矩阵的定义及其运算规则

细心整理矩阵的定义及其运算规那么1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号内排列成m行n 列横的称行，纵的称列的一个数表，并称它为mn阵。矩阵通常是用大写字母A 、B 来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。即： 2-3我们称2-3式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，其次个注脚字母jj1，2，n表示矩阵的列数。当mn时，那么称为n阶方阵，并用表示。当矩阵aij的元素仅有一行或一列时，那么称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有一样的行数和一样的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，那么称该两矩阵相等，记为AB。2、三角形矩阵由ij的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。假如在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，那么该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：， ， 。3、单位矩阵及零矩阵在方阵中，假如只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：那么称为对角矩阵，可记为。假如在对角矩阵中全部的彼此都相等且均为1，如： ，那么称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中全部的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵Aaijmn和Bbijmn相加时，必须要有一样的行数和列数。如以Ccijm n表示矩阵A及B的和，那么有： 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有以下性质设A、B、C都是mn矩阵： 1交换律：ABBA 2结合律：ABCABC5、数及矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的全部元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数及矩阵相乘具有以下性质：设A、B都是mn矩阵，k、h为随意常数，那么：1 kABkAkB2khAkAhA3 khAkhA6、矩阵的乘法假设矩阵乘矩阵，那么只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素及其次个矩阵第j列元素对应乘积的和。假设： 那么矩阵的元素由定义知其计算公式为： 2-4【例2-1】 设有两矩阵为：， ，试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：其中： 【例2-2】 确定：A，B，求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下： 矩阵的乘法具有以下性质：1通常矩阵的乘积是不行交换的。2矩阵的乘法是可结合的。3设A是mn矩阵， B、C是两个nt矩阵，那么有：ABCABAC。4设A是mn矩阵，B是nt矩阵。那么对随意常数k有：kABkABAkB。【例2-3】 用矩阵表示的某一组方程为：2-5式中： 2-6试将矩阵公式绽开，列出方程组。【解】现将2-6式代入2-5式得： 2-7将上式右边计算整理得：2-8可得方程组：可见，上述方程组可以写成2-5式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知2-5式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵，称为误差方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】 设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。【解】现记： 2-9那么条件方程组可用矩阵表示成：精品文档，你值得期盼2-10上式中称为条件方程组的系数阵，称为改正数阵，称为条件方程组的闭合差列阵。