《数理统计基础知识》PPT课件

第 4 章 数 理 统 计 的 基 础 知 识 从 第 4章 开 始 ， 将 研 究 数 理 统 计 的 基 本 内 容 。 数 理 统 计 与 概 率 论 的 基 本 概 念 与 方 法 有 着 密 切 的 联 系 。 概率 论 是 数 理 统 计 的 理 论 基 础 和 工 具 ， 而 数 理 统 计 则 是 概 率 论 的应 用 。 数 理 统 计 也 是 研 究 随 机 现 象 的 学 科 。 当 我 们 用 一 个 随 机 变量 去 描 述 一 种 随 机 现 象 时 ， 通 常 我 们 对 这 个 随 机 变 量 所 服 从 的分 布 类 型 可 能 一 无 所 知 ， 或 者 根 据 该 随 机 现 象 的 某 些 特 征 、 以及 人 们 的 经 验 而 知 道 随 机 变 量 分 布 的 类 型 ， 但 不 知 道 其 分 布 中所 含 参 数 的 值 。 例 如 ， 某 灯 泡 厂 每 年 生 产 上 万 只 灯 泡 ， 这 些 灯 泡 中 的 每 一个 都 具 有 这 样 的 特 征 ： “ 不 是 合 格 品 ， 就 是 次 品 ” 。 因 此 ，随 机 检 查 一 个 灯 泡 时 ， 它 或 者 是 合 格 品 ， 或 者 是 次 品 。 这 是 一个 随 机 现 象 。 当 用 随 机 变 量 X 去 描 述 这 个 随 机 现 象 时 ， 记 X 任 取 一 件 产 品 中 的 次 品 数 ，则 ， 随 机 变 量 X 服 从 参 数 为 p 的 0 1 分 布 b( 1 , p ) ， 其 概 率 分 布 列 为 ， 其 中 p 是次 品 率 ， 是 随 机 变 量 X 的 分 布 中 所 含 的 未 知 参 数 。 当 取 到 合 格 品 时当 取 到 次 品 时,0,1X pp 11 0 要 想 了 解 当 天 所 生 产 的 灯 泡 的 质 量 （ 即 次 品 率 ） ， 一 个 可行 的 方 法 就 是 ， 抽 取 一 定 量 的 灯 泡 （ 如 20 个 ） 进 行 质 量 检 查 ，并 根 据 这 一 部 分 灯 泡 的 质 量 情 况 对 整 批 灯 泡 的 质 量 进 行 估 计 或做 出 某 种 判 断 。 数 理 统 计 学 就 是 以 概 率 论 为 理 论 基 础 ， 研 究 如 何 获 取 有 用的 观 察 资 料 ， 如 何 根 据 所 得 到 的 有 限 资 料 对 整 个 随 机 现 象 所 具有 的 统 计 规 律 性 进 行 科 学 的 分 析 ， 从 而 做 出 尽 可 能 准 确 可 靠 的推 断 这 类 问 题 的 数 学 分 支 。 数 理 统 计 的 中 心 任 务 是 ： 从 局 部 的 观 测 资 料 的 统 计 特 性 出发 ， 利 用 科 学 的 方 法 ， 来 推 断 事 物 整 体 的 统 计 特 性 。 数 理 统 计 学 通 常 由 两 个 主 要 部 分 组 成 。 一 个 是 抽 样 理 论 和 实 验 设 计 ， 研 究 如 何 更 合 理 地 获 取 观 察资 料 ， 如 何 进 行 抽 样 、 抽 多 少 等 问 题 。 由 于 数 理 统 计 学 所 涉 及 研 究 的 对 象 一 般 为 数 很 大 ， 而 限 于时 间 和 经 济 上 的 考 虑 ， 人 们 只 可 能 收 集 一 部 分 数 据 。 例 如 ， 在 收 集 某 批 电 器 产 品 的 使 用 寿 命 的 实 验 数 据 时 ， 往往 需 要 对 产 品 进 行 破 坏 性 的 检 验 ， 因 此 只 能 检 验 其 中 的 一 小 部分 产 品 ， 观 察 其 使 用 寿 命 ， 并 依 此 推 断 整 批 产 品 的 使 用 寿 命 。 这 就 要 求 人 们 研 究 有 效 地 收 集 数 据 的 方 式 ， 精 心 设 计 收 集数 据 的 方 法 ， 以 保 证 所 收 集 到 的 一 小 部 分 数 据 能 够 尽 可 能 多 地提 供 与 所 研 究 的 整 个 问 题 有 关 的 真 实 的 信 息 。 另 一 个 是 统 计 推 断 ， 研 究 如 何 对 所 获 取 的 有 限 的 资 料 进 行科 学 地 分 析 ， 用 科 学 的 方 法 提 取 和 分 析 寓 于 所 收 集 到 的 有 限 数据 中 的 信 息 ， 并 运 用 统 计 推 断 的 方 法 ， 在 更 大 的 范 围 内 对 所 研究 的 问 题 做 出 尽 可 能 准 确 、 可 靠 的 推 断 ， 得 出 某 种 合 理 的 结 论 。 统 计 推 断 是 数 理 统 计 学 的 基 本 问 题 之 一 ， 在 此 主 要 介 绍 统计 推 断 的 一 些 基 本 知 识 。 非 参 数 假 设 检 验参 数 假 设 检 验假 设 检 验 非 参 数 估 计参 数 估 计估 计 理 论统 计 推 断 由 于 统 计 推 断 是 由 部 分 来 推 断 整 体 ， 是 借 助 在 小 范 围 内所 提 取 的 信 息 来 推 断 整 体 的 规 律 性 ， 这 就 不 可 避 免 地 会 使 这种 推 断 带 有 某 种 不 确 定 性 ， 也 就 是 说 ， 人 们 不 能 保 证 所 推 断的 结 果 是 百 分 之 百 正 确 的 。 因 此 ， 在 进 行 统 计 推 断 的 同 时 ， 还 必 须 寻 求 一 些 有 意 义的 指 标 来 衡 量 推 断 的 正 确 程 度 ， 评 价 推 断 过 程 中 所 含 有 的 不确 定 性 。 下 面 给 出 数 理 统 计 学 的 一 些 基 本 概 念 。 4.1 总 体 与 样 本 一 、 总 体 与 总 体 分 布 总 体 是 具 有 一 定 共 同 属 性 的 研 究 对 象 的 全 体 。 一 旦 总 体 确定 了 ， 便 称 组 成 总 体 的 每 一 个 个 别 的 成 员 为 个 体 。 总 体 与 个 体的 关 系 ， 即 集 合 论 中 集 合 与 元 素 之 间 的 关 系 。 例 如 ， 为 研 究 灯 泡 厂 一 天 中 所 生 产 的 灯 泡 的 质 量 ， 该 厂 在一 天 中 所 生 产 的 所 有 灯 泡 就 是 待 研 究 的 总 体 ， 每 一 个 灯 泡 就 是一 个 个 体 。 在 统 计 学 的 研 究 过 程 中 ， 人 们 关 心 的 并 不 是 所 研 究 对 象（ 总 体 ） 的 所 有 特 征 ， 而 仅 仅 是 关 心 反 映 所 研 究 对 象 某 一 特 征的 某 一 项 或 某 几 项 数 量 指 标 。 例 如 ， 反 映 学 生 “ 概 率 统 计 ” 课 程 的 学 习 情 况 的 数 量 指标 ， 就 是 学 生 这 门 课 程 的 考 核 成 绩 （ 并 不 需 要 考 虑 学 生 的 身 高 、体 重 等 指 标 ） 。 对 于 所 选 定 的 数 量 指 标 X （ 可 以 是 向 量 ） 而 言 ， 由 于 每 个个 体 的 取 值 是 不 同 的 ， 且 每 个 个 体 的 取 值 在 测 试 结 束 之 前 是 不能 确 定 的 ， 因 此 数 量 指 标 X 是 一 个 随 机 变 量 （ 或 随 机 向 量 ） 。 为 了 研 究 方 便 ， 通 常 把 总 体 （ 具 有 一 定 共 同 属 性 的 研 究 对象 的 全 体 ） 与 数 量 指 标 X 等 同 起 来 ， 并 把 数 量 指 标 X 的 分 布称 为 总 体 的 分 布 。 即 定 义 4.1（ P.124） 统 计 学 中 ， 称 随 机 变 量 （ 或 随 机 向 量 ）X 为 总 体 ， 并 把 随 机 变 量 （ 或 随 机 向 量 ） X 的 分 布 称 为 总 体 分布 。 注 （ P.124） ： 总 体 X 的 分 布 一 般 是 未 知 的 。 有 时 虽 然已 知 总 体 分 布 的 类 型 （ 如 正 态 分 布 、 伯 努 利 分 布 等 ） ， 但 这 些分 布 中 所 含 的 参 数 （ 如 、 2 ， p 等 ） 也 是 未 知 的 。 统 计 学的 主 要 任 务 ， 就 是 对 总 体 的 未 知 的 分 布 或 参 数 进 行 推 断 。 对 于 所 研 究 对 象 的 定 性 指 标 ， 也 可 以 转 化 为 定 量 指 标（ 即 数 量 指 标 ） 来 研 究 ， 进 而 可 以 设 定 一 个 随 机 变 量 来 表 示 所研 究 的 总 体 。 例 如 ， “ 考 察 学 生 的 学 习 成 绩 是 优 秀 、 合 格 还 是 不 合 格 ” 时 ， 仍 然 可 以 用 一 个 随 机 变 量 X 来 描 述 ： 令 。 成 绩 不 合 格 时成 绩 合 格 时成 绩 优 秀 时101X 二 、 样 本 与 样 本 分 布 由 于 总 体 的 分 布 一 般 是 未 知 或 部 分 未 知 的 ， 为 了 获 取 对 总体 分 布 的 知 识 ， 就 需 要 对 总 体 进 行 观 察 ， 收 集 有 关 总 体 的 信 息和 资 料 。 在 实 际 研 究 过 程 中 ， 由 于 受 到 人 力 、 时 间 和 财 力 方 面 的 限制 ， 人 们 往 往 不 能 收 集 到 有 关 总 体 的 全 部 信 息 ； 而 且 在 有 些 情况 下 ， 根 本 就 不 允 许 人 们 去 获 取 有 关 总 体 的 全 部 数 据 （ 如 在 测试 灯 泡 的 使 用 寿 命 时 ， 测 试 本 身 具 有 破 坏 性 ） 。 因 此 ， 通 常 总 是 从 总 体 中 抽 取 一 部 分 个 体 来 进 行 观 察 ， 这种 做 法 称 之 为 “ 抽 样 ” 。 假 设 从 总 体 X 中 抽 取 了 n 个 个 体 X1 ， X2 ， ， X n 来 对总 体 X 进 行 抽 样 观 察 ， 由 于 在 观 察 测 试 结 束 之 前 ， 这 n 个 个体 的 观 测 值 是 不 确 定 的 ， 而 且 反 复 抽 样 所 得 到 n 个 个 体 的 观测 结 果 也 是 不 相 同 的 。 因 此 ， 所 抽 取 的 n 个 个 体 X1 ， X2 ， ， X n 实 际 上 就 是一 个 随 机 向 量 （ X1 ， X2 ， ， X n ） ， 称 之 为 一 个 “ 样 本 ” ，每 一 个 个 体 X i 称 之 为 一 个 样 品 ； 对 样 本 （ X1 , X2 , , X n ） 的 一 次 观 测 值 （ x1 ， x2 ， ，x n ） ， 就 是 样 本 的 一 个 “ 实 现 值 （ 样 本 值 ） ” 。 统 计 学 的 主 要 任 务 ， 就 是 提 供 科 学 的 方 法 ， 借 助 样 本 值（ x1 ， x2 ， ， x n ） ， 对 未 知 的 总 体 进 行 合 理 的 推 断 。 为 了 更 准 确 地 对 总 体 分 布 进 行 分 析 和 推 断 ， 就 要 求 所 抽取 的 样 本 能 够 很 好 地 反 映 总 体 的 特 性 。 下 面 的 定 义 给 出 了 一个 好 的 样 本 应 该 具 备 的 条 件 。 定 义 4.2（ P.125） 称 （ X1 ， X2 ， ， X n ） 为 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本 ， 如 果 X1 ， X2 ， ， X n 是 相 互 独 立 、 同 分布 的 随 机 变 量 ， 而 且 它 们 都 与 总 体 X 同 分 布 。 样 本 中 所 含 分量 的 个 数 n ， 称 为 该 样 本 的 容 量 。 1)人 们 要 求 样 本 中 的 每 一 个 分 量 X i （ i =1， 2， ， n ）都 与 总 体 X 同 分 布 ， 表 明 抽 样 观 察 的 每 一 个 个 体 都 是 从 总 体中 抽 取 的 ， 因 而 它 们 对 总 体 具 有 很 好 的 代 表 性 ； 2)人 们 要 求 样 本 中 的 各 分 量 X 1 ， X2 ， ， X n 相 互 独立 ， 则 表 明 所 得 到 的 每 一 个 观 察 结 果 既 不 影 响 其 它 观 察 结 果 ，也 不 受 其 它 观 察 结 果 的 影 响 。 定 义 （ P.125） 获 取 简 单 随 机 样 本 的 方 法 ， 称 为 简 单 随 机抽 样 。 并 称 样 本 （ X1 ， X2 ， ， X n ） 的 一 组 具 体 的 观 察 值（ x1 ， x2 ， ， x n ） 为 样 本 值 ， 全 体 样 本 值 组 成 的 集 合 为 样本 空 间 。 容 量 为 n 的 样 本 空 间 是 n 维 向 量 空 间 Rn 的 一 个 子 集 。 这 里 假 定 所 考 虑 的 样 本 都 是 简 单 随 机 样 本 ， 简 称 为 样 本 。 约 定 ： 以 大 写 的 英 文 字 母 X i 表 示 随 机 变 量 ， 而 以 相 应 的小 写 英 文 字 母 xi 表 示 随 机 变 量 X i 的 观 察 值 。 设 总 体 X 的 分 布 函 数 为 F ( x )， 则 由 定 义 4.2（ P.125知 ，样 本 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 分 布 函 数 为 ， 并 称 之 为 样 本 分 布 。 特 别 地 ， 如 果 总 体 X 为 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 密 度 函 数 为f ( x )， 则 样 本 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 密 度 函 数 为 ， 并 分 别 称 f ( x ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 为 总 体 密 度 和 样 本 密 度 。 如 果 总 体 X 为 离 散 型 随 机 变 量 ， . ni ini iin xFxFxxxF 1121 )()(),( ni in xfxxxf 121 )(),( 如 果 总 体 X 为 离 散 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 分 布 为 p ( x ) = P ( X = x )， x 取 遍 X 所 有 可 能 的 取 值 ， 则 样 本 （ X1 ，X2 ， ， Xn ） 的 概 率 分 布 为 ，并 分 别 称 p ( x ) 和 p ( x1 , x2 , , x n ) 为 总 体 概 率 分 布 和 样 本 概率 分 布 。 ni ini i nnn xpxXP xXxXxXPxxxp 11 221121 )()( ),(),( 例 4.1（ P.126） 称 总 体 X 为 正 态 总 体 ， 如 果 X 服 从 正 态分 布 。 正 态 总 体 是 统 计 应 用 中 最 常 见 的 总 体 。 现 假 设 总 体 X N( ， 2 ) ，总 体 密 度 则 其 样 本 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 密 度 为 )(21exp)21( )(21exp21)(),( 1 221 2121 ni in ni ini in x xxxxxf 2 )(exp21)( 2 2 xx 例 4.2（ P.126） 称 总 体 X 为 伯 努 利 总 体 ， 如 果 它 服 从 以 p（ 0 p 1） 为 参 数 的 伯 努 利 分 布 ， 即 X b ( 1， p ) 。 从 而 有 P ( X = 1 ) = p， P ( X = 0 ) = 1 p ， 即 p ( i ) = P ( X = i ) = pi ( 1p )1 i ， i = 0， 1。 于 是 ， 其 样 本 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 概 率 分 布 为其 中 x i （ i = 1， 2， ， n ） 取 值 1 或 0， ， 它 恰好 等 于 样 本 中 取 值 为 1 的 分 量 之 总 和 。 nnni ini i ii SnSxx ni xxni in pppp ppxpxxxp )1()1( )1()(),( )1(1 1121 11 ni in xS 1 例 4.3 设 总 体 X 服 从 参 数 为 p 的 几 何 分 布 ， （ X1 , X2 , , Xn ） 为 其 样 本 ， 求 样 本 的 概 率 分 布 。 解 p ( k ) = P ( X = k ) = p ( 1 p ) k 1 ， k = 1， 2， ;（ X1 ， X2 ， ， Xn ） 是 来 自 总 体 X 的 样 本 ， 样 本 的 概 率 分 布 为 其 中 x i （ i = 1， 2， ， n ） 取 值 正 整 数 。 ni nxnxni in ni ii ppppxpxxxp 1 1121 1)1()1()(),( 例 4.4 设 总 体 X 服 从 参 数 为 的 指 数 分 布 ， （ X1 ， X2 ,， Xn ） 为 其 样 本 ， 求 样 本 密 度 。 解 总 体 X e ( )， ；（ X1 ， X2 ， ， Xn ） 是 来 自 总 体 X 的 样 本 ， 样 本 密 度 为 00 0)( xxexf x 其 它 ， 其 它 ，nixe nixexfxxxf ixn ini xni in ni i i 2100 2100 )()(),( 1 1121 对 样 本 概 率 分 布 和 样 本 密 度 的 理 解 ： 在 例 4.3 和 例 4.4 中 ， 算 得 样 本 概 率 分 布 和 样 本 密 度 分 别 为 ， xi 取 值 正 整 数 ， i = 1， 2， ， n ；和 ， xi 0， i = 1， 2， ， n 。 在 概 率 论 的 研 究 中 ， 人 们 通 常 假 定 随 机 变 量 （ 即 总 体 ） 的分 布 及 其 参 数 （ 如 ： p、 等 ） 都 是 已 知 的 ， 因 而 把p ( x 1 , x2 , , xn ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 理 解 为 关 于 未 知 量 x1 ，x2 ， ， xn 的 n 元 函 数 。 nxnn ni ippxxxp 1)1(),( 21 ni ixnn exxxf 1),( 21 例 设 总 体 X服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 ， 则 样 本 的 概 率分 布 为 ni nnn iXPiXiXiXP 12211 ,., nnsnk ki eiiiei nk !.! 211 .,10)1( 21 nnk iiisnki 而或取 值其 中 在 统 计 学 的 实 际 应 用 中 ， 根 据 知 识 与 经 验 ， 人 们 往 往 可 以确 定 总 体 分 布 所 属 的 类 型 ， 例 如 ， 认 为 学 生 的 考 试 成 绩 服从 正 态 分 布 ； 描 述 一 件 产 品 是 否 为 废 品 的 随 机 变 量 服 从 伯努 利 分 布 （ 0 1 分 布 ） ； 记 录 电 话 呼 叫 次 数 的 随 机 变 量 服从 泊 松 分 布 ； 电 子 元 件 的 寿 命 服 从 指 数 分 布 等 等 。 因 此 ， 在 总 体 分 布 中 ， 往 往 只 是 其 中 的 参 数 是 未 知 的 。 从 这 个 意 义 上 来 讲 ， 可 以 从 另 一 个 角 度 来 理 解 例 4.3 和 例 4.4 中 的 样 本 概 率 分 布 和 样 本 密 度 ： 把 式 中 的 ( x 1 , x2 , , x n ) 看 作 是 一 个 样 本 值 ， 通 过 试 验观 察 就 可 以 确 定 下 来 ， 因 而 它 们 是 一 组 已 知 量 （ 或 可 知 量 ） ，而 各 总 体 的 参 数 （ 如 p、 等 ） 是 未 知 量 ， 即 分 别 把p ( x1 , x2 , , xn ) 和 f ( x1 , x2 , , xn ) 理 解 为 关 于 未 知 参 数 p 和 的 一 元 函 数 ： ， 0 p 0 。 在 统 计 学 中 ， 就 是 要 由 样 本 值 ( x1 , x2 , , x n ) 出 发 ， 来推 断 总 体 中 未 知 的 参 数 。 因 此 ， 统 计 学 中 又 把 例 4.3 和 例 4.4 中的 样 本 概 率 分 布 和 样 本 密 度 函 数 称 为 未 知 参 数 的 似 然 函 数 。 关于 似 然 函 数 的 概 念 ， 将 在 5.2 中 做 详 细 的 介 绍 。nxnn ni ipppxxxp 1)1();,( 21 ni ixnn exxxf 1);,( 21 三 、 统 计 推 断 问 题 简 述 （ P.122） 统 计 学 要 解 决 的 主 要 问 题 ， 就 是 借 助 总 体 X 的 一 个 样 本（ X1 ， X2 ， ， Xn ） ， 利 用 其 样 本 值 （ x1 ， x2 ， ， xn ） ,对 总 体 X 的 未 知 分 布 或 参 数 进 行 科 学 地 、 合 理 地 推 断 。 人 们将 这 类 问 题 统 称 为 统 计 推 断 问 题 。 在 进 行 统 计 推 断 的 过 程 中 ， 为 了 保 证 推 断 的 科 学 性 与 合 理性 ， 需 要 借 助 样 本 构 造 一 些 合 适 的 统 计 量 （ 即 样 本 的 函 数 ， 它是 一 个 随 机 变 量 ） ， 然 后 再 利 用 所 构 造 的 统 计 量 的 “ 良 好 ” 性 质 ， 对 总 体 分 布 所 属 的 类 型 以 及 总 体 分 布 中 所 含 的 未 知 参 数进 行 统 计 推 断 。 作 业P127: 4, 6 4.2 统 计 量 一 、 统 计 量 的 定 义 定 义 4. 3（ P.127） 设 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 为 总 体 X 的一 个 样 本 ， 称 此 样 本 的 任 一 不 含 总 体 分 布 未 知 参 数 的 函 数 为 该样 本 的 统 计 量 。 例 4.4（ P.127 ） 设 总 体 X 服 从 正 态 分 布 ， EX = 5， DX = 2 （ 2 未 知 ） ， （ X 1 ， X2 ， ， Xn ） 为 总 体 X 的 一 个 样本 。 （ 1） 令 Sn = X1 + X2 + + Xn ， ， 则 Sn 与 X 都 是 样 本 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 统 计 量 ， 且 具 有 下 面 的 性 质 : E Sn = E ( X1 + X2 + + Xn ) = EX1 + EX2 + + EXn = n EX = 5 n， D Sn = D ( X1 + X2 + + Xn ) = DX1 + DX2 + + DXn = n DX = n 2 ； ， 。 （ 2） 令 ， 则 U 不 是 该 样 本 的 统 计 量 。 因 为 U 的 表 达 式 中 含 有 总 体 分 布 的 未 知 参 数 。 n SX nEXnnESnnSEXE nn 5511 DXnnnnDSnnSDXD nn 1111 2222 )5( XnU 对 于 一 个 给 定 的 样 本 ， 根 据 统 计 量 的 定 义 ， 可 以 构 造 出 很多 统 计 量 来 ， 但 常 用 的 、 具 有 “ 良 好 ” 性 质 的 统 计 量 并 不多 .下 面 介 绍 一 些 在 统 计 学 中 常 用 的 统 计 量 。 二 、 常 用 的 统 计 量 （ P.128） 设 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 为 来 自 总 体 X 的 一 个 容 量 为 n 的 样 本 。 1、 样 本 均 值称 样 本 中 各 分 量 的 算 术 平 均 值 为 样 本 均 值 ， 记 做 X， 即 （ 随 机 变 量 ） 。 注 ： 其 实 现 值 为 ： 。 ni in XnXXXnX 121 1)(1 ni ixnx 11 注 意 区 分 符 号 E X 与 X ! EX 是 总 体 期 望 （ 总 体 均 值 ） ， ， 是 一 个 常 数 ； X 是 样 本 均 值 ， ， 是 随 机 向 量 （ 样 本 ）（ X 1 ， X 2 ， ， X n ） 的 函 数 ， 是 一 个 随 机 变 量 。 因 而 ， E X X ! ni iXnX 11 是 连 续 型 时当 是 离 散 型 时当 Xdxxxf XpxEX i ii )( 2、 样 本 方 差 样 本 方 差 和 样 本 标 准 差 都 是 用 来 描 述 样 本 中 各 分 量 与 样 本均 值 的 均 方 差 异 的 统 计 量 。 样 本 方 差 有 两 种 定 义 方 式 ： 一 种 是 ， 并 称 S02 是 样 本 的 未 修 正 的样 本 方 差 。 3、 样 本 标 准 差 更 常 用 的 是 样 本 方 差 的 另 一 种 定 义 ， ， 并 称 S2 是 修 正 的 样 本 方 差 。 S 2 比 S02 有 更 好 的 统 计 性 质 。 今 后 使 用 的 主 要 是 修 正 的 样本 方 差 ， 简 称 为 样 本 方 差 .前 者 的 数 学 期 望 是 正 好 是 方 差 . 同 总 体 的 方 差 与 其 标 准 差 之 间 的 关 系 一 样 ， 样 本 标 准 差 S 定 义 为 样 本 方 差 S2 的 算 术 平 方 根 ， 即 。 ni i XXnS 1 220 )(1 ni i XXnSnnS 1 2202 )(111 ni i XXnS 1 2)(11 例 4.5 样 本 方 差 的 简 化 计 算 问 题 。其 中 。 )(11 )2(11 )12(11 )2(11 )2(11)(11 1 221 221 212 1 212 1 221 22 n i ini ini ni ii ni ni ii ni iini i XnXn XnXnXXn XnXnnXXn XnXXXn XXXXnXXnS ni iXnX 11 例 4.6 设 （ x1 ， x2 ， ， x6 ） 是 来 自 总 体 X 的 样 本 值 ，已 知 ， 。 求 （ 1） 样 本 均 值 x ；（ 2） 样 本 方 差 s2 ， 以 及 样 本 标 准 差 s 。 解 （ 1） ； （ 2） 。 1261 i ix 961 61 2 i ix 21261611 6 11 i ini i xxnx6s 6)2696(51 )6(51)(11 2 261 221 22 xxxnxns i ini i 例 4.7 设 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 是 来 自 总 体 X 的 样 本 ，EX = ， DX = 2 ， ， 求 EX， DX 。 解 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 是 来 自 总 体 X 的 样 本 ，EX = ， DX = 2 ， E Xi = ， D Xi = 2 ， i = 1， 2， ， n； 且 X1 ， X2 ， Xn 相 互 独 立 ， ； 。 进 而 有 ， 若 总 体 X N ( ， 2 ) （ 即 X 是 正 态 总 体 ） ，则 。 ni iXnX 11 )(11)1( 11 EXnnEXnXnEXE ni ini i )1(111)1( 222121 DXnnnnDXnXnDXD ni ini i ),(1 21 nNXnX ni i 注 ： 样 本 方 差 的 统 计 意 义 就 样 本 的 某 一 组 观 察 值 （ x1 ， x2 ， ， xn ） 而 言 ， 与 总 体方 差 类 似 ， 样 本 方 差 刻 画 了 样 本 值 对 其样 本 均 值 的 平 均 偏 离 程 度 ： 样 本 方 差 越 小 ， 样 本 数 据 就 围 绕 着其 样 本 均 值 分 布 得 越 集 中 ； 样 本 方 差 越 大 ， 样 本 数 据 就 围 绕 着其 样 本 均 值 分 布 得 越 分 散 。 4、 样 本 原 点 矩 （ P.129） 记 ， k 1。 并 称 A k 为 样 本 的 k 阶 原 点 矩 。 当 k = 1 时 ， 一 阶 样 本 原 点 矩 就 是 样 本 均 值X 。 可 见 ， 样 本 原 点 矩 是 样 本 均 值 概 念 的 推 广 。 ni kik XnA 11 ni iXnA 11 1 ni i xxns 1 22 )(11 5、 样 本 中 心 矩 （ P.129） 记 ， k 1。 并 称 Bk 为 样 本 的 k 阶 中心 矩 。 当 k = 2 时 ， 二 阶 样 本 中 心 矩 就 是未 修 正 的 样 本 方 差 。 可 见 ， 样 本 中 心 矩 是 未 修 正 的 样 本 方差 概 念 的 推 广 。 以 上 各 统 计 量 （ 样 本 均 值 、 样 本 方 差 、 样 本 标 准 差 、 样本 原 点 矩 、 样 本 中 心 矩 ） 统 称 为 样 本 的 矩 统 计 量 ， 或 简 称 为样 本 矩 。 它 们 都 可 以 表 示 成 样 本 的 显 示 函 数 。 除 样 本 矩 以 外 ， 还 可 以 定 义 不 能 表 为 样 本 的 显 示 函 数 的统 计 量 。 ni kik XXnB 1 )(1 ni i XXnB 1 22 )(120S 6、 顺 序 统 计 量 设 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 为 总 体 X 的 一 个 样 本 ， 将 样 本 中的 各 分 量 按 由 小 到 大 的 顺 序 排 列 成 X (1) X (2) X ( n ) ，则 称 （ X (1) ， X (2) ， ， X ( n ) ） 为 样 本 的 一 组 顺 序 统 计 量 ， 称X (i) 为 样 本 的 第 i 个 顺 序 统 计 量 。 特 别 地 ， 称 X (1) 与 X ( n ) 分 别 为 样 本 的 极 小 值 与 极 大 值 ，并 称 X (n) X (1) 为 样 本 的 极 差 。 为 样 本 极 小 值 。),.,min( 21)1( nXXXX ( ) 1 2max( , ,., )n nX X X X 为 样 本 极 大 值 三 、 枢 轴 量 在 样 本 的 统 计 量 中 不 应 该 包 含 总 体 分 布 的 任 何 未 知 参 数 。但 是 在 统 计 推 断 问 题 中 ， 又 常 常 需 要 利 用 样 本 资 料 对 总 体 分 布中 的 某 一 个 未 知 参 数 进 行 推 断 。 为 此 ， 需 要 构 造 一 个 样 本 的 仅 含 有 待 推 断 的 未 知 参 数 ，而 不 含 有 其 它 未 知 参 数 的 函 数 U ( X1 , X2 , , Xn ; ) ， 同 时 要求 如 此 构 造 的 样 本 函 数 U ( X1 , X2 , , Xn ; ) 的 分 布 已 知 。 将 这 种 只 含 有 一 个 未 知 参 数 、 且 分 布 已 知 的 样 本 函 数 ， 称为 枢 轴 量 。 人 们 利 用 枢 轴 量 的 已 知 分 布 ， 就 可 以 对 总 体 分 布 中的 未 知 参 数 进 行 统 计 推 断 。 由 此 可 见 ， 枢 轴 量 应 该 满 足 三 点 要 求 ： 首 先 ， 它 必 须 是 一个 样 本 的 函 数 ； 其 次 ， 在 这 个 样 本 的 函 数 中 仅 含 有 一 个 未 知 参 数 ； 最 后 ， 此 样 本 函 数 的 分 布 是 已 知 的 。 例 4.8（ P.129 例 4.5） 设 总 体 X ， 其 中 已 知 ， 未 知 ， （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 为 总 体 X 的 一 个 样本 ， 令 ， 则 U N( 0 , 1 ) 。 证 （ X1 ， X2 ， ， Xn ） 是 来 自 正 态 总 体 的 一 个 样 本 ， X1 ， X2 ， ， Xn 相 互 独 立 ， 且 ，i = 1， 2， ， n。 ，于 是 ， 。 ),( 20N20 nXU /0 ),( 20N ),( 20NXi)1,(1 201 nNXnX ni i )1,0(/0 NnXU 另 外 ， 由 于 U 是 样 本（ X1 ， X2 ， ， Xn ） 的 函数 ， 且 仅 含 有 一 个 未 知 参 数 ， 同 时 U 的 分 布 已 知 ， 所以 U 是 一 个 枢 轴 量 。 4.3 常 用 的 统 计 分 布 统 计 推 断 的 基 本 做 法 是 ： 在 取 得 总 体 X 的 样 本 （ X1 ，X2 ， ， Xn ） 之 后 ， 借 助 样 本 统 计 量 （ 或 枢 轴 量 ） 来 对 未 知的 总 体 分 布 进 行 推 断 。 为 了 实 现 统 计 推 断 的 目 的 ， 一 般 需 要 确 定 相 应 的 统 计 量（ 或 枢 轴 量 ） 所 服 从 的 分 布 。 本 节 将 介 绍 一 些 统 计 学 中 常 用的 统 计 分 布 。 一 、 分 位 数 分 位 数 是 统 计 分 布 的 数 字 特 征 。 定 义 4.4（ P.130） 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 F(x)，对 给 定 的 实 数 （ 0 F ) = ， 或 F( F ) = 1 。 则 称 F 为 随 机 变 量 X 的分 布 的 水 平 的 上 侧 分 位 数 。 或 直 接 称 为 分 布 函 数 F(x) 的 水平 的 上 侧 分 位 数 。 特 别 地 ， 如 果 F(x) 是 严 格 单 调 增 的 ， 则 其 在 水 平 的 上侧 分 位 数 F 为 F = F 1 ( 1 ) 。 当 X 是 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 设 其 密 度 函 数 为 f (x)：X f (x) ， 则 其 在 水 平 的 上 侧 分 位 数 F 应 满 足（ P ( X F ) = ） ： ，其 中 F 也 称 为 水 平 的 右 侧 分 位 数 ； 为 图 中 阴 影 部 分 的 面积 ， 通 常 表 示 一 个 小 概 率 事 件的 概 率 ， 也 称 为 （ 右 侧 ） 尾 部概 率 ， 常 取 值 为 0.01、 0.05 和 0.10 ， 一 般 要 求 F1 ) = 1 ， 或 F( F1 ) = 。 注 ： 当 密 度 函 数 为 f (x) 为 偶 函 数 时 ， 成 立 F1 = F （ 如 图 2） 。 图 1 图 2f (x) 1 0 F1 x xf (x) F1 = F 0 F 如 ： 标 准 正 态 分 布 N( 0 , 1 ) 在 水 平 的 上 侧 分 位 数 通 常记 为 u ， 且 u 应 满 足 0 ( u ) = 1 。 于 是 ， 通 过 查 标 准 正 态 分 布 的 分 布 函 数 表 （ 附 表 2） ， 即可 以 得 到 分 位 数 u 的 值 。 例 如 ， 当 = 0.05 时 ， 0 ( u 0.05 ) = 0.95， 查 表 得 u 0.05 = 1.645，由 对 称 性 ， 得 u 0.95 = 1.645； 当 = 0.10 时 ， 0 ( u 0.10 ) = 0.90， 查 表 得 u 0.10 = 1.28，由 对 称 性 ， 得 u 0.90 = 1.28。 总 注 ： F（ 1） 分 布 函 数 的 图 像 在 左 侧 的 面 积 为 .1 （ 2） 若 F(x)是 严 格 单 调 递 增 的 ， 则 ).1(1 FF（ 3） 标 准 正 态 分 布 N(0,1)水 平 的 上 側 分 位 数 通 常 记 为.1)(, 0 uu 即 它 满 足（ 4） 根 据 图 形 的 关 系 ， 可 以 得 到 .1 , 221 1 FXFP FXP（ 5） 对 于 具 有 对 称 分 布 的 分 布 函 数 的 上 側 分 位 数. 1 FF 在 统 计 学 中 ， 还 要 用 到 另 一 种 分 位 数 双 侧 分 位 数 。 定 义 4.5（ P.131） 设 X 是 对 称 分 布 的 随 机 变 量 ， 其 分 布函 数 为 F(x)， 对 给 定 的 实 数 （ 0 T ) = ， 即 P( X T ) + P( X T ) = ， 得 P( X T ) + P( X T ) = / 2 且 P( X F ) = ， 知 ： T = F / 2 ， 即 水 平 的 双 侧 分 位 数 T ,就是 水 平 / 2 的 上 侧 分 位 数 F / 2 （ 通 常 不 使 用 符 号 T ， 而 使用 符 号 F / 2 来 表 示 双 侧 分 位 数 ） 。 当 X 是 连 续 型 随 机 变 量时 ， 设 其 密 度 函 数 为 f (x)，T 的 意 义 如 右 图 所 示 。 可 见 ， T = F / 2 ， 且 有 P ( X F / 2 ) = / 2 或 F ( F / 2 ) = 1 / 2， 以 及 P ( F / 2 X F1 / 2 ) = 1 / 2， 或 F ( F1 / 2 ) = / 2; F / 2 满 足 ： P( X F / 2 ) = / 2， 或 F ( F / 2 ) = 1 / 2。且 有 P( F1 / 2 X F / 2 ) = 1 。 当 X 是 连 续 型 随 机 变 量 时 ， 且 X f (x) 时 ， 有 下 图 。 x/2f (x) 1 0 F1 / 2 F / 2/2 例 4.9 当 = 0.05 时 ， 求 标 准 正 态 分 布 的 水 平 的 （ 双侧 ） 分 位 数 。 解 当 = 0.05 时 ， 0 ( u 0.025 ) = 0.975，查 表 得 u 0.025 = 1.96； 且 有 P( 1.96 X 1.96 ) = 1 0.05 = 0.95 。 0 x)(x u1u 二 、 2 分 布 命 题 4.1 设 X1 ， X2 ， ， Xn 是 n 个 相 互 独 立 的 随 机 变量 ， 且 Xi N(0,1)， i = 1, 2, , n 。 则 X = X12 + X22 + + Xn2 的 密 度 函 数 为 ， 其 中 是 （ 伽 马 ） 函 数 。 定 义 4.6（ P.128） 一 个 随 机 变 量 X 称 为 服 从 以 n 为 自 由度 的 2 分 布 ， 如 果 其 密 度 函 数 为 。 记 作 X 2( n ) 。 可 见 ， 服 从 2 分 布 的 随 机 变 量 一 定 是 非 负 随 机 变 量 。0,)2(2 1);( 211222 xexnnx xnn )0()( 0 1 dxex x0,)2(2 1);()( 211222 xexnnxxf xnnX 定 理 :设 X1,X2,Xn是 相 互 独 立 的 随 机 变 量 ,且 XiN(0,1),则 统 计 量2 2 2 21 2 . ( )nX X X X n 2, ( ), .X n X n反 之 若 则 可 分 解 为 个 相 互 独 立的 标 准 正 态 随 机 变 量 的 平 方 和 2 分 布 的 密 度 函 数 的 图 形 见 P.128 图 4-4。 当 自 由 度 n 取不 同 的 值 时 ， 2 分 布 的 密 度 函 数 的 图 形 具 有 不 同 的 形 状 。 当 n 3 时 ， 2 分 布 的 密 度 函 数 的 曲 线 都 为 单 峰 曲 线 ， 曲线 从 原 点 开 始 递 增 ， 在 x = n 2 处 达 到 最 大 值 ， 然 后 递 减 ， 并以 x 轴 为 渐 进 线 。 函 数 的 图 形 关 于 直 线 x = n 2 不 对 称 ， 但 随着 自 由 度 n 的 增 大 ， 曲 线 的 峰 值 向 右 移 动 ， 图 形 变 得 比 较 平 缓 ，并 且 趋 于 对 称 。 因 此 ， 当 自 由 度 n 充 分 大 以 后 ， 2 分 布 可 以用 正 态 分 布 来 近 似 。 2分 布 的 的 密 度 函 数 的 示 意 图 当 n = 2 时 ， 是 参 数 的 指 数 分布 的 密 度 函 数 ， 即 自 由 度 为 2 的 2 分 布 2( 2 ) 就 是 参 数 的 指 数 分 布 。 其 密 度 函 数 的 曲 线 在 x = 0 处 取 到 最 大 值 ，然 后 递 减 ， 并 以 x 轴 为 渐 进 线 。 当 n = 1 时 ， 2 分 布 的 密 度 函 数 的 曲 线 在 x = 0 处 取 无 穷 大值 并 以 x 轴 和 y 轴 分 别 为 其 水 平 渐 进 线 和 垂 直 渐 进 线 。 根 据 定 义 4.6 和 正 态 分 布 的 性 质 ， 可 以 得 到 下 面 的 命 题 。 命 题 4.2（ 1） 若 X 2( m )， Y 2( n )， 且 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 X + Y 2( m+n ) 。 （ 也 称 之 为 独 立 2 变 量的 可 加 性 。 ）（ 2） 若 X 2( n )， 则 EX = n， DX = 2n 。 0,21)2;( 212 xex x 21 21)21(e)21(e 证 明 （ 1） 设 随 机 变 量 X1 ， X2 ， ， Xm ， Xm+1 ， ，Xm+n 相 互 独 立 ， 同 服 从 标 准 正 态 分 布 N(0,1) ， 则 由 命 题 4.1 及定 义 4.6 得 X12 + X22 + + Xm2 2( m )， Xm+12 + Xm+22 + + Xm+n2 2( n )， X12 + X22 + + Xm+n2 2( m+n )。 X 2( m )， Y 2( n )， X 与 X12 + X22 + + Xm2 同 分 布 ， Y 与 X m+12 + Xm+22 + + Xm+n2 同 分 布 。 又 X 与 Y 相 互 独 立 ， X + Y 与 X12 + X22 + + Xm+n2 同 分 布 。 X + Y 2( m+n ) 。 （ 2） 设 随 机 变 量 X1 ， X2 ， ， Xn 相 互 独 立 ， 同 服 从 标准 正 态 分 布 N(0,1) ， 则 X12 + X22 + + Xn2 2( n )， 且 EXi = 0， DXi = 1， i = 1， 2， ， n 。 于 是 ， EXi2 = DXi + (EXi )2 = 1， i = 1， 2， ， n ； i = 1， 2， ， n 。 33)(3213 32121 21)( 202212 212213 214044 2 22 2 ix xx xi EXdxxxdxex dxexex dxexdxxxEX X 2( n )， X 与 X12 + X22 + + Xn2 同 分 布 ， 于 是 , ； （ 注 ： ） 又 随 机 变 量 X1 ， X2 ， ， Xn 相 互 独 立 ， X12 ， X22 ， ， Xn2 也 相 互 独 立 ， 而 X 与 X12 + X22 + + Xn2 同 分 布 ， 从 而 。 2 分 布 是 常 用 的 统 计 分 布 之 一 ， 但 由 于 其 密 度 函 数 的 结构 比 较 复 杂 ， 难 于 进 行 直 接 的 计 算 。 通 常 将 其 制 成 统 计 用 表（ 附 表 3 ） 。 附 表 3 给 出 了 自 由 度 为 n 的 2 分 布 的 水 平 的 上 侧 分 位数 2 ( n ) 的 值 ， 即 若 随 机 变 量 X 2( n )， 0 2 ( n ) ) = ， 或 P( X 21 ( n ) ) = 1 。 nEXXEEX nini ini i 11 21 2 1)( ni iXX 1 2 nEXEXDXXDDX nini iini ini i 2)13()()( 11 2241 21 2 2(n) 由 于 2 分 布 的 密 度 函 数 2( x ; n ) 不 是 对 称 的 ， 因 而 2 分 布 不 存 在 双 侧 分 位 数 。 但 在 统 计 推 断 中 ， 常 常 会 使 用 两 个 分位 数 21 / 2 ( n ) 和 2 / 2 ( n ) ， 使 P( X 2 / 2 ( n ) ) = 。 通 常 采 用 式 子 P( X 21 / 2 ( n ) ) = 1 / 2 和 P( X 2 / 2 ( n ) ) = / 2 通 过 查 表 来 确 定 分 位 数 21 / 2 ( n ) 和 2 / 2 ( n ) 。 且 有 P( 21 / 2 ( n ) X 45 或 n 50 ） 时 ， 可 以 用 正态 分 布 来 近 似 2 分 布 ， 用 正 态 分 布 的 分 位 数 近 似 地 求 得 2 分布 的 分 位 数 。 例 4.10 设 r.v. X 2( 16 )， = 0.05， 求 1)21 ( 16 ) ；2) 21 / 2 ( 16 ) 。 解 1) 由 P( X 20.95 ( 16 ) ) = 0.95， 查 表 得21 ( 16 ) = 20.95 ( 16 ) = 7. 962； 2) 由 P( X 20.975 ( 16 ) ) = 0. 975， 查 表 得21 / 2 ( 16 ) = 20.975 ( 16 ) = 6.908， 且 有 P( 6.908 X 28.845 ) = 0.95 。 三 、 F 分 布 F 分 布 也 是 一 种 常 用 的 统 计 分 布 。 命 题 4.3 设 X 2 ( m )， Y 2 ( n )， 且 X 与 Y 相 互 独 立 ， 记 ， 则 Z 的 密 度 函 数 为其 中 （ p 0， q 0） 是 （ 贝 塔 ） 函数 。 YXmnnY mXZ / 0,)1()()2,2( 1),;( )(2112 xxnmxnmnmnmnmxf nmm 10 11 )1(),( dxxxqp qp 定 义 4.7 一 个 随 机 变 量 X 称 为 服 从 第 一 自 由 度 为 m ， 第二 自 由 度 为 n 的 F 分 布 ， 如 果 其 密 度 函 数 为 记 作 X F( m , n ) 。 可 见 ， 服 从 F 分 布 的 随 机 变 量 一 定 是 非 负 随 机 变 量 。 0,)1()()2,2( 1),;()( )(2112 xxnmxnmnmnmnmxfxf nmmX F分 布 的 的 密 度 函 数 的 示 意 图(n1,n2)=(10,40)(n1,n2)=(11,3)O F 分 布 的 密 度 函 数 曲 线 的 形 状 因 自 由 度 m、 n 的 不 同 取 值而 异 。 当 第 一 自 由 度 m 3 时 ， F 分 布 的 密 度 函 数 的 曲 线 是 单 峰曲 线 ， 曲 线 在 处 达 到 最 大 值 ， 且 x* 1， 即 图形 的 峰 值 恒 在 小 于 1 处 达 到 。 当 两 个 自 由 度 m 与 n 都 变 得 越 来 越 大 时 ， x* 就 越 来 越 接近 于 1， 从 而 函 数 的 图 形 就 在 非 常 接 近 于 1 的 地 方 达 到 最 高 点 ，同 时 ， 曲 线 也 接 近 于 对 称 ； 当 m 与 n 都 趋 于 无 穷 大 时 ， F 分 布 趋 于 正 态 分 布 。 22* n nmmx 综 合 定 义 4.7 和 命 题 4.3 ， 得 结 论 设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 ， 分 别 服 从 2 ( m ) 与 2 ( n ) 分 布 。 令 随 机 变 量 ， 则 Z 服 从 第 一自 由 度 为 m ， 第 二 自 由 度 为 n 的 F 分 布 ， 即 Z F( m , n ) 。 进 而 还 有 结 论 若 随 机 变 量 Z 服