布 都 是 有 限 的 ， 设 其 置 信 限 为误 差 极 限 ， 即 误 差 的 置 信 区 间 为 置 信概 率 为 100 。（ P=1) 反 正弦均 匀三 角分 布 236k ka 3a3akka 3k -a aP(x) x0 例 对 某 电 容 进 行 了 8次 等 精 度 、 无 系 差 、 独 立 测 量 ， 测 量 值 如 下 (单 位 为 F): Ci 75.01, 75.04, 75.07, 75.03, 75.09, 75.06, 75.02, 75.08 试 求 被 测 电 容 的 估 计 值 和 当 P=0.99时 被 测 电 容 真 值 的 置 信 区 间 。 解 ： 根 据 平 均 值 原 理 ， 被 测 电 容 的 估 计 值 是 测 量 数 据 的 算 术 平 均 值 ， 即 测 量 列 的 方 差 估 计 值 为 测 量 列 的 标 准 差 估 计 值 为 n in i CCnCCnC 1 1 )(11 F05.75 05.000.75 )08.002.006.009.003.007.004.001.0(8100.75 222281 22 )02.0()02.0()01.0()04.0(7111)( ivnC 2 2222 851000.0 )03.0()03.0()01.0()04.0( F FCc 029.0)()( 2 测 量 列 平 均 值 的 标 准 差 估 计 值 为 当 P=0.99,k=7,由 表 2-2查 得 Kt=3.50,于 是 可 得 被 测 电 容 置 信 区 间 为故 被 测 电 容 真 值 C 0以 0.99的 置 信 概 率 可 能 处 在 75.01 75.09 F范 围 内 。 09.75,01.75 01.050.305.75,01.050.305.75 )(),( FF CKCCKC tt FnC 01.0)( （ 6） 计 算 ： 要 会 通 过 查 表 由 K求 P， 或 由 P求 K 在 正 态 分 布 下 ， n20次 。 K=1 P=68.27% K=2 P=95.45% K=3 P=99.73%表 示 ： K 3时 区 间 内 置 信 率 为 99.73%。 ( ) 3 ( )M A A 2.4 粗 大 误 差 的 剔 除p大 误 差 出 现 的 概 率 很 小 ， 列 出 可 疑 数 据 ， 分析 是 否 是 粗 大 误 差 ， 若 是 ， 则 应 将 对 应 的 测量 值 剔 除 。p 1. 粗 大 误 差 产 生 原 因 测 量 人 员 的 主 观 原 因 ： 操 作 失 误 或 错 误 记 录 ； 客 观 外 界 条 件 的 原 因 ： 测 量 条 件 意 外 改 变 、 受 较 大 的 电 磁 干 扰 ， 或 测量 仪 器 偶 然 失 效 等 。 2. 粗 大 误 差 的 判 别 准 则统 计 学 的 方 法 的 基 本 思 想 是 ： 给 定 一 置 信 概 率 ， 确 定 相 应 的置 信 区 间 ， 凡 超 过 置 信 区 间 的 误 差 就 认 为 是 粗 大 误 差 ， 并 予以 剔 除 。拉 依 达 准 则格 罗 布 斯 准 则 3i max 0 ( , )g n a （ 1） 拉 依 达 准 则拉 依 达 准 则 ： 设 测 量 数 据 中 ， 测 量 值 Ak的 随 机 误 差 为 K， 当 K 3 (A)时 ， 则 测 量 值 AK是 含 有 粗 大 误 差 的 异 常 值 ， 应 予 以 剔 除 。在 实 际 应 用 中 ， 则 使 用 剩 余 误 差 和 标 准 差 的 估 计 值 ， 即 （ 2） 格 罗 布 斯 (Grubbs)准 则 格 罗 布 斯 准 则 是 由 数 理 统 计 方 法 推 导 出 的 比 较 严 谨 的 结 论 ，具 有 明 确 的 概 率 意 义 。 当 测 量 数 据 中 ， 测 量 值 A K的 剩 余 误 差 K满 足 则 测 量 值 Ak是 含 有 粗 大 误 差 的 异 常 值 ， 应 予 以 剔 除 。 )(3| Av K )(),(| 0 AangvK 3 应 注 意 的 问 题 所 有 的 检 验 法 都 是 人 为 主 观 拟 定 的 ， 至 今无 统 一 的 规 定 。 当 偏 离 正 态 分 布 和 测 量 次 数少 时 检 验 不 一 定 可 靠 。 若 有 多 个 可 疑 数 据 同 时 超 过 检 验 所 定 置 信区 间 ， 应 逐 个 剔 除 ， 重 新 计 算 ， 再 行 判 别 。若 有 两 个 相 同 数 据 超 出 范 围 时 ， 应 逐 个 剔 除 。 在 一 组 测 量 数 据 中 ， 可 疑 数 据 应 很 少 。 反之 ， 说 明 系 统 工 作 不 正 常 。 粗 大 误 差 剔 除 的 小 结 ： 无 系 统 误 差 （ 准 确 度 较 高 的 表 ） 等 精 度 多 次 测 量 得 Ai , i=1,2,3n（ 1） 求 平 均 值 ：（ 2） 求 标 准 差 ：（ 3） 剔 除 粗 大 误 差 AK， 若 有 重 复 （ 1） 、 （ 2） ；（ 4） 计 算 其 算 术 平 均 值 的 标 准 差 ：（ 5） 给 出 置 信 概 率 下 结 果 ： 单 位 ni iAnA 11 21ivn ( ) /A A n ( )A k A 例 ： 用 准 确 度 较 高 的 测 量 仪 器 对 某 电 阻 进 行 16次 等 精 度 测 量 ， 测 量 结 果 ：34.86, 35.21, 34.97, 35.14, 35.35, 35.21, 35.16, 35.22, 35.30, 35.71, 35.94, 35.63, 35.65, 35.70, 35.24, 35.36， 求 被 测 量 电 阻 的 测 量 结 果 。解 ： a. 无 系 统 误 差 ； b. c. d.第 13次 ， 36.65-35.30=1.35 该 值 应 剔 除 。 e.重 新 计 算 15次 测 量 的 f. i35.30 , v iR A A 2 0.4431ivn 3 ( )R 35.21 ( ) 0.34R R 0.34( ) / 0.0915 R= 3 ( ) 35.21 0.27R n R R 测 量 结 果 ： 【 例 】 对 某 电 压 进 行 了 16次 等 精 度 测 量 ， 测 量 数 据 中 已 记 入 修正 值 ， 列 于 表 中 。 要 求 给 出 包 括 误 差 在 内 的 测 量 结 果 表 达 式 。 1 205.3 0 0.09 9 205.71 0.41 0.5 2 204.94 -0.4 -0.27 10 204.7 -0.6 -0.51 3 205.63 0.33 0.42 11 204.86 -0.44 -0.35 4 205.24 -0.1 0.03 12 205.35 0.05 0.14 5 206.65 1.35 13 205.21 -0.09 0 6 204.97 -0.3 -0.24 14 205.19 -0.11 -0.02 7 205.36 0.06 0.15 15 205.21 -0.09 0 8 205.16 -0.1 -0.05 16 205.32 0.02 0.11 残 差 残 差测 量 值序 号 残 差 残 差 序 号测 量 值 2.5 测 量 结 果 误 差 的 估 计2.5.1 直 接 测 量 结 果 的 误 差 估 计1.已 知 仪 表 的 量 程 和 准 确 度 等 级 ， 测 量 结 果 表 示 ： A= aAm% 式 中 A， A测 量 结 果 Ax的 绝 对 误 差 和 相 对 误 差 ， Ax为 测 量 结 果 ； a, Am分 别 为 仪 器 仪 表 的 准 确 度 等 级 和 量 程 。%aAAxmA 2.已 知 仪 器 仪 表 的 基 本 误 差 或 允 许 误 差 的 测 量 结 果 (数 字 表 )： A= = (Ax %+n个 字 ) A=( /Ax) 100%式 中 仪 器 仪 表 的 基 本 误 差 或 允 许 误 差 3.若 进 行 了 多 次 测 量 ， 则 还 应 考 虑 随 机 误 差 的 影 响 。 若 多 次 测量 的 标 准 偏 差 的 估 计 值 为 ， 则 测 量 误 差 为 A= (aAm%+K ) A= ( +K )式 中 K置 信 因 子 。 2.5.2 间 接 测 量 结 果 的 误 差 估 计 （ 误 差 合 成 ）问 题 ： 用 间 接 法 测 量 电 阻 消 耗 的 功 率 时 ， 需 测 量 电 阻 R、 端 电 压V和 电 流 I三 个 量 中 的 两 个 量 ， 如 何 根 据 电 阻 、 电 压 或 电 流 的误 差 来 推 算 功 率 的 误 差 呢 ？1 误 差 合 成 的 一 般 公 式设 测 量 结 果 y是 n个 独 立 变 量 A1,A2， ， An的 函 数 ， 即 y=f(A1,A2,An) 绝 对 误 差 ： 相 对 误 差 ：* 重 点 是 要 确 定 传 递 函 数 C 和 C 。 iFy iFy 函 数 总 误 差 等 于 各 误 差 分 量 的 代 数 和 2 误 差 传 递 系 数 的 确 定 确 定 误 差 传 递 系 数 是 误 差 合 成 的 关 键 。 传 递 系 数 确 定 的 常 用 方 法 有 微 分确 定 法 、 计 算 机 仿 真 确 定 法 和 实 验 确 定 法 。 (1)微 分 确 定 法 条 件 ： 适 合 于 确 切 知 道 函 数 的 关 系 式 ， 已 知 y=f(A1,A2,An) 。 结 论 ：（ 2） 计 算 机 仿 真 确 定 法（ 3） 实 验 确 定 法 。 iAfC i ii AfAC i ln 变 量 Ai对 函 数 y的 绝 对 误 差 传 递 系 数 等 于 y对 Ai的 一 阶 偏 导 数 。 变 量 Ai对 函 数 y的 相 对 误 差 传 递 系 数 ， 等 于函 数 y的 对 数 对 Ai的 一 阶 偏 导 数 乘 以 Ai。 p在 实 际 应 用 中 ， 由 于 分 项 误 差 符 号 不 定 而 可同 时 取 正 负 ， 有 时 就 采 用 保 守 的 办 法 来 估 算 误差 ， 即 将 式 中 各 分 项 取 绝 对 值 后 再 相 加p该 公 式 常 用 于 在 设 计 阶 段 中 对 传 感 器 、 仪 器及 系 统 等 的 误 差 进 行 分 析 和 估 算 ， 以 采 取 减 少误 差 的 相 应 措 施 。 但 是 ， 更 严 格 和 更 准 确 地 计算 合 成 误 差 的 方 法 是 测 量 不 确 定 度 理 论 中 的 合成 不 确 定 度 评 定 。 1n ii ify xx 几 个 典 型 特 例 ： 1 21 21 21 22 1 1 2 1 212 1 2n m1 21 21 . y = x ( ) y = x + xy y = x x2 . y = x y = x x + x x x3 . y = y =4 . y = x x y = n xxy r rx r rr m r 电 阻 串 联 例 已 知 R1的 绝 对 误 差 是 R1,R2的 绝 对 误 差 是 R2， 试 分 别 求 出 两 电 阻 串 联 和 并 联时 的 误 差 表 达 式 。 解 设 串 联 时 的 总 电 阻 为 RC， 则 RC=R1+R2 RC的 绝 对 误 差 为 RC= R1+ R2 设 并 联 时 的 总 电 阻 为 RB,则 )(1 21221 RRR RRRR iC 21 21 RR RRR B 221 212221 221 )(,)( RR RRRRR RRR BB )()( 1 211222212211 RRRRRRRRRRRRR BBB )()( 1 22111221 RRRRRRRRRRbBR B 2.5.4 测 量 结 果 的 表 示设 被 测 量 Y的 估 计 值 为 y， 估 计 值 所 包 含 的 已 定 系 统 误 差 分 量 为 y,估 计 值 的随 机 误 差 为 U， 则 被 测 量 Y的 测 量 结 果 可 表 示 为 Y=y- y U 或 者 y- y-U Y y- y+U 如 果 对 已 定 系 统 误 差 分 量 为 y=0， 也 就 是 说 测 量 结 果 的 估 计 值 y不 再 含 有 可修 正 的 系 统 误 差 ， 而 仅 含 有 不 确 定 的 误 差 分 量 ， 此 时 ， 测 量 结 果 可 用 下 式 表 示 Y=y U y-U Y y+U 用 上 述 两 种 形 式 给 出 测 量 结 果 时 ， 应 指 明 ky的 大 小 或 测 量 结 果 的 概 率 分 布 及置 信 概 率 p。在 测 量 实 践 中 ， 常 见 的 测 量 结 果 的 表 达 形 式 有 ： Y=y U (p=0.68) Y=y U Y=y U (p=0.99) 2.7 微 小 误 差 准 则 与 比 对 标 准 的 选 取 2.7.1 微 小 误 差 准 则 根 据 有 效 数 字 规 则 ， 当 某 一 项 误 差 忽 略 后 所 带 来 的 计 算 误 差 不 超 过 总 误 差 末 位 的半 个 单 位 ， 该 项 误 差 就 是 微 小 误 差 ， 也 是 微 小 误 差 的 基 本 准 则 。对 于 已 定 系 统 误 差 合 成 ， 若 某 项 误 差 分 量 不 大 于 总 误 差 的 1/20时 ， 则 该 误 差 分 量 可视 为 微 小 误 差 ， 即 可 忽 略 不 计 。 对 于 工 程 测 量 ， 上 述 准 则 可 放 宽 到 某 项 误 差 分 量 不 大于 总 误 差 的 1/10时 ， 则 该 误 差 分 量 即 可 忽 略 。2.7.2 比 对 标 准 的 选 取比 对 标 准 的 选 取 在 仪 器 仪 表 的 检 定 中 是 首 先 要 解 决 的 问 题 。当 被 检 仪 器 的 允 许 误 差 用 一 位 有 效 数 字 表 示 时 ， 标 准 仪 器 (或 量 具 )的 误 差 可 忽 略 的条 件 是 式 中 UN标 准 仪 器 (或 量 具 )的 允 许 误 差 ； Ux被 检 仪 器 的 允 许 误 差 。被 检 误 差 中 以 正 态 分 布 的 随 机 误 差 或 未 定 系 统 误 差 为 主 时 ， 标 准 仪 器 的 误 差 可 忽 略条 件 是 xN UU )3191( xN UU 31