计算机组成原理电子教案第2章

第 二 章 计 算 机 的 数 据 表 示 计算机组成原理电子教案 陆 遥 2.1 字 符 数 据 的 表 示2.2 逻 辑 数 据 的 表 示2.3 校 验 码 2.3.1 码 距 与 校 验 位 的 概 念 2.3.2 奇 偶 校 验 码 2.3.3 海 明 校 验 码 2.3.4 循 环 冗 余 校 验 码2.4 数 值 数 据 的 表 示 2.4.1 数 的 二 进 制 真 值 表 示 2.4.2 用 BCD码 表 示 十 进 制 数 2.4.3 定 点 数 的 表 示 2.4.4 浮 点 数 的 表 示 2.1 字 符 数 据 的 表 示n 字 符 在 计 算 机 中 的 二 进 制 编 码 称 为 字 符 代 码 。 目前 ， 计 算 机 中 普 遍 使 用 的 字 符 代 码 是 长 度 为 7位 的ASCII码 （ 美 国 信 息 交 换 标 准 代 码 ） 。n ASCII码 在 存 储 器 中 存 放 时 ， 需 要 占 用 存 储 器 的一 个 字 节 （ 8位 ） ， 其 中 的 最 高 位 （ b7） 置 为 0或用 作 奇 偶 校 验 位 。n 字 符 串 被 看 作 是 一 种 数 据 结 构 ， 它 是 若 干 字 符 组成 的 一 个 序 列 ， 属 于 线 性 结 构 。 字 符 串 在 计 算 机中 的 存 储 一 般 采 用 顺 序 存 储 结 构 ， 串 中 每 个 字 符都 用 ASCII码 表 示 ， 占 用 一 个 字 节 。 设 字 符 串 “ Very good!”存 储 在 从 主 存 地 址 i开 始 的连 续 字 节 中 ， 则 其 存 储 结 果 为 2.2 逻 辑 数 据 的 表 示n 逻 辑 数 据 用 于 描 述 某 种 关 系 是 否 成 立 、 某 种 条 件是 否 满 足 、 某 种 状 态 是 否 出 现 、 某 种 控 制 是 否 有效 等 。n 逻 辑 数 据 所 描 述 的 结 果 总 是 只 有 两 种 可 能 ： 成 立或 不 成 立 ， 满 足 或 不 满 足 ， 出 现 或 未 出 现 、 有 效或 无 效 等 。n 逻 辑 数 据 的 两 种 值 被 分 别 称 为 “ 真 ” 和 “ 假 ” 。“ 真 ” 代 表 关 系 成 立 、 条 件 满 足 、 状 态 出 现 、 控制 有 效 等 ， “ 假 ” 则 反 之 。 计 算 机 中 只 需 用 一 位二 进 制 数 字 的 0和 1两 种 状 态 ， 就 能 满 足 逻 辑 数 据表 示 的 需 要 ： 1表 示 “ 真 ” ， 0表 示 “ 假 ” 。 2.3 校 验 码n 数 据 校 验 码 是 一 类 能 够 发 现 甚 至 自 动 纠 正 某 些 数据 错 误 的 数 据 编 码 方 法 。n 通 常 ， 将 正 确 的 数 据 编 码 称 为 合 法 编 码 ， 而 将 错误 的 数 据 编 码 称 为 非 法 编 码 。n 校 验 码 的 设 计 原 则 ： 当 一 个 合 法 编 码 中 的 数 据 位发 生 错 误 时 ， 就 变 为 一 个 非 法 编 码 ， 而 不 是 变 为另 一 个 合 法 编 码 。 这 样 ， 只 要 检 测 到 非 法 编 码 ，就 能 发 现 数 据 错 误 。 2.3.1 码距与校验位的概念n 一 个 二 进 制 编 码 系 统 中 ， 当 两 个 不 同 的 合 法 编 码进 行 对 应 位 的 比 较 时 ， 会 有 一 些 位 上 的 取 值 不 同 ，这 些 取 值 不 同 的 位 的 位 数 称 为 这 两 个 编 码 的 码 距 ，也 称 海 明 距 离 。n 一 个 编 码 系 统 中 任 意 两 个 合 法 编 码 的 码 距 的 最 小值 ， 称 为 这 个 编 码 系 统 的 最 小 码 距 。n 一 个 编 码 系 统 不 仅 要 编 出 全 部 合 法 编 码 ， 还 应 能编 出 一 定 数 量 的 非 法 编 码 。 这 样 ， 在 合 法 编 码 出错 时 ， 才 有 可 能 变 成 非 法 编 码 而 被 检 出 。 n 编 码 系 统 中 包 含 的 非 法 编 码 称 为 冗 余 码 。为 了 形 成 冗 余 码 ， 需 要 在 编 码 中 增 加 冗 余位 （ 校 验 位 ） 。 一 个 n位 的 编 码 系 统 ， 如 果 不 设 校 验 位 ， 则无 冗 余 码 ， 全 部 2n个 编 码 均 为 合 法 编 码 ， 最小 码 距 必 然 为 1， 编 码 系 统 无 检 错 能 力 。 借 助 于 校 验 位 ， 可 以 使 编 码 系 统 的 最 小 码距 大 于 1， 而 与 某 个 合 法 编 码 的 码 距 小 于 最小 码 距 的 编 码 一 定 是 非 法 编 码 。 2.3.2 奇偶校验码n 奇 偶 校 验 码 是 在 基 本 编 码 之 上 增 加 一 个 校 验 位 奇 偶 校 验 位 而 形 成 的 。 奇 偶 校 验 分 为 奇 校 验 和偶 校 验 两 种 实 现 方 案 。 奇 校 验 是 通 过 校 验 位 的 调 节 ， 使 整 个 编 码 中 包 含的 二 进 制 1的 位 数 为 奇 数 。 偶 校 验 是 通 过 校 验 位 的 调 节 ， 使 整 个 编 码 中 包 含的 二 进 制 1的 位 数 为 偶 数 。 5位 偶 校 验 码 表 （ 最 高 位 为 校 验 位 ） 原 始 数 据 编 码（ 4位 ） 偶 校 验 编 码（ 5位 ） 原 始 数 据 编 码（ 4位 ） 偶 校 验 编 码（ 5位 ）0000 00000 1000 110000001 10001 1001 010010010 10010 1010 010100011 00011 1011 110110100 10100 1100 011000101 00101 1101 111010110 00110 1110 111100111 10111 1111 01111增 加 一 个 校 验 位 后 ， 最 小 码 距 从 1变 为 2。 表 中 未 列 出 的 另 16种 5位 编 码 就 是 本 编 码 系统 的 冗 余 码 ， 也 就 是 非 法 编 码 。 任 一 非 法编 码 均 与 表 中 某 个 合 法 编 码 的 码 距 为 1， 且合 法 编 码 出 错 的 位 数 为 奇 数 （ 1、 3或 5） 时 ，均 会 变 成 非 法 编 码 。 奇 偶 校 验 码 能 够 发 现 奇 数 个 编 码 位 的 错 误 ，但 无 法 确 定 出 错 位 的 位 置 ， 故 不 能 实 现 自动 纠 错 。 n 设 奇 偶 校 验 码 为 PDn-1Dn-2D1D0， 其 中 ， P为 校 验位 ， Dn-1Dn-2D1D0为 n个 数 据 编 码 位 ， 按 照 奇 偶校 验 码 的 编 码 方 法 ， 校 验 位 与 数 据 编 码 位 的 逻 辑关 系 为 ： 奇 校 验 ： 偶 校 验 ： 奇 偶 校 验 的 校 验 式 为 ： 对 偶 校 验 ， S=1时 编 码 有 错 ， S=0时 编 码 无 错 ， 对奇 校 验 则 正 好 相 反 。 0121 DDDDP nn 0121 DDDDP nn 0121 DDDDPS nn 2.3.3 海 明 校 验 码n 海 明 校 验 码 具 有 发 现 2位 错 误 并 纠 正 1位 错 误 的 能力 ， 是 一 种 广 泛 使 用 的 校 验 码 。n 海 明 校 验 码 的 设 计 原 理 ： 将 几 个 校 验 位 编 入 到 数据 码 的 特 定 位 置 ， 全 部 数 据 位 被 分 成 几 个 奇 偶 校验 组 ， 每 个 数 据 位 被 按 一 定 的 规 则 分 配 到 其 中 几个 组 中 ， 各 校 验 位 分 别 作 为 各 组 的 奇 偶 校 验 （ 一般 为 偶 校 验 ） 位 。 当 某 个 数 据 位 出 错 时 ， 将 会 导致 含 有 该 数 据 位 的 几 个 校 验 组 的 校 验 结 果 出 错 。根 据 出 错 校 验 组 的 不 同 组 合 ， 就 能 确 定 是 哪 个 数据 位 发 生 错 误 ， 进 而 自 动 纠 正 这 个 错 误 。 海 明 码 数 据 位 数 k与 校 验 位 数 r的 对 应 关 系 表 k值 最 小 的 r值1 45 1112 2627 5758 120 45678设 校 验 位 的 位 数 为 r， 数 据 位 的 位 数 为 k， 若 要 能 够发 现 2位 错 误 并 纠 正 1位 错 误 ， 则 需 满 足rk r 12 n 设 m = k + r， 则 海 明 码 是 一 个 m位 编 码 ， 设 其 一般 表 示 形 式 为 HmHm-1H2H1， 则 此 海 明 码 的 编 码规 则 是 ： 各 校 验 位 Pi（ i =1， 2， ， r） 被 安 排 在 编 码 的第 2i-1位 的 位 置 ， 编 码 中 的 其 余 位 为 数 据 位 。 如 校验 位 P3在 海 明 码 中 位 于 第 4（ 23-1） 位 ， 即 编 码 中的 H4。 海 明 码 的 每 个 位 被 分 配 到 几 个 奇 偶 校 验 组 中 ，所 以 ， 每 个 位 均 由 几 个 校 验 位 来 校 验 。 各 被 校 验位 与 相 关 的 校 验 位 之 间 的 关 系 是 ： 被 校 验 位 的 位号 是 相 关 各 校 验 位 的 位 号 之 和 （ 这 里 的 位 号 是 指其 在 海 明 码 中 的 位 号 ） 。 n 例 如 ， 当 k=4时 ， 有 r =4， 则 海 明 码 总 位 数 为 8，可 表 示 为 H8H7H6H5H4H3H2H1。 按 编 码 规 则 ， 4个校 验 位 P1、 P2、 P3、 P4被 分 别 安 排 在 H1、 H2、 H4和 H8。 如 以 Di和 Pi（ i =1， 2， 3， 4） 分 别 表 示 数据 位 和 校 验 位 ， 则 海 明 码 的 编 码 结 果 为P4D4D3D2P3D1P2P1 其 中 的 各 个 编 码 位 与 相 关 的 校 验 位 之 间 的 关 系 如下 表 所 示 ： 海 明 码 的 编 码 位 与 相 关 校 验 位 之 间 的 关 系海 明 码 位 号 数 据 位 /校 验 位 相 关 的 校 验 位 位 号H1 P1 1 （ 1=1）H2 P2 2 （ 2=2）H3 D1 1， 2 （ 3=1+2）H4 P3 4 （ 4=4）H5 D2 1， 4 （ 5=1+4）H6 D3 2， 4 （ 6=2+4）H 7 D4 1， 2， 4 （ 7=1+2+4）H8 P4 8 （ 8=8）可 见 ， P1要 对 数 据 位 D1、 D2、 D4进 行 校 验 ， P2要 对数 据 位 D1、 D3、 D4进 行 校 验 ， P3要 对 数 据 位 D2、 D3、D4进 行 校 验 。 如 选 择 偶 校 验 ， 有 对 应 的 三 个 校 验 式 为 4323 4312 4211 DDDP DDDP DDDP 43233 43122 42111 DDDPS DDDPS DDDPS 编 码 位 出 错 与 校 验 式 结 果 之 间 的 关 系 当 不 同 的 编 码 位 （ 包 括 数 据 位 和 校 验 位 ） 发 生 错误 时 ， 3个 校 验 式 的 值 组 成 的 二 进 制 序 列 S3S2S1就会 不 同 。出 错 的 编 码 位 校 验 式 结 果 S3S2S1 海 明 码 位 号P1 001 （ 1） H1P2 010 （ 2） H2D1 011 （ 3） H3P3 100 （ 4） H4D2 101 （ 5） H5D 3 110 （ 6） H6D4 111 （ 7） H7无 出 错 位 000 （ 0） 无 n 按 S3S2S1确 认 出 错 的 编 码 位 后 ， 只 需 将 该 编 码 位取 反 ， 即 可 纠 正 之 。 纠 错 时 ， 需 要 针 对 S3S2S1的每 种 取 值 （ 除 000外 ） 设 计 相 应 的 纠 错 电 路 ， 来 纠正 对 应 的 出 错 编 码 位 ， 硬 件 代 价 较 大 。n 海 明 码 还 能 检 出 2位 错 误 。 因 为 任 意 两 个 编 码 位 出错 ， 都 将 使 S3S2S1000。 但 仅 凭 S3S2S1000， 无 法区 分 是 2位 错 误 还 是 1位 错 误 。 为 此 ， 需 要 增 加 一个 总 校 验 位 P4， 使 得 并 增 设 一 个 奇 偶 校 验 式 S 4 =1， 发 生 1位 错 误 ； S4 =0， 发 生 2位 错 误 。32143214 PPPDDDDP 321432144 PPPDDDDPS 2.3.4 循环冗余校验码n 循 环 冗 余 校 验 （ CRC） 码 因 其 纠 错 能 力 强 ， 且 在信 息 量 较 大 的 情 况 下 ， 编 码 与 解 码 所 需 的 硬 件 代价 小 等 优 点 ， 被 广 泛 用 于 串 行 传 送 过 程 中 的 检 错与 纠 错 。n CRC码 也 称 为 （ n， k） 码 ， 它 是 在 k位 信 息 位 之后 拼 接 r位 校 验 位 而 形 成 的 n位 编 码 （ n=k+r） 。 1模2四则运算n CRC码 的 编 码 及 校 验 过 程 均 需 要 用 到 模 2四 则 运算 。 模 2运 算 是 按 位 运 算 ， 位 与 位 之 间 不 产 生 进 位或 借 位 。 模 2加 /减 运 算 ： 模 2加 与 模 2减 是 两 种 等 效 的 运 算 ， 均 等 同 于 逻 辑 异 或 运 算 ， 即 模 2乘 运 算 ： 在 对 部 分 积 求 和 时 按 模 2加 进 行 。例 如 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0baba 模 2除 运 算 ： 上 商 时 ， 如 果 上 一 次 部 分 余 数 的 最高 位 为 1， 则 本 次 上 商 为 1， 否 则 上 商 为 0； 求 部 分余 数 时 ， 按 模 2减 进 行 ； 将 每 次 求 得 的 部 分 余 数 的最 高 位 （ 总 是 0） 去 掉 ， 使 部 分 余 数 每 次 减 少 一 位 ，当 部 分 余 数 的 位 数 少 于 除 数 位 数 时 ， 即 为 最 终 的余 数 。 例 如 1 0 1 商 1 0 1 1 0 0 1 0 被 除 数 也 是 最 初 的 部 分 余 数 1 0 1 部 分 余 数 最 高 位 为 1， 上 商 为 1 0 0 1 1 0 去 掉 部 分 余 数 最 高 位 的 0， 部 分 余 数 减 少 一 位 0 0 0 部 分 余 数 最 高 位 为 0， 上 商 为 0 0 1 1 0 去 掉 部 分 余 数 最 高 位 的 0， 部 分 余 数 减 少 一 位 1 0 1 部 分 余 数 最 高 位 为 1， 上 商 为 1 0 1 1 去 掉 部 分 余 数 最 高 位 的 0， 得 最 终 余 数 11 2CRC码的编码方法n 一 个 k位 二 进 制 信 息 码 可 以 用 一个 多 项 式 表 示 ： M(x)称 为 信 息 码 多 项 式 。n 为 了 在 信 息 位 后 拼 接 r位 校 验 位 ， 需 将 k位 信 息 位向 左 移 动 r位 ， 得 多 项 式 M (x) xr。n r位 校 验 位 可 以 表 示 为 多 项 式 R (x)， 它 是 以 下 多 项式 运 算 产 生 的 余 数 （ 按 模 2运 算 ） 0121 DDDD kk 012211 DxDxDxDxM kkkk xG xRxQxG xxM r 上 式 中 ， G (x)被 称 为 生 成 多 项 式 ， 是 一 个 r阶 多 项式 ； Q (x)为 商 多 项 式 ； R (x)是 余 数 多 项 式 。n 将 R (x)拼 接 在 M (x)之 后 ， 即 得 到 完 整 的 CRC码 ，其 多 项 式 表 示 形 式 为 M (x) xr R (x)（ 模 2加 ） 。n CRC码 M (x) xr R (x)可 被 其 生 成 多 项 式 G (x)整除 （ 模 2除 ） ， 即 余 数 为 r位 全 0。 因 为 M (x) xr R (x) = Q (x) G (x) R (x) R (x) = Q (x) G (x) R (x) R (x) = Q (x) G (x) （ 模 2运 算 ） 【例2.1】 按 （ 7， 4） CRC码 的 编 码 规 则 ， 求 4位 信 息 码1100的 CRC码 ， 生 成 多 项 式 选 择 G (x) = x3 x 1。 解 ： 由 （ 7， 4） 码 可 知 r = 7 4 = 3， 即 校 验 位 有 3位 。 根据 4位 信 息 码 1100得 M (x) = x3 x2； M (x)左 移 r位 后 得 M (x) xr = (x3 x2) x3 = x6 x5 = 1100000 G (x) = x3 x 1 = 1011。 下 面 按 模 2除 求 3位 校 验 位 所 以 ， R (x) = 010。 由 此 可 得 CRC码 为 M (x) x r R (x) = 1100000 010 = 1100010 （ 模 2加 ） 1011010111010111100000 xG xxM r 3 CRC码的检错与纠错n CRC码 的 检 错 原 理 ： 数 据 传 送 的 接 收 方 在 接 收 到CRC码 后 ， 使 用 与 发 送 方 约 定 的 生 成 多 项 式 去 除该 CRC码 ， 如 果 余 数 为 r位 全 0， 则 收 到 的 CRC码无 错 误 ， 否 则 有 错 误 。n CRC码 的 纠 错 原 理 ： CRC码 不 同 位 上 的 错 误 将 导致 产 生 不 同 的 余 数 R (x)， 可 依 据 余 数 R (x)确 定 并纠 正 出 错 的 编 码 位 。 例 2.1的 （ 7， 4） CRC码 出 错 位 与 余 数 R (x)之 间 的 对 应 关 系（ 生 成 多 项 式 G (x) = 1011） A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 余 数 R (x) 出 错 位正 确 的 编 码 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 无发 生 1位 错误 的 编 码 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 10 1 01 0 00 1 11 1 01 1 11 0 1 1234567可 以 证 明 ， 只 要 CRC码 的 码 制 （ 即 （ n， k） 码 的 n、 k取 值 ）和 生 成 多 项 式 G (x)不 变 ， 信 息 码 M (x)的 变 化 不 改 变 出 错 位与 余 数 R (x)的 对 应 关 系 。 即 上 表 所 列 ， 为 所 有 以 G (x)= 1011 为 生 成 多 项 式 的 （ 7， 4） CRC码 的 出 错 模 式 。 n CRC码 还 有 一 个 重 要 特 点 ： 在 一 个 不 为 0的 余 数的 最 低 位 补 1个 0后 再 除 以 G (x)（ 模 2除 ） ， 所 得的 余 数 就 是 出 错 模 式 表 中 的 下 一 个 余 数 ； 如 此 继续 下 去 ， 各 次 产 生 的 余 数 将 按 出 错 模 式 表 中 的 顺序 循 环 变 化 。n 对 一 个 （ n， k） 码 ， 在 某 位 出 错 时 ， 从 对 应 的 余数 开 始 ， 按 上 述 方 法 产 生 余 数 的 循 环 变 化 ， 同 时每 次 使 整 个 CRC码 循 环 左 移 1位 ， 当 余 数 变 到 对应 于 An出 错 的 余 数 时 ， 出 错 位 也 被 移 到 An的 位 置 ，此 时 将 A n取 反 实 现 纠 错 ， 然 后 继 续 做 余 数 的 循 环变 化 和 CRC码 的 循 环 左 移 ， 直 到 做 满 一 个 循 环（ n次 ） ， 就 得 到 了 一 个 纠 正 后 的 CRC码 。 n 利 用 CRC码 来 纠 错 ， 不 必 针 对 每 个 不 为 0的 余 数来 设 计 对 应 编 码 位 的 纠 错 电 路 ， 能 有 效 降 低 校 验电 路 的 硬 件 代 价 。 4生成多项式简介n 生 成 多 项 式 应 能 满 足 下 列 要 求 ： CRC码 的 任 何 一 位 出 错 ， 均 使 余 数 不 为 0； CRC码 的 不 同 位 出 错 时 ， 余 数 也 应 不 同 ； 对 不 为 0的 余 数 最 低 位 补 0后 继 续 作 模 2除 ， 应 能 使 余 数 循 环 。 若 要 求 余 数 为 r位 ， 则 生 成 多 项 式 应 为 r阶 。 n 生 成 多 项 式 的 求 取 方 法 ： 对 一 个 （ n， k） 码 来 说 ，可 将 （ xn -1） 按 模 2 运 算 规 则 分 解 为 若 干 质 因 子 ，根 据 编 码 所 要 求 的 码 距 选 取 其 中 的 因 式 或 若 干 因式 的 乘 积 作 为 生 成 多 项 式 。 【例2.2】 设 n = 7， 则 按 模 2 运 算 规 则 ， 有 选 择 G (x) = x 1 = 11， 可 构 成 （ 7， 6） 码 ， 只 能 判 1位 错 。 选 择 G (x) = x 3 x 1 = 1011或 G (x) = x3 x2 1 = 1101，可 构 成 （ 7， 4） 码 ， 能 判 2位 错 或 纠 1位 错 。 选 择 G (x) = (x 1)(x3 x 1) = 11101， 可 构 成 （ 7， 3） 码 ，能 判 2位 错 并 纠 1位 错 。 )1)(1)(1(1 2337 xxxxxx 部 分 （ n， k） 码 的 生 成 多 项 式 G (x) n k 码 距 d G (x) 多 项 式 G (x)二 进 制 码7 4 3 G1(x) = (x3+x+1) 或 (x3+x2+1) 1011或 11013 4 G2(x) = G1(x) (x+1) = (x3+x+1) (x+1) 或 (x3+x2+1) (x+1) 11101或 1011115 11 3 G1(x) = (x4+x+1) 100117 5 G 2(x) = (x4+x+1) (x4+ x3+x2+x+1) 11101000131 26 3 G1(x) = (x5+x2+1) 10010121 5 G2(x) = (x5+x2+1) (x5+x4+ x3+x2+x+1) 1110110100163 57 3 G1(x) = (x6+x+1) 100001151 5 G2(x) = (x6+x+1) (x6+ x4+ x+1) 10100001101011041 1025 G (x) = (x16+ x15+x2 +1) 11000000000000101 2.4 数 值 数 据 的 表 示 n 数 值 数 据 是 计 算 机 中 用 于 各 种 算 术 运 算 的数 据 。n 计 算 机 中 表 示 数 值 数 据 要 解 决 有 效 数 字 、小 数 点 及 符 号 的 表 示 ， 还 要 便 于 数 据 的 运算 。 2.4.1 数的二进制真值表示n 所 谓 数 的 “ 真 值 ” 表 示 ， 是 相 对 于 数 在 计 算 机 中的 编 码 表 示 而 言 的 ， 也 就 是 人 们 平 时 所 习 惯 的 数的 书 面 表 示 形 式 。 如 +10000100 和 -1111011.01。n 在 计 算 机 中 ， 无 论 是 “ +”号 、 “ -”号 还 是 小 数 点“ .”， 都 属 于 字 符 ， 需 要 用 ASCII码 来 表 示 。 如 果计 算 机 中 也 采 用 真 值 表 示 数 据 的 话 ， 就 会 大 大 增加 信 息 的 存 储 量 ， 同 时 也 会 给 运 算 带 来 很 大 的 麻烦 。 n 计 算 机 中 的 数 值 数 据 采 用 特 殊 的 二 进 制 编 码 形 式表 示 ， 称 为 机 器 数 。 2.4.2 用BCD码表示十进制数n BCD（ binary coded decimal） 码 的 完 整 意 义 是“ 用 二 进 制 编 码 的 十 进 制 码 ” ， 它 采 用 4位 二 进 制编 码 表 示 1位 十 进 制 数 。n BCD码 分 有 权 码 与 无 权 码 两 类 。 有 权 码 如 8421码 、2421码 等 ； 无 权 码 如 余 3码 、 格 雷 码 等 。 n 采 用 8421码 可 以 进 行 十 进 制 算 术 运 算 ， 但 运 算 结果 可 能 需 要 修 正 。 典 型 BCD码 十 进 制 数 有 权 码 无 权 码8421码 2421码 余 3码 格 雷 码0 0000 0000 0011 00001 0001 0001 0100 00012 0010 0010 0101 00113 0011 0011 0110 00104 0100 0100 0111 01105 0101 1011 1000 11106 0110 1100 1001 10107 0111 1101 1010 10008 1000 1110 1011 1100 9 1001 1111 1100 0100 2.4.3 定点数的表示n 计 算 机 中 实 际 用 于 数 值 计 算 的 数 据 表 示 方 法 主 要有 定 点 数 表 示 法 和 浮 点 数 表 示 法 两 种 ； 定 点 数 表示 法 也 是 浮 点 数 表 示 法 的 基 础 。n 所 谓 定 点 数 表 示 ， 是 指 小 数 点 被 固 定 在 数 据 中 某个 特 定 位 置 上 的 数 据 表 示 方 法 。 定 点 整 数 ： 定 点 小 数 ： 其 中 ， x s是 数 的 符 号 。 0121 xxxxx nns 0121 xxxxx nns n 定 点 数 中 ， 小 数 点 的 位 置 可 以 看 作 是 默 认 的 ， 因此 ， 小 数 点 不 用 表 示 出 来 。n 符 号 的 表 示 是 定 点 数 表 示 必 须 要 解 决 的 问 题 。 带符 号 的 定 点 数 在 计 算 机 中 有 原 码 、 补 码 、 反 码 和移 码 等 四 种 编 码 表 示 方 法 。 1. 原码表示法n 原 码 以 0表 示 正 号 ， 以 1表 示 负 号 ， 直 接 置 于 数 的最 左 端 （ 即 最 高 位 位 置 ） ； 而 数 的 数 字 部 分 与 其绝 对 值 一 致 。 【例2.3】 若 x = +0.1011， 则 x 原 = 0.1011； 若 x = -0.1011， 则 x原 = 1.1011； 若 x = +1011， 则 x原 = 01011； 若 x = -1011， 则 x原 = 11011。 n 设 符 号 位 用 xs表 示 ， 各 数 据 位 用 xi（ i = 0， 1，2， ， n1） 表 示 ， 则 原 码 的 一 般 表 示 形 式 为x原 = xs xn1 xn2 x1 x0n 用 原 码 表 示 时 ， +0原 与 -0原 是 不 同 的 ：+0原 = 00000-0原 = 10000n 原 码 比 较 适 合 于 乘 除 运 算 。 n 原 码 不 适 合 于 加 减 运 算 。 2. 补码表示法n 计 算 机 中 ， 因 为 用 来 存 储 数 据 的 存 储 单 元 或 寄 存器 有 一 定 的 位 数 限 制 ， 进 行 数 据 运 算 的 运 算 器 也有 一 定 的 位 数 限 制 ， 所 以 ， 数 据 在 计 算 机 中 表 示的 位 数 也 是 受 限 制 的 。 当 数 据 超 过 规 定 位 数 时 ，其 处 于 高 位 的 超 出 部 分 将 被 丢 弃 。n 以 定 点 整 数 为 例 ， 设 一 个 寄 存 器 的 位 数 为 n， 则超 出 该 寄 存 器 存 储 能 力 的 最 小 正 整 数 是 2n， 它 在该 寄 存 器 中 的 存 储 结 果 与 0的 存 储 结 果 是 一 样 的 。 n 一 般 地 ， 设 x为 正 整 数 ， 且 0 x 2n， 则 x与 2n x在 n位 寄 存 器 中 的 存 储 结 果 是 一 样 的 ， 均 为 x。 这种 现 象 在 数 学 中 称 为 “ 同 余 ” ， 即 x除 以 2n与 2n x除 以 2n的 余 数 相 同 ， 用 数 学 公 式 表 示 为x = 2n x (mod 2n)n 在 同 余 的 概 念 下 ， 设 x 0且 |x| 2n， 则 同 样 有x = 2n x (mod 2n) 式 中 ， x 0而 2n x 0。 它 说 明 ： 在 mod 2n的 前提 下 ， 一 个 负 数 x可 以 用 一 个 正 数 2 n x来 表 示 ；也 就 是 说 ， 一 个 负 数 x与 一 个 正 数 2n x在 n位 寄存 器 中 的 存 储 结 果 是 一 样 的 。 n 在 mod 2n的 前 提 下 ， 设 |x| 2n， 我 们 把 x的 同 余 数2n x称 为 x的 补 码 ， 即x补 = 2n x (mod 2n) 在 一 个 n位 寄 存 器 中 存 放 补 码 时 ， 要 把 最 高 位 留作 符 号 位 ， 数 字 部 分 为 n1位 。 故 x的 实 际 取 值 范围 是 -2n1 x 2n1 -1n 对 定 点 小 数 ， 由 于 符 号 位 占 据 了 n位 寄 存 器 的 最高 位 ， 相 当 于 占 据 了 20位 ， 故 模 数 应 该 是 21。 由此 可 得 定 点 小 数 x的 补 码 为x 补 = 21 x (mod 21) x的 实 际 取 值 范 围 是-1 x 1-2-(n 1) 【例2.4】 设 寄 存 器 位 数 为 8位 ， 可 以 存 放 一 个 8位补 码 （ 1位 符 号 ， 7位 数 值 ） 。 设 x = +1001011，求 x补 。 解 ： x补 = 28 + x (mod 28) = 28 + (+1001011) (mod 28) = 01001011 (mod 28) 其 中 ， 最 高 位 上 的 0被 看 作 符 号 位 。 由 本 例 可 知 ：一 个 正 数 的 补 码 与 其 原 码 是 一 致 的 。 【例2.5】 设 寄 存 器 位 数 为 8位 ， x = -1001011， 求x补 。 解 ： x补 = 28 + x (mod 28) = 28 + (-1001011) (mod 28) = 10110101 (mod 28) 其 中 ， 最 高 位 上 的 1被 看 作 符 号 位 。 由 本 例 可 知 ：一 个 负 数 的 补 码 ， 其 符 号 位 为 1。 显 然 ， 负 数 的 补码 与 其 原 码 是 不 同 的 。 【例2.6】 设 寄 存 器 位 数 为 8位 ， x = +0.1001011，求 x补 。 解 ： x补 = 21 + x (mod 21) = 21 + (+0.1001011) (mod 21) = 0.1001011 (mod 21) 最 高 位 上 的 0被 看 作 符 号 位 。 【例2.7】 设 寄 存 器 位 数 为 8位 ， x = -0.1001011，求 x补 。 解 ： x补 = 21 + x (mod 21) = 2 1 + (-0.1001011) (mod 21) = 1.0110101 (mod 21) 最 高 位 上 的 1被 看 作 符 号 位 。 n 与 原 码 不 同 ， 补 码 的 符 号 位 （ 正 为 0， 负 为1） 不 是 人 为 规 定 的 ， 而 是 在 求 补 码 的 运 算中 求 出 的 ， 实 际 上 就 是 运 算 结 果 的 最 高 有效 数 字 位 。 因 此 ， 在 用 补 码 进 行 加 减 运 算时 ， 符 号 位 可 以 象 数 字 位 一 样 参 加 运 算 ，给 计 算 机 的 加 减 运 算 带 来 很 大 方 便 。 3. 反码表示法n 一 个 数 的 反 码 可 通 过 其 原 码 求 得 ， 方 法 是 ： 正 数的 反 码 与 其 原 码 一 致 ； 负 数 的 反 码 与 其 原 码 符 号位 相 同 ， 数 字 位 按 位 取 反 。n 反 码 一 般 不 用 于 计 算 ， 但 可 用 来 作 为 原 码 转 换 为补 码 时 的 中 间 代 码 。 原 码 转 换 为 补 码 的 方 法 是 ： 正 数 的 原 码 、 补 码 及 反 码 均 相 同 ， 无 需 转 换 ； 对 负 数 ， 先 从 原 码 求 其 反 码 ， 再 将 反 码 加 1， 即 得 其 补 码 。 n 补 码 到 原 码 的 转 换 也 使 用 同 样 的 方 法 。 【例2.8】 设 寄 存 器 位 数 为 8位 ， x = -1001011， 则 x原 = 11001011， x反 = 10110100， x补 = x反 +1 = 10110100+1 = 10110101 【例2.9】 在 例 2.8的 基 础 上 ， 将 x补 转 换 为 x原 的 过 程 如 下 ： x 补 = 10110101符 号 位 不 变 ， 数 字 位 每 位 取 反 ，得 11001010加 1， 得 11001011= x原 。 4. 移码表示法n 移 码 只 用 于 表 示 带 符 号 定 点 整 数 。 设 x是 一 个 n位二 进 制 整 数 ， 则 其 移 码 定 义 为x移 = 2n + x ， 2n x -2n x移 是 一 个 n +1位 的 编 码 ， 最 高 位 被 看 作 符 号 。 【例2.10】 设 x = +1001011， 为 7位 数 ， 则x移 = 27 + x = 27 + (+1001011) = 11001011 【例2.11】 设 x = -1001011， 为 7位 数 ， 则x移 = 27 + x = 27 + (-1001011) = 00110101n 移 码 正 数 的 符 号 为 1， 而 负 数 的 符 号 为 0。 移 码 的符 号 能 够 直 接 参 与 加 减 运 算 。 移 码 之 间 的 大 小 关系 可 以 直 接 反 映 数 据 真 值 之 间 的 大 小 关 系 。 2.4.4 浮点数的表示n 浮 点 数 是 指 小 数 点 位 置 未 经 人 为 约 定 的 一 般 的 数 ，其 小 数 点 可 以 出 现 在 数 中 任 意 位 置 。n 一 个 浮 点 数 N可 以 表 示 成N = Re mn 浮 点 数 的 三 个 构 成 要 素 ： 指 数 e； 基 数 R； 有 效 数字 m。n 浮 点 数 表 示 的 基 本 思 想 ： 将 浮 点 数 的 三 个 要 素 分别 表 示 出 来 。n 在 计 算 机 中 ， 指 数 是 一 个 整 数 ， 可 用 定 点 整 数 表示 ； 基 数 默 认 为 2， 不 用 表 示 出 来 ； 有 效 数 字 部 分被 规 定 为 一 个 纯 小 数 ， 可 用 定 点 小 数 表 示 。 n 指 数 的 机 器 数 编 码 称 为 “ 阶 码 ” ， 有 效 数 字 的 机器 数 编 码 称 为 “ 尾 数 ” ， 尾 数 的 符 号 就 是 浮 点 数的 符 号 。 浮 点 数 在 计 算 机 中 的 一 般 编 码 表 示 格 式为 ： 尾 数 M一 般 用 补 码 或 原 码 表 示 ； 阶 码 E一 般 用 移码 或 补 码 表 示 ； 数 符 S是 浮 点 数 的 符 号 ， 也 就 是尾 数 的 符 号 （ 故 M不 含 符 号 位 ） 。n 浮 点 数 的 表 示 范 围 取 决 于 阶 码 的 位 数 ， 而 浮 点 数的 表 示 精 度 则 取 决 于 尾 数 的 位 数 。 n 在 浮 点 数 表 示 中 ， 除 了 要 求 尾 数 为 纯 小 数 外 ， 还进 一 步 规 定 ： 当 尾 数 的 绝 对 值 不 为 0时 ， 尾 数 绝 对值 （ 或 真 值 ） 的 最 高 有 效 数 字 必 须 为 1； 这 称 为 浮点 数 的 规 格 化 表 示 。 如 ： +110.0101的 规 格 化 表 示 形 式 是23 0.1100101 而 不 能 是 24 0.01100101n 浮 点 数 的 规 格 化 表 示 既 消 除 了 浮 点 数 表 示 的 不 确定 性 ， 又 可 以 尽 量 减 少 其 精 度 损 失 。 n 浮 点 数 表 示 中 的 一 些 特 殊 情 况 ： 当 尾 数 为 0时 ， 浮 点 数 的 值 为 零 ， 称 为 机 器 零 。 当 阶 码 小 于 可 表 示 的 最 小 数 （ 即 绝 对 值 最 大 的负 数 ） 时 ， 浮 点 数 的 值 也 被 看 作 机 器 零 。 当 阶 码 大 于 可 表 示 的 最 大 数 时 ， 称 为 浮 点 数“ 溢 出 ” ， 通 常 要 作 为 异 常 情 况 处 理 （ 报 警 或 中止 程 序 执 行 等 ） 。 n IEEE 754标 准 的 32位 （ 单 精 度 ） 和 64位 （ 双 精 度 ）浮 点 数 的 标 准 格 式 ： 其 中 ， S为 数 符 ， 0表 示 正 数 ， 1表 示 负 数 ； E为 阶码 ， 用 移 码 表 示 ； M是 尾 数 ， 用 原 码 表 示 。n IEEE 754格 式 浮 点 数 的 真 值 x计 算 公 式 ： 单 精 度 ： x = (-1)S (1. M) 2E127 ， e = E127 双 精 度 ： x = (-1) S (1. M) 2E1023 ， e = E1023 其 中 ， S、 E、 M即 为 标 准 格 式 中 的 数 符 、 阶 码 、尾 数 ， e是 指 数 的 真 值 。 n IEEE 754标 准 浮 点 数 的 规 格 化 尾 数 实 际 为 1. M，其 中 的 整 数 位 1是 默 认 的 ， 没 有 表 示 出 来 ， 只 在 计算 时 由 运 算 电 路 自 动 提 供 。n 实 际 上 ， 可 将 IEEE 754标 准 格 式 浮 点 数 的 规 格 化尾 数 ， 看 作 是 一 般 格 式 浮 点 数 的 规 格 化 尾 数 （ 0除外 ） 左 移 一 位 后 所 得 ， 当 然 ， 阶 码 要 为 此 减 1。 因此 ， IEEE 754标 准 格 式 浮 点 数 的 阶 码 也 不 是 标 准的 移 码 表 示 形 式 ， 它 是 标 准 移 码 减 1后 的 结 果 。 n IEEE 754标 准 规 定 ： 用 E和 M均 为 全 0来 表 示 零 值 ； 根 据 S的 不 同 ，有 正 零 与 负 零 之 分 。 用 E为 全 1、 M为 全 0来 表 示 无 穷 大 ； 根 据 S的 不同 ， 有 正 无 穷 大 与 负 无 穷 大 之 分 。 当 E为 全 1， 而 M不 为 0时 ， 不 表 示 任 何 数 ， 而用 来 报 告 一 些 异 常 运 算 （ 如 ： 0 0， 0 ， 求 负数 的 平 方 根 等 ） 的 发 生 。 当 E为 全 0， 而 M不 为 0时 ， 表 示 反 规 格 化 数 。 当 E不 为 全 0或 全 1时 ， 表 示 规 格 化 非 零 浮 点 数 。 【例2.12】 设 某 种 24位 浮 点 数 的 机 器 编 码 格 式 为 ： 其 中 ， S为 数 符 ； 阶 码 E和 尾 数 M均 用 补 码 表 示 。 试 将 十 进制 数 -576.625表 示 成 这 种 格 式 的 规 格 化 数 据 编 码 。 解： (-576.625)10 = (-1001000000.101)2 ， -1001000000.101 = 210 (-0.1001000000101) ， 所 以 ， 指 数 e = (10)10 ， 有 效 数 字 m = -0.10010000001010000， 故E = e 补 = 001010， M = m补 = 1.01101111110110000 由 于 M的 符 号 作 为 数 符 S， M不 再 包 含 符 号 位 ， 因 此 ， -576.625的 浮 点 数 机 器 编 码 为1 001010 01101111110110000 【例2.13】 对 例 2.12中 的 浮 点 数 编 码 格 式 ， 求 其 规 格 化 数据 的 表 示 范 围 。 解： 求 数 据 表 示 范 围 需 要 确 定 最 小 负 数 、 最 大 负 数 、 最 小正 数 和 最 大 正 数 的 值 ， 下 面 分 别 进 行 ： 最 小 负 数 ： 1 011111 00000000000000000 真 值 ： -1 231 最 大 负 数 ： 1 100000 10000000000000000 真 值 ： -2-33 最 小 正 数 ： 0 100000 10000000000000000 真 值 ： +2 -33 最 大 正 数 ： 0 011111 11111111111111111 真 值 ： +(1-2-17) 231 所 以 ， 该 24位 浮 点 数 的 规 格 化 数 据 表 示 范 围 是 ：-1 231， -2-33 +2-33， +(1-2-17) 231 【例2.14】 若 一 个 IEEE 754 标 准 的 32位 浮 点 数 编码 表 示 为0 10100011 01101100000000000000000 求 其 十 进 制 值 。 解： 数 符 S = 0， 因 此 为 正 数 ； E = 10100011，(127)10 = 01111111， 所 以 e = E -127 = 10100011-01111111 = (36)10 尾 数 = 1. M= 1. 01101100000000000000000 = (1.421875)10 所 以 ， 该 浮 点 数 的 十 进 制 值 为1.421875 2 36