圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质（有相应例题详解）总论：常用的八种方法1、定义法2、韦达定理法3、设而不求点差法4、弦长公式法5、数形结合法6、参数法（点参数、K参数、角参数）7、代入法中的顺序8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（ 3）直线与圆锥曲线位置关系问题（ 4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（ 5）求曲线的方程问题1曲线的形状已知这类问题一般可用待定系数法解决2曲线的形状未知求轨迹方程（6） 存在两点关于直线对称问题 （ 7）两线段垂直问题常用的八种方法1、定义法（1） 椭圆有两种定义。第一定义中，r+r2=2a。第二定义中,r1=ed1 r2=ed2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，|厂-厂| = 2a，当r,r2时，注意r2的最小值为1 2 1 2 2c-a:第二定义中，r=ed, r2=ed2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准 线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用 定义解决更直接简明。2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化 为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线 问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不 要忽视判别式的作用。3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解 决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问 题，常用“点差法”即设弦的两个端点A(x1,y1),B(x2,y2)，弦 AB中点为M(x0,y0),将点A、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不 求”法，具体有：QQ群557619246x 2y 2(1) +厂=1(a b 0)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x0,y0)，贝V有a2b2 0 0L + k = 0。(其中K是直线AB的斜率)a 2 b2x 2y 2(2) 厂=1(a 0,b 0)与直线1相交于A、B，设弦AB中点为M(x0,y0)则有 a2 b2 0 00 亠k =。(其中K是直线AB的斜率)a 2 b2(3) y2=2px(p0)与直线 1 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p，即 y0k=p. (其中K是直线AB的斜率)4、弦长公式法弦长公式:一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为 ， ，判别 .式为，则1 + k ，若直接用结论，能减少配方、开I a I方等运算过程。5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数 式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质如“2x+y”，令2x+y=b，则b表示斜率为-2的直线在y轴上的截距；如“x2+y2” ,令y 3y 3Jx2 + y2 = d，则d表示点P(x，y)到原点的距离；又如“ J;”，令- =k，则kx + 2 x + 2表示点P (x、y)与点A(-2，3)这两点连线的斜率6、参数法(1) 点参数利用点在某曲线上设点(常设“主动点”)，以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。如x轴上一动点P，常设P (t, 0)；直线x-2y+l=0上一动点P。 除设P(X)外，也可直接设P(2y1-1,y1)(2) 斜率为参数当直线过某一定点P(x0,y0)时，常设此直线为y-y0=k(x-x0)，即以k为参数，再按命题 要求依次列式求解等。(3) 角参数 当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。7、代入法中的顺序这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件 P,P2求(或求证)目标Q”，方法1是将条件P/弋入条件P2,方法2可将条件P2代入条件P, 方法3可将目标Q以待定的形式进行假设，QQ群557619246代入P1，P2，这就是待定法。不 同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。八、充分利用曲线系方程法一、定义法【典型例题】例1、(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4 ：2 )与到准线的距离和最小，则点P的坐标为(2)抛物线C: y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为。H丿QABF分析：(1) A在抛物线外，如图，连PF,则PH =，因而易发现, 当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2) B在抛物线内，如图，作QR丄1交于R,则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。解：(1) (2,力)连PF,当A、P、F三点共线时，|Ap + PH = |Ap + |PF|最小，此时AF的方程为y =- (x 一1)即 y=2、：2 (x-1),代入 y2=4x 得 P(2,2a/2),(注：另一交点为(亍一 J2),3 12它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去)1(2) (丁)4过Q作QR丄1交于R,当B、Q、R三点共线时，Bq| + QF = BQ + QR最小，此时Q11点的纵坐标为1,代入y2=4x得x=4，.Qq，1)点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细x2 y 2例2、F是椭圆才+ 丁 = 1的右焦点，A(1,1)为椭圆内定点，P为椭圆体会。上一动点。(1) PA + |PF|的最小值为(2) |PA| + 2|PF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF或准线作出来考虑问题。 解：(1) 4-5设另一焦点为F，则F (-1,0)连AF ,PFPA + |PF| = |PA| + 2a |PF| = 2a (|PF |PA|) 2a |AF| = 4-弱当P是F A的延长线与椭圆的交点时，|PA| + |PF|取得最小值为4-打。1(2)作出右准线 1,作 PH丄 1 交于 H,因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1, e=-,厶.|PF| = -PH I，即 2| PF | = |PH|. PA| + 2|PF| = |PA| + |PH当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为一 -x = 4 -1 = 3解：如图，|mc| = md , |AC| - |MA| = MB - |DB|即6 - |MA| = |MB| - 2+ MB = 8(*)x2 y 2点M的轨迹为椭圆，2a=8, a=4, c=1, b2=15轨迹方程为厂+二 =11615点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而无需再用距离公式列式求解，即列出Y（x +1）2 + y2 + x-1）2 + y2 = 4，再移项，平方，相当于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁琐！3例 4、ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sinC-sinB= sinA，求点 A 的轨迹方程。分析：由于sinA、sinB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R为外接圆半径）, 可转化为边长的关系。33解：sinC-sinB=5 sinA 2RsinC-2RsinB= 5 2RsinA3.|AB| -|AC| = 5 BC即AB -|AC| = 6*)点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）.2a=6, 2c=10 a=3，c=5，b=4x2 y 2所求轨迹方程为石-L = 1（x3）9 16点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x2上移动，AB中点为M,求点M到x轴 的最短距离。分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A（X,X2）, B（x2, X22）,又设AB中点为M（x0y0） 用弦长公式及中点公式得出y0关于x0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”可先考虑M到准线的距离，想到用定义法。解法一：设 A（x1，x12），B（x2，x22），AB 中点 M（x0，y0）(X X )2 + (x2 x2)2 = 9 1 2 1 2 2 ,即 MMJ + 4 2 ,.|MM 4 ,当ab经过焦点F时取得最小值。5M到x轴的最短距离为二4点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消 x2,从而形成y0关于x0的函数， 这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中M到x轴 的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B到准线的距离和，结合 定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,QQ群557619246两边之和等 于第三边)的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验tiAB是否能经过 焦点F,而且点M的坐标也不能直接得出。二、韦达定理法【典型例题】x2y 2例6、已知椭圆一 += 1(2 m 5)过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线m m -1从左到右依次交于A、B、C、D、设f(m)=|AB| |CD|, (1)求f(m), (2)求f(m)的最值。分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上，D在准线上，可见直接求解较繁，将这些线段“投影”到 x 轴上，立即可得防f (m) = (x x )J2 (x x )J2| = J2|(x x ) (x X )B ADel1 B ADC=胡(x + x ) (x + x )1此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。B CA Dx2y 2解：(1)椭圆一+= 1 中，a2=m, b2=m-1, C2=1,左焦点 F(-1,0)mm 11则 BC:y=x+l,代入椭圆方程即(m-l)x2+my2-m(m-l)=0得(m-l)x2+m(x+l)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=02m设 B(xl,yl),C(x2,y2), X+x2=-】(2 m 5)f (m) = | |AB|CD| = J21( xBX ) (x X )1AD C+ x ) (X2A+ x )| =心2|x + x | =2 -2m2m 一 l(2) f (m)二迈2一 f+2m 一 ll2m 一 l当 m=5 时,f ( m)min当 m=2 时，f (m)max4豆T点评：此题因最终需求 + xc，而 BC斜率已知为】，故可也用“点差法”设BC中点为M(x0,y),通过将B、C坐标代入作差,xy得 m + m一l k = 0，将 y0=x0+l，ki 代入得x x + lm2m+ 0= 0，.: x =，可见 x + x =m m l02m lBe2m l当然，解本题的关键在于对f (m) = |AB|-|CD|的认识，QQ群5576l9246通过线段在x轴的“投影”发现f(m) = |x + x |是解此题的要点。B C三、点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次 方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x ,y )、B(x ,y )，将这两点代入l l22圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大 减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。1.以定点为中点的弦所在直线的方程x 2 y 2例1、过椭圆石+牛=1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线 16 4的方程。解：设直线与椭圆的交点为A(x , y )、B(x ,y )1 1 2 20 M (2，D 为 AB 的中点 X1+ X2 = 4yi + y2 = 20又A、B两点在椭圆上，则xi2+4yi2二16，x 2 + 4 y 2 = 1622两式相减得(xi2 -叮)+4( yyj) - 0于是(xi + x2)( xi - x2) + 4( yi + y2)( yi-y2) = 0y - y x +x1 2 = 12x - x 4( y + y )1 2 1 2414 x 22即k =，故所求直线的方程为y】=a(x2)，即x+2y 一4 = 0。AB 2 2例2、已知双曲线x2 琴=1，经过点M(1,1)能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B， 且点M是线段AB的中点。若存在这样的直线/，求出它的方程，若不存在，说明理 由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解:设存在被点M平分的弦AB，且 A(x1，y1)、B(x2, y2)则 x + x 二 2 y + y 二 21 2 ， 1 2两式相减，得(x1 + x2)(3 - x2)-扣1+ y2)(人-y2)= 0._ y y _0.k 12 2AB x x12故直线 AB : y 1 2(x 1)y -1 = 2(x -1)由 1 y21 消去 y，得2x2-4x + 3 = 0 2A = (-4)2 - 4 x 2 x 3 = -8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点 弦问题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦一 般存在；(2)若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。2. 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹y 2 x21例3、已知椭圆75+25 = 1的一条弦的斜率为3,它与直线x = 的交点恰为这条弦的中点M ，求点 M 的坐标。解：设弦端点P(x , y )、Q(x ,y )，弦PQ的中点M(x , y )，则x0 =1 1 2 2 0 0 0 2x + x = 2 x = 1 ， y + y = 2 y1 2 0 1 2 075x2击M+2=17525两式相减得25(y1 + y2)(y1 -y2)+ 75(x + x2)(x -x2)= 0即 2y0(y1-y2)+ 3(x -x2)= 0y yx - x122y0y - yO k = 12 = 3x - x122y0即 y0 =.点m的坐标为(2，- 土)。y 2 x2例4、已知椭圆75+25 = 1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解:设弦端点P(x1，人)、Q( x 2, y 2)，弦 PQ 的中点 M (x，y)，则x + x = 2x ，12y1+y2=2yx2M+2=17525两式相减得 25( y1 + y 2)( y1 - y 2) + 75( x1 + x 2)( x1 - x 2) = 0即 y (y y ) + 3x(x x ) = 0，即1 2 1y - y1 2x -x123xy 一 y0 k = 12 = 3x 一 x123x一=3 ,yx + y = 0 由 y2丄x2，得p(+ = 1 2 75255昭 5j3、Q(5j3 5昭、 厂)Q(一)0点M在椭圆内5/35 3它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为x + y = 0(- 2. x b 0）的一条准线方程是x =1，有一条倾斜角为的，求椭圆方程.直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C-2,4I 2 4丿解设A（x，y）、B（x，yJ，则 x + x2 =-1，y + y11x2且亠+a2产=1，（ 1）b2x2y 2亠 + = 1，(2) a 2b2(1)-(2 )得：=a2b2y今占x x12b 2 (x a2 (y + y12b2a21 = kABy y2b 2x x12a2 = 2b2，(3)a2又一=1,ca2 = c，(4)而 a2 = b2 + c2，(5)1 1x2y 2由(3), (4)， (5)可得a2 = ,b2 =， 所求椭圆方程为+ 1 = 12 411244. 圆锥曲线上两点关于某直线对称问题x 2 y 2例6、已知椭圆才+3 =1，试确定的m取值范围，使得对于直线y = 4x+m，椭圆上总 有不同的两点关于该直线对称。解：设P (x , y )，P (x , y )为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点，P(x, y)为弦PP 1 1 1 2 2 2 1 2的中点，则 3 x 2 + 4 y 2 = 12， 3 x 2 + 4 y 2 = 121 1 2 2两式相减得，3(xi2 -x22)+4(yi2 - yj) - 0y yii 2 =x 一 x4i2即 3(xi + x2)(xi - x2) + 4(yi + y2)(yi-y2) = 00 x + x = 2 x， y + y = 2 y，i 2i 2y = 3x 这就是弦pp中点P轨迹方程。 i2它与直线y = 4x + m的交点必须在椭圆内I y = 3xI x = -m3联立 A，得f则必须满足y2 3 x2,I y = 4x + mI y = -3m4即(3m)2 3 - 3m2，解得-匹 m 泄4i3i35. 求直线的斜率，C (x2,2与焦点例5已知椭圆g +于=i上不同的三点A * *，BI 4,5F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证：x + x = 8 ； (2)若线段AC的垂直平分线与x轴 i2的交点为T,求直线BT的斜率k .1) 证 略.解Q xi+ x2 =8，设线段AC的中点为D(4,y).又A、C在椭圆上,x2/. i(i) -(2)得:x 2 - x 2i2y2y - y1 2x -x129 (x + x )98361 2 . 25 (y + y 厂 25 2 251 2 0 0直线DT的斜率k 辛DT 36直线DT的方程为y -人-警(x - 4)64令y 0，得x 寿,64直线BT的斜率k -057644 -256. 确定参数的范围例6若抛物线C : y2 x上存在不同的两点关于直线l: y m(x-3)对称，求实数m 的取值范围.解当m 0时，显然满足.当m丰0时，设抛物线C上关于直线l: y m (x - 3)对称的两点分别为P(x , y )、Q(x , y )，且 PQ 的中点为M (x , y )，则 y1x，1) y2x，( 2 )(1) - (2)得y12 -y2PQy1+ y22y0PQ， . y0Q中点M(x ,y )在直线l00(x - 3)上.y0m(x - 3)于是xQ 中点在抛物线 y2 x 区域内M.y2x ，即00，解得-0综上可知，所求实数m的取值范围是- b 0)不垂直于x轴的任意一条弦，P是AB的 a2 b2中点，O为椭圆的中心求证：直线AB和直线OP的斜率之积是定值. 证明设 A (x , y ), B (x , y )且 x 丰 x，1 1 2 2 1 2x2则+ 了a 2b2x2y 22 + 1 1 , a 2b22)(1)-(2)得:x2 -x 212-a2b2y y1 2 - x - x12b 2 (x + x )a2 (y + y )12k ABy y1 2x - x12b 2 (x + x )； 1 2、 a2(y + y )12又 k y1 + y2 , kOP x + x AB12b21 , J. k - k -AB OPa 2 kOPb2(定值).a28. 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。例9,过抛物线y 2 - 2 px( p )上一定点P( x o,y o )( y o 0)，作两条直线分别交抛物线于 A( x ,y)，B( x , y ).1 1 2 2p(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,率是非零常数.(1)求该抛物线上纵坐标为2的点到其焦点F的距离;求yi + y2的值，并证明直线AB的斜 y0解略(2):设 A (yi2,yi) ,B(y22,y2),则y -yk =21AB y 2 - y 2 y + y 2 1 2 1k =丄工PAy 21 - yo21, ky1+ yoPBy - y2oy 2 - y2 y + y2o2 o由题意，kAB=-kAC，y1+y 0,则 y + y -2 y y + y 1202o1则：kAB为定值。2yo例 10、(1) 求证:直线与抛物线总有两个不同交点(2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且OA丄OB, 求 p关于t的函数f(t)的表达式。(1)证明:抛物线的准线为由直线x+y=t与x轴的交点(t, 0)在准线右边，得故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(X, y1),点 B(x2，y2)Q OA 丄 OB k x k =1OA OB【同步练习】x2y 21、已知：F, F2是双曲线-一=1的左、右焦点，过F1作直线父双曲线左支于点1 2 a 2 b21A、B,若 |AB| = m ABF2 的周长为()A、 4aB、 4a+mC、 4a+2mD、 4a-m2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是()A、 y2=-16xB、 y2=-32xC、 y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列，且AB |AC|，点B、C的坐标分别为(-1, 0), (1, 0), QQ群557619246则顶点A的轨迹方程是()A、罕 + 罕=1B、罕 + 斗=1( x 0)4343C、乂 + 22 = 1(X 0且y 丰 0)43434、过原点的椭圆的一个焦点为F(l, 0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是)A、l9(x - 2)2 + y 2 = 4( x Hi)l9b、(x + 2)2 + y2 = -(xh-1)厶IC、(y - 2)2=4( x h-1)D、x2 + (y + 2)2=4( x h-1)x2 y 25、已知双曲线= = l上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离 9166、抛物线y=2x2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程 7、已知抛物线y2=2x的弦AB所在直线过定点p(-2, 0)，则弦AB中点的轨迹方程是8、过双曲线x2-y2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为9、直线y=kx+1与双曲线x2-y2=1的交点个数只有一个，则k=x2y 210、设点P是椭圆25 + = l上的动点，片，F2是椭圆的两个焦点，求sinZFPF2的最大值。11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距 离依次成等差数列,若直线1与此椭圆相交于A、B两点，且AB中点M为(-2,1), |AB|二4再, 求直线l的方程和椭圆方程。x2y 212、已知直线l和双曲线1(a 0,b 0)及其渐近线的交点从左到右依次为a2 b2A、B、C、D。求证：AB = CD参考答案1、CIaf2I-AFy = 2a,|bf2|-|BF| = 2a ,|AF | + |BF | -AB = 4a, |AF | + |BF | +1AB| = 4a + 2m,选 c2、 C点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线p=8开口向右，则方程为 y2=16x，选 C3、 D AB + AC = 2 x 2，且 |AB| |AC|点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即yMO,故选D。4、 A设中心为(x, y)，则另一焦点为(2x-1, 2y)，则原点到两焦点距离和为4得1 + y(2x 1)2 + (2y)2 = 4，.: (x )2 + y2 =又cva,.: *(x I)2 + y2 2厶I.(x-1)2+y2 2)设弦为 AB，A(X, yx)，B(xy y12 = 2(x + x ).2=2 2x, x =x x1221211方程是x = 2 (y 2)将x = 2代入y=2x2得y = 2 ,轨迹7、y2=x+2(x2)设 A(X, y1), B(x2，y2), AB 中点 M(x, y),则y - yy2 = 2x , y 2 = 2x , y2 一 y 2 = 2(x 一 x ),-11221.1亠 (y + y ) = 212 x x 1212T kAB=kMPy 2 y = 2，即 y2=x+2 x+2又弦中点在已知抛物线内P,即y228、4a 2 = b2 = 4, c2 = & c = 2.2，令 x = 2y 2 代入方程得 8-y2=4 : y2=4 , y=2，弦长为 49、土 丫 2或 土 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0I1 k 2 丰 0得 4k2+8(1-k2)=0, k= i；2 1-k2=0 得 k=1I A = 010、解:a2=25, b2=9, C2=16设片、F2为左、右焦点，则F1(-4, 0)F2(4, 0) =厂2, 1 2 =0设竹=比r + r = 2012r2 + r2 - 2rr cos0 = (2c)2J 121 22-得 2r1r2(1+cos 0 )=4b2.4b22b21+cos 0 =2r rr r1 2 1 2Z.r1r2的最大值为a21+cos 0的最小值为 竺a2，即 1+cos 0 257cos 0 ,0 W0W 兀25-arccos?则当025兀=时，sin 0取值得最大值1,即sinZFPF2的最大值为1。x2 y 211、设椭圆方程为+ = 1(a b 0)a 2 b2a2由题意：C、2C、+ c成等差数c列，4c = c + + c 即a 2 = 2c 2, c. a2=2(a2-b2), . a2=2b2x2 y 2椭圆方程为Qb2 + b2 = 1，设 A(X1，yj，B(x2，y2)x 2 y 21+4 = 12b2b2x 2y 22 + 亠=12b 2 b 2x 2 - x 2y 2 一 y 2得飞才+方严=Ux丄ymm k = U2b2b 2即二2 + k = 0 .k=l2直线 AB 方程为 y-l=x+2 即 y=x+3,代入椭圆方程即 x2+2y2-2b2=U 得 x2+2(x+3)2-2b2=U3x2+12x+18-2b2=U,|AB| =片x?小 +1 = 3 J122 12(18 2b2)对2 = 43x2 y 2解得b2=12,.椭圆方程为24 +12 = 1，直线1方程为x-y+3=U12、证明：设A(x1，y1), D(x2, y2), AD中点为M(x0, y0)直线1的斜率为k,则耳岸=1a 2b 2孕写=1、a 2b 2-得牛一牛-k = U设x2络=Ua 2b 2容-竽=U、a 2b 2-得- k = Ua2 b2UUB(x, y，), C(x, y), BC中点为M(x, y),2x 2yU上，而M、M又在直线1上,若1与x轴垂直，则由对称性知命题由、知M、M均在直线1 :一 k =a2 b2若 1 过原点,则 B、 C 重合于原点,命题成立 成立 QQ 群 557619246若l不过原点且与x轴不垂直，则M与M重合.|AB| = |CD|四、弦长公式法若直线l: y = kx + b与圆锥曲线相交与A、B两点，A (x , y ),B(x , y )则i 1 1 2 2弦长AB = ”(X x2)2 + (yi - y2)2=、(x x )2 + kx + b (kx + b)2 1 2 1 2=J1 + k 2 x x I1 2同理：=V1 + k2、.；(x + x )I11.iabi*i +i y y Q(y + y)24y yk 221212 1代入圆锥曲线特殊的，在如果直线AB经过抛物线的焦点，则ABI=?一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，判别式为，则V1 + k 2、 ，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过I a I程。例求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例题1已知直线y x +1与双曲线C : x2 亍1交于A、B两点，求AB的弦长解：设 A(x , y ), B(x , y )1 1 2 2y x+12得 4x2 (x +1)2 - 4 = 0 得 3x2 2x 5 0x 2 21 1 42xx12_ f得 3 |AB| 1 + k2 (x + x )2 一 4x x 1 2 1 2x 21练习1：已知椭圆方程为可+ y2 1与直线方程l: y x + -相交于A、B两点，求AB的 弦长_练习2：设抛物线y2 4x截直线y 2x + m所得的弦长AB长为35 ,求m的值分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 A(x ， y )，B(x ， y )1 1 2 21y x + 联立方程2得 6 x 2 + 4 x 3 0 x21I 2+ y 2 1_ 22 一3xx1212 /. (AB v 1 + k2 (x + x )2 4x x _、：2.1 2 1 2解: 设 A( x , y ), B( x , y )1 1 2 2| y 2 4 x联立方程：f得 4x2 + (4m 一 4)x + m2 0| y 2 x + mx + x 1 m12m2x x -1 240 |AB| _ 1 + k2 (x + x )2 4x x _ ：5(1 -m)2 m2 3f5. m 4例题2：已知抛物线y x2 + 3上存在关于直线x + y 0对称相异的两点A、B,求弦长分析:A、B两点关于直线x + y 0对称,则直线AB的斜率与已知直线斜率的积为-1且AB 的中点在已知直线上解：0 A、B关于l: x + y 0对称.k 1 ABk k 1l AB0 k =-1lIab设直线AB的方程为y x + b ，A(x , y ), B(x , y )1 1 2 2| y x + b联立方程f化简得x2 + x + b 3 0I y x 2 + 3.x + x 112.b 1x + x 1 则 f 12 2I x x 212AB 中点M(-2，-2 + b)在直线x + y = 0 上X2 + x 2 = 0)I-.厂/. |AB V1 + k2(x + x )2 4x x 2、 (1)2 + 8 3、：2小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解 过程中一般采取步骤为：设点T联立方程T消元T韦达定理T弦长公式作业 ：(1)过抛物线y2 _ 4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于A, B两点，且 AB _罟求a的值，(2)x2已知椭圆方程+ y2 _ 1及点B(0,2)，过左焦点F与B的直线交椭圆于2 1C、D两点，F为椭圆的右焦点，求ACDF的面积。22【典型例题】五、数形结合法例1：已知P(a,b)是直线x+2y-l=0上任一点，求S=/a2 + b2 + 4a 6b +13的最小值。分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=J(a + 2)2 + (b 3)2 设 Q(-2,3),ASminI 2 + 2 x 3 11点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注：可令根式内为 t 消元后，它是一个一元二次函数)y例2：已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上一动点，求一的最值。xyy解：设0 (0, 0)，则丛表示直线0P的斜率，由图可知，当直线0P与圆相切时，丛取x得最值，设最值为k,则切线:y=kx，即kx-y=0圆(x-3)2+(y-2)2=l,由圆心(3, 2)到直线kx-y=0的距离为1得聖二岂二1弋 k 2 +1V x丿min_ 3-羽(y ，x 丿max_ 3 + V34例 3：x 2 y 2直线l： ax+y+2=0平分双曲线牯1的斜率为1的弦，求a的取值范围.169分析：由题意，直线l恒过定点P(0,-2),平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点M与点P的连线的斜率即-a的范围。则S=|PQ|,它的最小值即Q到此直线的距离Q Q群5 5 7619246解：设A(x,y),B(x,y)是双曲线上的点，且AB的斜率为1, AB的中点为M(x,y)1 1 2 2 0 0则:匸-互=1169x 2 y 2 2 = 1169-得U2宁由(9xT6y=0x 2y 2I= 116916,D(16U7即M(X，y)在直线9x-16y=o上。k =J aPD160 + - 7由图知，当动直线l的斜率kw厂9 2丁7 9、1 ，16 丿时，l过斜率为1的弦AB点M的轨迹方程为9x-16y=0(x2+皂 -2-16眉 _ 9 2 歯 k _J7 _ 9 + 齒的中点M,而k=-a.a的取值范围为:916 16 丿9_247916丿点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知,AB中点轨迹 并不是一条直线(9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线无端点)再利用图形中的特殊(射 线的端点C、D)的属性(斜率)说明所求变量的取值范围。六、参数法例4 (k参数)：过y2=x点A (4, 2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点。求证：直线BC的斜率是定值。分析：(1)点A为定点，点B、C为动点，因直线AB、AC的倾斜角互补，所以kAB与kAC相反，故可用“k参数”法，设AB的斜率为k,写出直线AB的方程，将AB的方程与抛物线 方程联立，因A为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B坐标，同理可得 点C坐标，再求BC斜率。(2)因点B、C在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B (xi，yi), C(x2，y2) 即可设B(yi2,yi),C(y22,y2) o再考虑k =-k得参数的关系。1122AB AC12解法1：设AB的斜率为k,则AC的斜率为-kAB： y-2=k(x-4),与 y2=x 联立得: y-2二k(y2-4),即 ky2-y-4k+2=0 * y=2是此方程的一解，-4k + 21 - 2k.*.2y, y1 - 4k + 4k 2XB=yB2=k2.B1 - 4k + 4k 2 1 - 2k k丿k2*kAC=-k,以-k代替k代入B点坐标得C1 + 4k + 4k 2 1 + 2k )k2B=k B-1 + 2k - 1 - 2k k k1 、kBC= 1 + 4k + 4k 2 - 1 - 4k + 4k 24 为定值k2解法 2：设 B (yi2,yi),C(y22,y2)，则y -yk =21BC y 2 - y 2 y + y 2 1 2 1y -21*.*k = 1=, kAB y 2 4 y + 2 ab11由题意，kAB=-kAC，11二一,贝Uy + y =4y +2 y +2 1 2 121则：k =-为定值。BC4点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC的斜率为定值；解法2利用点B, C在抛物线上设点，形成含两个参数的问题，用整体思想解题，运算量较小。例5 (角参数)：在圆x2+y2=4上，有一定点A(2，0)和两动点B, C (A,B，兀针排列)，当B, C两点保持ZBAC=乙时，求 ABC的重心的轨迹。兀2兀分析：圆周角ZBAC= y可转化为圆心角ZBOC=t，选用“角参数”2兀2兀