八上全等三角形经典培优习题汇集-学而思

全等三角形经典习题汇集第一讲全等三角形的性质及判定【例 1】如图， AC DE ， BC EF ， ACDE 求证：AFBD EAFDBCDC【补充】如图所示：AB CD ， ABCD 求证：AD BC AB【例 2】已知：如图，B 、 E 、 F 、 C 四点在同一条直线上，ABDC ， BECF ，BC 求证：OAOD ADOB EFC【补充】已知：如图，ADBC ， ACBD ，求证：CD DCOAB【补充】如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ，E 为 CD 中点，连结 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于点F 求证： FCAD ADEBFC【例 3】如图， AB ，CD 相交于点 O ， OAOB ， E 、 F 为 CD 上两点，AE BF ， CEDF 求证：AC BD ACEOFDB【补充】已知，如图，ABAC ， CEAB ， BFAC ，求证： BFCE AEFBC【例 4】如图，DCE90 ，CDCE ，ADAC ，BEAC ，垂足分别为A，B ，试说明ADABBEEABDC【例 10】如图所示，已知 ABDC ， AEDF ， CEBF ，证明： AFDE ADCEFB【例 11】E 、F分别是正方形ABCD的BC、 CD边上的点，且BECF求证：AEBFADFPBEC【补充】E 、 F 、 G 分别是正方形ABCD 的 BC 、 CD 、 AB 边上的点，GEEF ， GEEF 求证：BGCFBC ADGFBCE【例 12】在凸五边形中，BE ，CD ， BCDE ， M 为 CD 中点求证：AMCD ABECMD【补充】如图所示：AFCD ， BCEF ， ABDE ，AD 求证： BC EF AFBECD【例 13】（ 1）如图， ABC的边 AB、 AC 为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连结 EG，试判断 ABC 与 AEG面积之间的关系，并说明理由.（ 2）园林小路，曲径通幽，如图所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？EGDAFBC【例 14】如图， ABC 中， ABBC ， ABC90 ， D 是 AC 上一点， 且 CDCB AB ， DEAC 交 AB于 E 点求证： ADDE EB ADEBC【例 15】ABC 中，B90 ， M 为 AB 上一点，使得AMBC ， N 为 BC 上一点，使得CNBM ，连AN 、 CM 交于 P 点试求APM 的度数，并写出你的推理证明的过程ADMPBNC图3【例 16】如图， I 是 ABC 的内心，且CAAIBC 若BAC80 ，求ABC 和AIB 的大小CIBA【例 17】已知： BD 、CE 是ABC 的高，点P 在 BD 的延长线上，BPAC ，点 Q 在 CE 上， CQAB ，求证：APAQ ； APAQ PADEQBC【例 18】 如左下图，在矩形 ABCD 中， E 为 CB 延长线上一点且AC CE ， F 为 AE 的中点求证：BFFD ABC 中， BE 、 CF 分别为边 AC 、 AB 的高， D 为 BC 的中点， DMEF 于如右下图，在M 求证： FMEM AADMEFFEBCBDC18.补充：如图，已知 ABDACD 60 ，且 ADB 901BDC 求证： ABC 是2等腰三角形【例 19】如图，ABC 为边长是 1的等边三角形，BDC 为顶角 (BDC ) 是 120 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60 角，角的两边分别交AB 于 M ， AC于 N ，连接 MN ，形成一个AMN 求AMN 的周长ANMBCD家庭作业【习题 1】 已知：如图，AB DE ， AC DF ， BECF 求证： ABDE ADBECF【习题 2】 已知： DEF MNP，且 EF NP， F P， D 48， E 52， MN 12cm，求： P 的度数及 DE 的长 .【习题 3】如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CEEF 交 AB 于 F 点，若 DE2 ，矩形周长为16 ，且 CE EF ，求 AE 的长AEDFBC【习题 4】在四边形ABCD 中， AD BC ，A 的平分线AE 交 DC 于 E 求证：当BE 是B的角平分线时，有 ADBCAB 月测备选【备选 1】 如图所示：ABAC ， ADAE ， CD 、 BE 相交于点 O 求证： OA 平分DAE ECOABD【备选 2】 如图所示，在 ABC 中， ADBC 于点 D ，B2C 求证：ABBDCD ACDB【备选 3】 如图， ABC中， D 是 BC的中点，过 D 点的直线 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行线 BG 于 G 点， DE DF，交 AB 于点 E，连结 EG、 EF.（ 1）求证： BG CF.（ 2）请你判断 BE+CF与 EF的大小关系，并说明理由 .AFEBDCG第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线A【例 1】 在 ABC 中， AB5, AC9 ，则 BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？BDCA【补充】已知：ABC 中， AD 是中线求证：1AD( AB AC ) 2BDC【例 2】 已知：如图，梯形ABCD 中， AD BC ，点 E 是 CD 的中点， BE 的延长线与AD 的延长线相交于点 F 求证：BCE FDE ADFEBC【例 3】 如图， 在ABC 中， D 是 BC 边的中点，F ， E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF BE 求证：BDE CDF AFBCDE【例 4】 如图，ABC 中， ABAC ， AD 是中线求证：ADAC DAB BCDA【例 5】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，延F长 BE 交 AC 于 F ， AF EF ，求证： AC BE EBDC【例 6】 如图所示，在ABC 和A B C 中， AD 、 A D 分别是 BC 、 B C 上的中线，且AB A B ，AC A C ，AD A D， 求 证AAABC A B C BDCBDC【例 7】 如图，在 ABC 中， AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点， EF AD 交 CA 的延长线于点F ，交 EF于点 G ，若 BG CF ，求证： AD 为ABC 的角平分线FAGBEDC【例 8】 已知 AD 为ABC 的中线，ADB ，ADC 的平分线分别交AB 于 E 、交 AC 于 F 求证：BECFEF AEFBDC【例 9】 在 Rt ABC 中， A 90 ，点 D 为 BC 的中点，点 E 、F 分别为 AB 、AC 上的点，且 ED FD 以线段 BE 、 EF 、 FC 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？AEFBCD【例 10】已知 ABC， B= C，D，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G，求证 GD=GEADCBGE【例 11】如图所示，在ABC 中， D 是 BC 的中点， DM垂直于 DN ，如果 BM 2CN 2DM 2DN 2 ，求证 AD 21AB 2AC 2 ( 勾股定理的内容，选做)A4MNBDC【例 10】在 Rt ABC 中， F 是斜边 AB 的中点， D 、E 分别在边 CA 、CB 上，满足 DFE90 若 AD3 ，BE 4 ，则线段 DE 的长度为 _ADFGCEB图 6家庭作业【习题1】 如图，在等腰求证：EDBABC 中， ABFDC AC ，D 是 BC的中点，过A 作AEDE ，AFDF，且 AEAF AEFABDCFE【习题 2】 如图，已知在ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上一点，且BEAC ，延长 BE 交 AC 于 F ， AF 与 EF 相等吗？为什么？BCD【习题3】 如右下图，在ABC中，若B2C ，ADBC ，E 为 BC边的中点求证：AB2DE ABDEC【备选1】如图，已知AB=DC， AD=BC，O 是 BD 中点，过求证： E= FO 点的直线分别交DA、 BC的延长线于E， F【备选 2】如图，ABC 中， AB AC ，BAC 90， D 是 BC 中点， EDFD ， ED 与 AB 交于 E ， FD与 AC交于 F 求证： BEAF ， AECF AFEBDC第三讲全等三角形与角平分线问题【例 1】 在ABC 中， D 为 BC 边上的点，已知BADCAD ， BDCD ，求证：ABAC ABDC【例 2】 已知ABC 中， ABAC ， BE 、 CD 分别是ABC 及ACB 平分线求证：CDBE ADEBC【例 3】 如图， 在ABC 中，B60 ， AD 、CE 分别平分BAC 、BCA ，且 AD 与 CE 的交点为 F 求证： FEFD AEFBCD【例 4】 如图，已知ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC 和ACB ，ODBC 于 D ，且 OD3 ，求 ABC 的面积AOBCD【补充】如图所示：ABAC ， ADAE ， CD 、 BE 相交于点 O 求证： OA 平分DAE ECOABD【例 5】 已知ABC 中，A60 ，BD 、CE 分别平分ABC 和ACB ， BD 、CE 交于点 O ，试判断 BE 、CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AEODBC【例 6】 如图，已知E 是 AC 上的一点，又12 ，34 求证： EDEB D1AC34E2B【例 7】 如图所示，OP 是AOC 和BOD 的平分线， OAOC ， OBOD 求证：ABCD OABP DC【例 8】 如图所示， 已知ABC 中， AD 平分BAC ，E 、F 分别在 BD 、AD 上 DECD ，EF AC 求证： EF ABAFBEDC【例 10】如图，在四边形ABCD 中， AC 平分BAD ，过 C 作 CEAB于E ，并且 AE1( AB AD ) ，则2ABCADC 等于多少？DCAEB【补充】长方形 ABCD 中， AB=4， BC=7， BAD 的角平分线交BC 于点 E， EF ED 交 AB 于 F ，则EF =_ADFBEC【补充】在ABC 中， ABAC ，AD 是BAC 的平分线 P 是 AD 上任意一点 求证： ABACPBPC APBDC【例 11】如图，在ABC 中，B2C ，BAC 的平分线AD 交 BC 与 D 求证： ABBDAC ABDC【例 12】如图，ABC 中， ABAC ，A108 ， BD 平分ABC 交 AC 于 D 点求证： BCACCD ADBC【巩固】已知等腰ABC ，A100 ，ABC 的平分线交AC 于 D ，则 BDADBC ADBC【例 13】如图所示，在ABC 中， AD 平分BAC ， ADAB ， CMAD 于 M ，求证 ABAC2AM ABDCM【例 14】如图，ABC于 E 求证：中， ADABAC ， BD 、 CEAE 分别为两底角的外角平分线，ADBD 于 D ，AECEADEGBCH【例 15】如 图，A探讨线段探讨线段D180 ， BE 平分ABC ， CEAB 、 CD 和 BC 之间的等量关系BE 与 CE 之间的位置关系平分BCD，点E 在AD 上DEABC家庭作业【习题 2】如图，在ABC 中， ABBDAC ，BAC 的平分线AD 交 BC 与 D 求证：B2C ABDC【习题 3】是ABC 的角平分线，BEAD交AD的延长线于E，EF AC 交AB于F求证：AFFBADACFDBE【习题 4】如图所示， AD 平行于 BC，DAE=EAB ，ABE=EBC ， AD=4， BC=2，那么 AB=_【习题 5】 ABC 中，D为 BC 中点，DEBC 交BAC 的平分线于点E，AB于FEG AC 于 G 求EF证： BFCG AFBDCGE月测备选【备选 1】在ABC 中， AD 平分BAC ， ABBDAC 求B :C 的值ABDC【备选 2】如图，已知在ABC 中，ABC3C ，12 ， BEAE 求证：ACAB2 BE A21EBC【备选3】如图所示，在四边形的平分线时，有ADABCDBC中， AD BCAB ，A 的平分线AE 交DC 于 E ，求证：当BE 是BDECAB第四讲全等三角形与旋转问题【例 1】 已知：如图，点C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形 （ 1）求证：ANBM NMACB（ 2）求证： CD=CENMDEACB(3) 求证： CF平分 MCNNMFDEACB（ 4） 求证： DE ABNMFDEACB【例 2】 如图，四边形ABCD 、 DEFG 都是正方形，连接AE 、 CG 求证：AECG GFABDEC【例 3】 如图，等边三角形ABC 与等边DEC 共顶点于 C 点求证：AEBD AEDBC【例 4】 如图， D 是等边 ABC 内的一点，且 BD AD ， BP AB ， DBP DBC ，问 BPD 的度数是否一定，若一定，求它的度数；若不一定，说明理由APDBC【例 5】 如图， 等腰直角三角形ABC 中， B90 ， ABa ，O 为 AC 中点， EO OF 求证： BE BF为定值AEOBFC【补充】如图，正方形OGHK 绕正方形 ABCD 中点 O 旋转，其交点为E 、 F ，求证： AECFAB GADE 134O5H2CBFK【例 6】 ( 2004 河北 ) 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边 CD 上一点，点F 是 CB 的延长线上一点，且EAAF 求证： DEBF ADEFBC【补充】如图所示， 在四边形 ABCD 中， ADCABC 90 ，ADCD ，DPAB 于 P ，若四边形 ABCD的面积是 16，求 DP 的长DCAPB【例 7】E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 BC 、 CD 上的点，且 EAF 45， AHEF ， H 为垂足，求证： AH AB ADFH【巩固】 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 F 在线段 CD 上运动， AE 平分BAFBEC交 BC 边于点 E 求证： AF DF BE 设 DF x ( 0 x 1 ) ， ADF 与ABE 的面积和 S 是否存在最大值？若存在，求出此时x 的值及 S 若不存在，请说明理由ADFBEC【补充】 ( 1) 如图，在四边形 ABCD中， ABAD， B D 90 ， E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAF=1 BAD求证： EFBE FD;2ADFBEC( 2)如图 ，在四边形ABCD中， ABAD，B+ D 180， E、F 分别是边 BC、CD上的点，且 EAF=1 BAD， ( 1) 中的结论是否仍然成立？不用证明2ABDEFC家庭作业【习题1】 如图，已知ABC和ADE 都是等边三角形，B 、C 、 D 在一条直线上，试说明CE与ACCD相等的理由EABCD【习题2】 ( 湖北省黄冈市一点，过点D 作2008 DF年初中毕业生升学考试DE 交 BC 的延长线于点) 已知：如图，点 E 是正方形F 求证： DEDF ABCD的边AB 上任意ADEBFC【习题 3】 在梯形 ABCD 中， AB CD ， A 90 ， AB 2 ， BC 3 ，CD 1 ， E 是 AD 中点，试判断 EC 与 EB 的位置关系，并写出推理过程DCEAB【习题 4】 已知：如图，点 C 为线段 AB 上一点，ACM 、CBN 是等边三角形CG 、CH 分别是ACN 、MCB的高求证：CGCH NMHGACB月测备选【备选 1】 在等腰直角ABC 中，ACB90 ， ACBC ， M 是 AB 的中点，点P 从 B 出发向 C 运动，MQMP交 AC 于点 Q ，试说明MPQ 的形状和面积将如何变化AMQCPB【备选 2】 如图，正方形ABCD 中，FADFAE 求证： BEDFAE ADFBEC【备选3】 等边点，满足ABD 和等边AECFCBD 1 ，当的边长均为1， E 是E、 F 移动时，试判断BEAD 上异于BEF 的形状A、 D 的任意一点，F是 CD上一DFEACB第五讲轴对称和等腰三角形A【例 1】 在ABC中，ABAC ， BCBDEDEA 求A EBDCA【补充】在ABC 中， ABAC ， BCBD ， ADEDEB 求A DEBC【例 2】ABC 的两边 AB 和 AC 的垂直平分线分别交BC 于 D 、E ，若BACDAE150 ，求BAC ABDEC【例 3】 如图，点O 是等边 AO向旋转 190 AOD 是等腰三角形？AD 内一点，60得 ADCAOB ，连接110 ，BOCOD ，则 COD将 BOC是等边三角形；当绕点C 按顺时针方为多少度时，ADOBC【例 4】 如图，在ABC 中，BC ，D 在 BC 上，BAD50 ，在 AC 上取一点E ，使得ADEAED ，求 EDC 的度数AEBDC【例 5】 如图，ABC连接 CE, DE为等边三角形， 延长 BC 到 D ，又延长，求证：CDE 为等腰三角形BA 到 E ，使 AEBD ，EABCD【例 6】 如图，在ABC 中，B ， C 为锐角， M , N , D 分别为边AB 、 AC 、BC 上的点，满足 AMAN ，BDDC ，且BDMCDN 求证：ABAC AMNBDC板块三、轴对称在几何最值问题中的应用【例 7】 已知点 A 在直线 l 外，点 P 为直线 l 上的一个动点，探究是否存A在一个定点 B ，当点 P 在直线 l 上运动时， 点 P 与 A 、 B 两点的PB ；若不存在，请说明理距离总相等，如果存在，请作出定点l由【例 8】 如图， 在公路 a 的同旁有两个仓库A 、 B ，现需要建一货物中转站，要求到 A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？ABa【例 9】 如图， AOB 45 ，角内有点 P，在角的两边有两点Q 、 R ( 均A不同于 O 点) ，求作 Q 、 R ，使得PQR 的周长的最小PBCMNAB【补充】如图，M 、 N 为ABC 的边 AC 、 BC 上的两个定点，在AB 上求一点 P ，使PMN 的周长最短【例 10】已知如图， 点 M 在锐角 AOB 的内部， 在 OB 边上求作一点 P ，使点 P 到点 M 的距离与点 P 到 OA 的边的距离和最小AOMB【补充】已知： A 、 B 两点在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点M ，使得B| AM BM | 最小Al【补充】已知： A 、B 两点在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 M ，使得 | AMBM |最大【例 11】如 图，正方形 ABCD 中， AB 8 ， M 是 DC 上的一点，且 DM 2 ， N 是 AC 上的一动点，求 DN MN 的最小值与最大值ADMNBC【补充】例题中的条件不变，求DNMN 的最小值与最大值【补充】 如图，已知正方形ABCD 的边长为8， M 在 DC 上，且 DM2 ， N 是 AC 上的一个动点，则DNMN 的最小值是ADMBC家庭作业【习题 1】 ( 2007 双柏中考 ) 等腰三角形的两边长分别为4 和 9，则第三边长为【习题 2】 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm 和 21cm 两部分，则这个等腰三角形的底边的长为 ()A 17cmB 5cmC 17cm 或 5cmD无法确定【习题 3】 已知等腰三角形的周长为20，腰长为 x ，求 x 的取值范围【习题 4】 ( 2004 天津 ) 在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()【习题 5】 判断下列图形( 图 ) 是否为轴对称图形？如果是，说出它有几条对称轴月测备选【备选 1】 ABC 的一个内角的大小是400 ，且AB ，那么C 的外角的大小是 ( )A 140B 80 或 100C 100或 140D 80 或 140【备选 2】 已知等腰三角形一腰上的中线将它们的周长分为12 和 15 两部分，求腰长和底长【备选 3】 ( 四川省竞赛题 ) 如图，在等腰RtABC 中， CACB3 ， E 的 BC 上一点，满足BE2 ，在斜边 AB 上求作一点P 使得 PCPE 长度之和最小APCEB【备选 4】 在正方形ABCD 中， E 在 BC 上， BE2 ， CE1， P 在 BD 上，求 PE 和 PC 的长度之和的最小值ADADPPEBECBEC第六讲全等三角形中的截长补短板块一、截长补短【例 1】 已知 ABC 中， A 60 ，BD 、CE 分别平分 ABC 和 . ACB ，BD 、 CE 交于点 O ，试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明AEODBC【例 2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边AB 所在直线上的任意一点 ( 点 B 除外 ) ，作 DMN60 ，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 ?DNAMBE【例 3】 AD AB，CB AB，DM=CM= a ，AD= h ，CB=k ， AMD=75， BMC=45，则 AB 的长为()A. aB. kkhC.D. h2DCAMB【例 4】 已知：如图，ABCD是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+DF=AE.ADFBEC【例 5】 以ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边ABD 、ACE ，连结 CD 、 BE 相交于点 O 求证：OA 平分DOE DADAEEFOOBCBC【例 6】 ( 北京市数学竞赛试题，天津市数学竞赛试题) 如图所示，ABC 是边长为 1的正三角形，BDC 是顶角为 120 的等腰三角形，以D 为顶点作一个60 的MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求AMN 的周长AN