《离散化方法》PPT课件.ppt

二 、 离 散 化 方 法 离 散 化 方 法 计 算 区 域 和 边 界o计 算 区 域 : 从 实 际 问 题 抽 象 出 来 的 物 理 数 学 模 型中 所 规 定 的 物 理 量 发 生 变 化 的 主 要 区 域 。 线 ： 直 线 面 ： 矩 形 、 圆 形 、 环 形 、 扇 形 、 环 扇 形 体 ： 立 方 体 、 球 体 、 圆 柱 体o边 界 ： 物 理 量 发 生 变 化 的 最 大 界 限 ， 或 者 所研 究 对 象 与 外 界 的 分 界 线 。 计 算 区 域 和 边 界突扩后台阶流动计算区域和边界： 计 算 区 域 和 边 界埋地热油管道土壤传热计算区域和边界：o x土 壤管 道 和 防 腐 层 等大 气地 表向热力影响区 y H0管 道 埋 深y向 热 力xH 影 响 区 2L 计 算 区 域 和 边 界o确 定 计 算 区 域 和 边 界 的 原 则 :o取 决 于 物 理 问 题 本 身 ， 不 能 随 意 取o有 一 定 的 灵 活 性o包 含 所 研 究 问 题 的 全 部 特 征 或 近 似 全 部 的特 征 。o与 所 采 用 的 物 理 模 型 或 数 值 方 法 有 关 计 算 区 域 离 散 化o计 算 区 域 的 离 散 化 : 对 空 间 上 连 续 的 计 算 区 域 进 行 剖 分 ，划 分 成 许 多 子 区 域 。 实 质 上 就 是 用 一 组 有限 个 离 散 的 点 来 代 替 原 来 的 连 续 空 间 。体 区 域 的 离 散线 区 域 的 离 散面 区 域 的 离 散 计 算 区 域 离 散 化o计 算 区 域 离 散 化 的 基 本 步 骤 :o 将 计 算 区 域 边 界 线 用 若 干 个 点 划 分 为 若 干 段o 按 照 计 算 区 域 的 形 状 连 接 这 些 点 将 计 算 区 域 划分 为 互 不 重 叠 的 若 干 个 子 区 域 (网 格 )o 确 定 物 理 量 代 表 点 (节 点 )在 子 区 域 中 的 位 置是 否 唯 一 的 离 散 方 式 ？ 计 算 区 域 离 散 化o节 点 :n 内 部 节 点n 边 界 节 点n 节 点 的 编 号 和 间 距o网 格 ：n 均 分 网 格n 非 均 分 网 格n 网 格 的 命 名 和 步 长 边 界 条 件o边 界 条 件 : 物 理 模 型 在 边 界 上 遵 循 的 规 律 或 具 有的 特 点 ， 方 程 组 的 解 在 边 界 上 应 满 足 的 条件 。o最 重 要 、 最 复 杂 的 约 束 条 件o对 象 与 外 界 联 系 和 相 互 作 用 的 规 律o往 往 影 响 数 值 计 算 的 成 败 边 界 条 件o边 界 条 件 分 类 :o 第 一 类 边 界 条 件 边 界 上 给 定 待 求 变 量 的 函 数 关 系o 第 二 类 边 界 条 件 边 界 上 给 定 待 求 变 量 梯 度 的 函 数 关 系o 第 三 类 边 界 条 件 边 界 上 给 定 待 求 变 量 与 其 梯 度 之 间 的 函 数 关 系具 有 相 对 性 常 用 边 界 条 件 举 例o恒 壁 温 边 界 条 件o恒 热 流 边 界 条 件o绝 热 边 界 条 件o对 称 边 界 条 件o周 期 性 边 界 条 件o入 口 出 口 边 界 条 件 常 用 边 界 条 件 举 例 airToilT p (第 二 类 边 界 条 件 ) （ 第 三 类 边 界 条 件 ） T=C (第 一 类 边 界 条 件 ) （ 第 二 类 边 界 条 件 ） （ 第 三 类 边 界 条 件 ）0 xT 0 xT yTTT airf )( T|r r R p oil wT T 绝 热x 对 称、 恒 温 层y 常 用 边 界 条 件 举 例 流 动 传 热 控 制 方 程o控 制 方 程 : 物 理 模 型 所 用 的 数 学 表 达 式 ， 控 制 物 理 量的 变 化 规 律 。o质 量 守 恒 方 程 : ( ) 0U t 流 动 传 热 控 制 方 程o动 量 守 恒 方 程 :( ) div( ) div( grad )( ) div( ) div( grad )( ) div( ) div( grad ) uv wu puU u St xpU St yw pwU w St z ( ) div( )=div( )p p Tc T c UT gradT St o能 量 守 恒 方 程 : 流 动 传 热 控 制 方 程o不 可 压 缩 流 体 流 动 方 程 组 :0u vx y 2 22 21u u u p u uu vt x y x x y 2 22 21v v v p v vu vt x y y x y o导 热 方 程 :( )=p Tc T T T St x x y y 控 制 方 程 的 离 散 化o控 制 方 程 仅 在 极 少 数 特 殊 情 况 下 有 解 析 解0u vx y 2 2 2 21u u u p u uu vt x y x x y 2 22 21v v v p v vu vt x y y x y 沿 x方 向 压 力 梯 度 为 定 值 的 平 板 定 常 层 流 控 制 方 程 的 离 散 化o控 制 方 程 仅 在 极 少 数 特 殊 情 况 下 有 解 析 解22 1= =u p Cy x 1=u C y cy 2 1 2= 2C yu c y c 两 次 不 定 积 分平 板 边 界 条 件 0, 0; , 0y u y h u 解 析 解 2=2Cu y h 控 制 方 程 的 离 散 化o控 制 方 程 仅 在 极 少 数 特 殊 情 况 下 有 解 析 解沿 x方 向 一 维 无 源 稳 态 导 热( )=p Tc T T T St x x y y 0Tx x 两 次 不 定 积 分 1T cx 1 2cT x c 恒 温 边 界 条 件 1 20, ; ,x T T x l T T 解 析 解 2 1 1T TT x Tl 控 制 方 程 的 离 散 化o一 般 情 况 下 无 法 作 上 述 化 简o解 决 途 径 ： 离 散 化 后 再 求 解o控 制 方 程 离 散 化 ： 用 离 散 的 计 算 区 域 中 的 节 点 上 的 变 量及 其 导 数 值 来 代 替 控 制 方 程 中 的 连 续 函 数 。o方 程 离 散 化 的 两 类 基 本 方 法 ： 有 限 差 分 法 有 限 容 积 法 控 制 方 程 的 离 散 化o有 限 差 分 法 ： 利 用 泰 勒 展 开 将 控 制 方 程 中 的 所 有 导数 项 表 示 成 有 限 个 节 点 值 的 代 数 组 合 ， 从而 将 微 分 方 程 表 示 成 差 分 方 程 。 22 00 0 02( ) ( ) ( )2 nx xf ff x f x x x o x xx x )(2)()( 222 nxoxxfxxfxfxxf 截 断 误 差 及 其 阶 数 控 制 方 程 的 离 散 化o有 限 容 积 法 ： 将 控 制 方 程 在 离 散 的 计 算 区 域 中 的 每个 具 有 有 限 容 积 的 网 格 单 元 内 进 行 积 分 ，得 到 每 个 有 限 容 积 内 的 变 量 平 均 值 表 达 式 。 21 ( )xxf f x dx