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第 10章 结 构 动 力 学 Structural dynamics 10-1 概 述 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立 10-4 单 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动 10-5 单 自 由 度 体 系 的 强 迫 振 动 10-6 多 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动 10-7 振 型 的 正 交 型 10-8 多 自 由 度 体 系 的 强 迫 振 动 10-9 无 限 自 由 度 体 系 的 自 由 振 动 10-10 自 振 频 率 的 近 似 计 算 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述1.结 构 动 力 学 简 介 结 构 动 力 学 是 结 构 力 学 的 一 个 分 支 ， 着 重 研 究 结 构 对 于 动 荷 载 的 响 应 （ 如 位移 、 应 力 等 的 时 间 历 程 ） ， 以 便 确 定 结 构 的 承 载 能 力 和 动 力 学 特 性 ， 或 为 改善 结 构 的 性 能 提 供 依 据 。 结 构 动 力 学 与 结 构 静 力 学 的 主 要 区 别 在 于 它 要 考 虑 结 构 因 振 动 而 产 生 的 惯性 力 和 阻 尼 力 。 结 构 动 力 学 与 刚 体 动 力 学 的 主 要 区 别 在 于 它 要 考 虑 结 构 因 变 形 而 产 生 的 弹性 力 。 结 构 动 力 学 发 展 简 况 任 何 结 构 所 受 的 载 荷 都 具 有 不 同 程 度 的 动 载 荷 性 质 ， 有 不 少 结 构 主 要 在 振动 环 境 下 工 作 。 因 此 ， 结 构 动 力 学 的 内 容 十 分 丰 富 ， 涉 及 面 很 广 ， 其 研 究对 象 遍 及 土 木 、 机 械 、 运 输 、 航 空 和 航 天 等 工 程 领 域 ， 而 研 究 方 法 又 同 材料 学 、 数 学 和 力 学 密 切 相 关 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述 结 构 动 力 学 发 展 简 况 早 在 18世 纪 后 半 叶 ， 瑞 士 的 丹 尼 尔 伯 努 利 （ Daniel Bernoulli ， 1700 1782） 首先 研 究 了 棱 柱 杆 侧 向 振 动 的 微 分 方 程 。 瑞 士 的 L.欧 拉 （ Leonhard Euler ， 17071783） 求 解 了 这 个 方 程 并 建 立 了 计 算 棱 柱 杆 侧 向 振 动 的 固 有 频 率 的 公 式 。 1877 1878年 间 ， 英 国 的 瑞 利 （ Baron Rayleigh ， 1842 1919） 发 表 了 两 卷 声学 理 论 ， 书 中 具 体 地 讨 论 了 诸 如 杆 、 梁 、 轴 、 板 等 弹 性 体 的 振 动 理 论 ， 并 提 出 了著 名 的 瑞 利 方 法 。 1908年 瑞 士 的 W.里 兹 （ Walter Ritz， 1878 1909） 提 出 了 一 个求 解 变 分 问 题 的 近 似 方 法 ， 后 来 被 称 作 瑞 利 里 兹 法 ,这 个 方 法 实 际 上 推 广 了 瑞 利方 法 ， 在 很 多 学 科 中 （ 包 括 结 构 动 力 学 ） 发 挥 了 巨 大 的 作 用 。 1928年 ， S.P.铁 木 辛 柯 （ Stephen Prokofievitch Timoshenko ， 1878 1972 ） 发表 了 工 程 中 的 振 动 问 题 一 书 ， 总 结 了 弹 性 体 振 动 理 论 及 其 在 工 程 中 应 用 的 情 况 。 近 几 十 年 来 ， 由 于 工 程 实 践 的 需 要 和 科 学 探 索 的 兴 趣 ， 人 们 进 行 了 大 量 的 实 验 和 理论 研 究 工 作 ， 使 这 门 学 科 在 实 践 和 理 论 分 析 上 都 获 得 了 高 度 的 发 展 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述2.动 力 荷 载 及 其 分 类 荷 载 有 三 个 要 素 ， 即 大 小 、 方 向 和 作 用 点 。 如 果 这 些 因 素 随 着 时 间 缓 慢 变 化 ，则 在 求 解 结 构 的 响 应 时 ， 可 把 荷 载 作 为 静 载 荷 处 理 以 简 化 计 算 。 如 果 三 要 素 随 着 时 间 变 化 较 快 ， 作 用 结 果 使 受 荷 物 体 产 生 的 质 量 加 速 度 不 可忽 略 ， 那 么 该 荷 载 就 称 为 动 力 荷 载 。 严 格 地 讲 ， 几 乎 所 有 荷 载 都 属 于 动 荷 载 。 重 力 除 外 。 荷 载 变 化 是 否 “ 缓 慢 ” ， 只 是 一 个 相 对 的 概 念 。 如 果 荷 载 的 变 化 周 期 在结 构 自 由 振 动 周 期 的 五 、 六 倍 以 上 ， 把 它 当 作 静 载 荷 将 不 会 带 来 多 少 误 差 。若 载 荷 的 变 化 周 期 接 近 于 结 构 的 自 由 振 动 周 期 ， 即 使 载 荷 很 小 ， 结 构 也 会 因 共 振 而 产 生 很 大 的 响 应 ， 因 而 必 须 视 为 动 力 荷 载 ， 用 结 构 动 力 学 的 方 法加 以 分 析 。 静 荷 载 只 与 作 用 位 置 有 关 ， 而 动 荷 载 是 坐 标 和 时 间 的 函 数 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述2.动 力 荷 载 及 其 分 类 动 力 荷 载 分 类 方 法 有 很 多 种 ， 常 见 的 是 按 动 力 作 用 随 时 间 的 变 化 规 律 来 分 。 周 期 性 荷 载 ： 其 特 点 是 在 多 次 循 环 中 荷 载 相 继 呈 现 相 同 的 时 间 历 程 。 如 旋转 机 械 装 置 因 质 量 偏 心 而 引 起 的 离 心 力 。 周 期 性 荷 载 又 可 分 为 简 谐 荷 载 和 非 简 谐 周 期 荷 载 ， 所 有 非 简 谐 周 期 荷 载 均可 借 助 Fourier级 数 分 解 成 一 系 列 简 谐 荷 载 之 和 。 冲 击 和 突 加 载 荷 ： 其 特 点 是 荷 载 的 大 小 在 极 短 的 时 间 内 有 较 大 的 变 化 。 冲击 波 或 爆 炸 是 冲 击 载 荷 的 典 型 来 源 ； 吊 车 制 动 力 对 厂 房 的 水 平 作 用 是 典 型的 突 加 荷 载 。 随 机 载 荷 ： 其 时 间 历 程 不 能 用 确 定 的 时 间 函 数 而 只 能 用 统 计 信 息 描 述 。 风荷 载 和 荷 载 均 属 此 类 。 对 于 随 机 荷 载 ， 需 要 根 据 大 量 的 统 计 资 料 制 定 出 相应 的 荷 载 时 间 历 程 （ 荷 载 谱 ） 。 前 两 种 荷 载 属 于 确 定 性 荷 载 ， 可 以 从 运 动 方 程 解 出 位 移 的 时 间 历 程 并 进 一步 求 出 应 力 的 时 间 历 程 。 随 机 荷 载 属 于 非 确 定 性 荷 载 ， 只 能 求 出 位 移 响 应 的 统 计 信 息 而 不 能 得 到 确定 的 时 间 历 程 ， 因 而 须 作 专 门 分 析 才 能 求 出 应 力 响 应 的 统 计 信 息 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述3.结 构 动 力 学 的 研 究 内 容 结 构 动 力 学 的 研 究 内 容 包 括 实 验 研 究 和 理 论 分 析 两 个 方 面 。 实 验 研 究 目 前 材 料 和 结 构 阻 尼 特 性 的 测 定 、 振 动 环 境 试 验 等 工 作 ， 主 要 依 靠 实 验 研 究 。 理 论 分 析 ： 研 究 动 荷 载 作 用 下 结 构 动 力 响 应 的 规 律 。 动 力 响 应 包 括 动 内 力 、 动 位 移 、 结 构 振 动 的 速 度 和 加 速 度 等 。 动 力 响 应 除 了 与 动 荷 载 有 关 外 ， 还 与 结 构 所 固 有 的 动 力 特 征 有 关 。 结 构 动 力 特 征 包 括 自 振 频 率 、 振 型 和 阻 尼 参 数 。 按 计 算 分 析 特 征 ， 结 构 动 力 分 析 可 分 为 以 下 四 类 问 题 。 反 应 分 析 输 入（ 动 力 荷 载 ） 结 构（ 系 统 ） 输 出（ 动 力 反 应 ） 参 数 识 别 输 入（ 动 力 荷 载 ） 结 构（ 系 统 ） 输 出（ 动 力 反 应 ） 荷 载 识 别 输 入（ 动 力 荷 载 ） 结 构（ 系 统 ） 输 出（ 动 力 反 应 ） 反 问 题正 问 题 控 制 问 题 输 入（ 动 力 荷 载 ） 结 构（ 系 统 ） 输 出（ 动 力 反 应 ）控 制 系 统（ 装 置 、 能 量 ）阻振（附加阻尼）隔振（振源与系统间加子系统）吸振（附加子系统） 10-1 概 述结 构 振 动 控 制 的 应 用 现 状 土 木 工 程 中 结 构 控 制 的 概 念 是 美 国 学 者 J.T.P. Yao在 1972年 首 先 提 出 来 的 。 结 构 振 动 控 制 分 为 被 动 控 制 、 主 动 控 制 、 混 合 控 制 和 智 能 控 制 等 。 被 动 控 制 是 无 外 加 能 源 的 控 制 ， 其 控 制 力 因 控 制 装 置 本 身 随 结 构 一 起 振 动 变 形 而 被动 产 生 。 被 动 装 置 简 单 易 行 ， 但 控 制 效 果 受 到 限 制 。 主 动 控 制 需 要 外 加 能 源 ， 又 称 有 源 控 制 。 主 动 控 制 效 果 显 著 ， 但 有 时 由 于 控 制 力 过大 或 成 本 太 高 而 无 法 实 现 。 混 合 控 制 就 是 将 两 种 以 上 的 控 制 系 统 结 合 起 来 控 制 结 构 的 振 动 反 应 。 混 合 控 制 可 以利 用 两 种 系 统 各 自 的 优 点 ， 拓 宽 了 控 制 系 统 的 应 用 范 围 、 既 保 证 了 控 制 效 果 又 降 低 了 控 制 力 。 智 能 控 制 近 年 来 刚 开 始 研 究 和 利 用 。 结 构 智 能 控 制 系 统 以 智 能 材 料 和 器 件 的 应 用 为突 出 标 志 。 可 用 于 制 作 控 制 装 置 的 智 能 驱 动 材 料 主 要 有 电 (磁 )流 变 液 体 、 形 状 记 忆合 金 、 压 电 材 料 、 磁 滞 伸 缩 材 料 、 可 收 缩 膨 胀 聚 合 胶 体 等 。 10-1 概 述结 构 振 动 控 制 的 工 程 应 用 实 例台 北 101大 楼 ， 地 上 101层 、 地 下 5层 ， 高 度 509米第 8892层 之 间 有 一 颗 巨大 的 金 色 大 球 ， 由 实心 钢 板 堆 焊 而 成 ， 直 径 约5.4米 ， 重 达 680吨 ， 价 值400W美 元 。 其 实 质 是 调 质阻 尼 器 TMD（ Tuned Mass Damper） ， 作 用 是 减 轻 飓风 、 地 震 给 大 楼 带 来 的 震 动 。 l世 界 上 最 大 最 重 的 TMDl第 一 个 外 露 并 可 供 观 赏的 TMDl阻 尼 器 最 大 摆 幅 150cml降 低 大 楼 摆 动 幅 度 最 高达 40%TMD又 称 为 固 体 阻 尼 器 ， 液 体 阻 尼 器 TLD（ Tuned Liquid Damper ） 工 程 中 也 有 应 用 。调 质 阻 尼 器 按 启 动 机 制 可 分 为 被 动 式 调 质 阻 尼 器 （ Passive Tuned Mass Damper） 和 主 动 式 调 质 阻 尼 器 （ Active Tuned Mass Damper） 。 台 北 101所 采 用 的 是 被 动 式 调 质 阻 尼 器 。世 界 上 采 用 被 动 式 TMD的 其 它 代 表 性 建 筑 有 ： 加 拿 大 多 伦 多的 CN Tower、 日 本 大 阪 的 Crystal Tower、 澳 洲 悉 尼 的Centerpoint Tower、 美 国 纽 约 的 Citicorp Center、 日 本 的 明 石海 峡 大 桥 Akashi Kaikyo Bridge ， 等 等 。 10-1 概 述结 构 振 动 控 制 的 工 程 应 用 实 例 主 动 式 调 质 阻 尼 器 的 工 作 原 理 台 湾 高 雄 的 东 帝 士 85摩 天 大 楼 、 日 本 大 阪 的Hankyu Chayamachi Building是 设 有 主 动 式调 质 阻 尼 器 的 建 筑 物 。l地 面 、 大 楼 装 有 侦 测 器 （ sensor）l中 央 控 制 室 的 电 脑 可 以 计 算 位 移 ， 并 调 整 阻尼 系 统 的 运 作 。l顶 部 的 anemometer是 风 速 计 ， 相 关 风 速 资讯 亦 传 至 电 脑 。智 能 控 制 中 目 前 代 表 性 的 智 能 阻 尼 器 主 要 有 磁流 变 液 阻 尼 器 和 压 电 变 摩 擦 阻 尼 器 。 磁 流 变 液阻 尼 器 已 经 应 用 于 日 本 Keio University（ (庆 应义 塾 大 学 ） 的 一 栋 居 住 建 筑 中 。世 界 上 第 一 幢 采 用 AMD系 统 的 建 筑 物 是 1989年 口 本 Kajima建 筑 公 司 建 造 的 11层 办 公 大 楼Kyobasi Seiwa京 桥 成 和 大 厦 。该 建 筑 物 顶 层 设 置 两 个 AMD系 统 ， 顶 层 中 部的 AMD系 统 质 量 为 4000kg， 用 于 控 制 结 构 的侧 向 振 动 ， 顶 层 侧 部 的 AMD系 统 质 量 为1000kg， 用 于 控 制 结 构 的 扭 转 振 动 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-1 概 述4.本 课 程 的 内 容 基 于 杆 系 结 构 的 动 力 学 基 础 研 究 的 问 题 自 由 振 动 ： 外 部 起 振 后 ， 再 没 有 外 力 的 振 动 。 强 迫 振 动 ： 振 动 过 程 中 ， 有 外 部 干 扰 力 作 用 。 计 算 内 容 确 定 结 构 的 动 力 特 征 ， 即 结 构 的 自 振 频 率 、 振 型 和 阻 尼 参 数 等 。 计 算 结 构 的 动 力 反 应 ， 即 结 构 在 动 荷 载 作 用 下 的 动 内 力 、 动 位 移 等 。5.与 其 它 课 程 之 间 的 关 系 结 构 动 力 学 以 结 构 力 学 和 数 学 为 基 础 。 要 求 熟 练 掌 握 已 学 过 的 结 构 力 学 知 识 和 数 学 知 识 （ 微 分 方 程 的 求 解 ） 。 结 构 动 力 学 作 为 结 构 抗 震 、 抗 风 设 计 计 算 的 基 础 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度1.动 力 自 由 度 的 定 义 动 力 问 题 的 基 本 特 征 是 需 要 考 虑 惯 性 力 ， 根 据 达 朗 贝 尔 （ DAlembert Jean Le Rond） 原 理 ， 惯 性 力 与 质 量 和 加 速 度 有 关 ， 这 就 要 求 分 析 质 量 分 布 和 质 量 位移 ， 所 以 ， 动 力 学 一 般 将 质 量 位 移 作 为 基 本 未 知 量 。 确 定 体 系 中 全 部 质 量 位 置 所 需 要 的 独 立 几 何 参 数 数 目 ， 成 为 体 系 的 动 力 自 由度 。2.动 力 自 由 度 简 化 方 法 严 格 意 义 上 讲 ， 实 际 结 构 都 是 具 有 分 布 质 量 的 弹 性 体 ， 是 无 限 自 由 度 体 系 。 实 际 结 构 动 力 自 由 度 简 化 方 法 有 ：应 用 中 存 在 的 问 题 ： （ 1） 计 算 复 杂 ， 有 时 甚 至 无 法 求 解 析 解 ； （ 2） 从 工 程 角 度 没 有 必 要 。故 ， 实 际 结 构 通 常 简 化 成 有 限 自 由 度 体 系 。 集 中 质 量 法 广 义 坐 标 法 有 限 单 元 法 2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度集 中 质 量 法 ： 将 分 布 质 量 按 力 系 等 效 原 则 集 聚 于 有 限 个 离 散 的 质 点 或块 ， 而 把 结 构 本 身 看 作 是 仅 具 有 弹 性 性 能 的 无 质 量 系 统 。 3层 框 架楼 面 刚 度 和 质 量 比 柱 子 大 集 中 质 量 法 是 一 种 物 理 简 化 方 法假 定 刚 梁质 量 向 楼 面 集 中动 力 自 由 度 3 1m2m4等 分 ， 向 分 段 两 端 集 中动 力 自 由 度 3 3m 4m ml EI m m 4l4l4l4l4等 分 ， 向 分 段 中 心 集 中动 力 自 由 度 4 4m ml EIm m m 8l4l4l4l8l例 ： mEIl 2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度广 义 坐 标 法 ： 以 图 示 简 支 梁 无 限 自 由 度 体 系 为 例 说 明 。 广 义 坐 标 法 是 一 种 数 学 简 化 方 法 设 梁 上 任 一 点 的 位 移 可 分 离 变 量 ， 即 基 函 数 要 求 ： 满 足 位 移 边 界 条 件 ； 线 性 无 关 。 本 例 简 支 梁 可 取 正 弦 级 数 为 基 函 数 。 4 4( ) sin xx l 3 3( ) sin xx l 2 2( ) sin xx l 1( ) sin xx l ( ) sini i xx l 式 中 ： 为 已 知 的 基 函 数 ； 为 待 定 系数 ， 它 表 示 相 应 基 函 数 的 幅 值 ， 称 为 广 义 坐标 。 可 用 满 足 位 移 边 界 条 件 的 “ 基 函 数 ” 线性 组 合 逼 近 ， 即( )Y x 1( ) ( )n i iiY x a x( )i x ia( , ) ( ) ( )y x t Y x T t例 ： mEIl 有 限 单 元 法 也 是 一 种 数 学 简 化 方 法2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度有 限 单 元 法 ： 可 以 看 作 是 分 区 的 广 义 坐 标 法 ， 其 要 点 与 静 力 问 题 一 样 ， 是 先 把 结 构 划 分成 适 当 数 量 的 区 域 （ 称 为 单 元 ） ， 然 后 对 每 一 单 元 施 行 广 义 坐 标 法 。 详 见有 限 单 元 法 参 考 资 料 ， 这 里 不 再 赘 述 。 一 般 地 说 ， 有 限 元 法 是 最 灵 活 有 效 的 离 散 化 方 法 ， 它 提 供 了 既 方 便 又 可 靠的 理 想 化 模 型 ， 并 特 别 适 合 于 用 电 子 计 算 机 进 行 分 析 ， 是 目 前 最 为 流 行 的方 法 ， 已 有 不 少 专 用 的 或 通 用 的 程 序 可 供 结 构 动 力 学 分 析 之 用 。 2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度确 定 动 力 自 由 度 注 意 的 问 题 ： 动 力 自 由 度 与 体 系 是 静 定 还 是 超 静 定 无 关 。均 1个 动 力 自 由 度动 力 自 由 度 各 为 多 少 ？ 动 力 自 由 度 与 集 中 质 量 的 数 量 有 关 ， 但 无 确 切 关 系 。 1个 质 量 ， 2个 自 由 度3个 质 量 ， 4个 自 由 度 自 由 度 质 量 数 4个 质 量 ， 2个 自 由 度 自 由 度 质 量 数EI cm mm mEI cmEI cm 超 静 定 结 构EI m 静 定 结 构EI m 2021-4-20 结 构 力 学 10-2 体 系 的 动 力 自 由 度【 练 习 】 试 确 定 图 示 体 系 的 动 力 自 由 度 。 2个 动 力 自 由 度 2个 动 力 自 由 度 1个 动 力 自 由 度 2个 动 力 自 由 度【 课 堂 练 习 】 Text Book P.151,习 题 10-5 2mEI c1m 3mEA1m2m 3m BAAB =EI 除 外 ， 其 它 各 杆 l a EI 1,m EI EI c m 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立1.体 系 振 动 的 衰 减 、 阻 尼 力 振 动 衰 减 现 象 : 结 构 自 由 振 动 时 ， 振 幅 随 时 间 逐 渐 减 小 ， 直 至 为 零 （ 在 平 衡位 置 静 止 ） 。 问 题 的 本 质 : 振 幅 位 置 势 能 最 大 ； 平 衡 位 置 动 能 最 大 ； 动 、 势 能 转 化 过 程 中 有 能 量 损 耗 。 引 起 能 量 损 耗 的 原 因 : 结 构 材 料 的 非 弹 性 变 形 ： 局 部 塑 性 变 形 、 内 部 摩 擦 力 等 周 围 介 质 对 振 动 的 阻 力 支 承 、 结 点 等 构 件 连 接 处 的 摩 擦 力 地 基 土 的 内 摩 擦 阻 力 ， 等 等 。 以 上 因 素 统 称 为 阻 尼 。 结 构 阻 尼 是 描 述 振 动 系 统 在 振 动 时 能 量 损 耗 的 总 称 。 y t t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立1.体 系 振 动 的 衰 减 、 阻 尼 力 阻 尼 理 论 ： 明 确 了 阻 尼 的 本 质 ， 还 需 要 寻 求 合 理 的 表 达 方 法 。 经 过 近 百 年 的 研 究 ， 已 经 提出 了 各 种 各 样 的 阻 尼 表 达 方 法 ， 主 要 分 为 两 大 类 ： 粘 滞 阻 尼 和 滞 回 阻 尼 (复 阻尼 )。 本 课 程 采 用 粘 滞 阻 尼 理 论 。 粘 滞 阻 尼 无 论 对 简 谐 振 动 还 是 非 简 谐 振 动 得 到 的 振 动 方 程 均 是 线 性 方 程 ， 不 仅 求 解 方 便 ， 而 且能 够 方 便 地 表 达 阻 尼 对 频 率 、 共 振 等 的 影 响 。 所 以 粘 滞 阻 尼 是 目 前 应 用 最 为 广 泛 的 阻尼 模 型 。 通 过 将 阻 尼 系 数 与 结 构 体 系 的 质 量 、 刚 度 相 联 系 ， 可 以 方 便 地 构 造 出 具 体 的 阻 尼 系 数 。这 是 目 前 最 常 用 的 粘 滞 阻 尼 表 达 方 法 。 ( ) ( )DF t Cy t 粘 滞 阻 尼 假 定 阻 尼 力 与 速 度 成 正 比 ， 方 向 与 运 动 方 向 相 反 ， 即 滞 回 阻 尼 假 定 应 力 应 变 间 存 在 一 个 相 位 差 ， 从 而 振 动 一 周 有 耗 能 发 生 。 前 人 已 经 提 出 了 各 种 各 样 的 滞 回 阻 尼 模 型 ， 可 以 得 到 不 随 频 率 改 变 的 振 型 阻 尼 比 ， 能较 好 地 反 映 上 部 结 构 阻 尼 。 该 模 型 在 理 论 上 只 适 用 于 简 谐 振 动 或 有 限 频 段 内 的 振 动 分 析 ， 推 广 为 无 限 宽 频 带 上 的定 常 阻 尼 力 ， 会 遇 到 了 有 悖 于 物 理 事 实 的 困 难 。 滞 回 阻 尼 将 导 致 复 数 形 式 的 刚 度 (故 又 称 为 复 阻 尼 )， 这 对 于 一 般 时 程 分 析 而 言 ， 计 算将 比 较 复 杂 ， 因 而 复 阻 尼 实 际 应 用 并 不 多 。 滞 回 阻 尼 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立2.运 动 方 程 的 建 立运 动 方 程 可 用 以 下 三 种 等 价 但 形 式 不 同 的 方 法 建 立 ： 利 用 达 朗 贝 尔 原 理 引 进 惯 性 力 ， 根 据 体 系 或 微 元 体 的 力 的 平 衡 条 件 直 接 写 出动 力 平 衡 方 程 ， 或 根 据 几 何 条 件 直 接 写 出 运 动 方 程 。 利 用 广 义 坐 标 写 出 系 统 的 动 能 、 势 能 、 阻 尼 耗 散 函 数 及 广 义 力 表 达 式 ， 根 据哈 密 顿 (Hamilton)原 理 或 其 等 价 形 式 的 拉 格 朗 日 (Lagrange)方 程 导 出 以 广 义 坐标 表 示 的 运 动 方 程 ； 根 据 虚 功 原 理 导 出 运 动 方 程 。对 于 复 杂 系 统 ， 应 用 最 广 的 是 第 二 种 方 法 。 本 课 程 从 强 调 物 理 概 念 的 角 度 出 发 ， 只 介 绍 第 一 、 三 两 种 方 法 。 达 朗 贝 尔 原 理 : 在 质 体 受 力 运 动 的 任 何 时 刻 ， 作 用 于 质 体 上 的 主 动 力 、 约 束 力 和 惯 性 力 互 相 平 衡 。 因 达 朗 贝 尔 （ D Alembert Jean Le Rond ） 于 1743年 提 出 而 得 名 。 本 质 ： 将 动 力 学 问 题 化 为 静 力 学 问 题 来 求 解 ， 故 又 称 为 动 静 法 或 惯 性 力 法 。 哈 密 顿 原 理 是 力 学 中 应 用 最 广 泛 和 最 重 要 的 积 分 形 式 的 变 分 原 理 。 它 提 供 了 从 所 有 可能 运 动 中 找 出 真 实 运 动 的 一 个 准 则 。 哈 密 顿 原 理 ： 拉 格 朗 日 函 数 从 时 刻 t1到 t2的 时 间 积 分 的 变 分 等 于 零 ， 即 ， 式 中L=T V为 拉 格 朗 日 函 数 ， T为 系 统 的 动 能 ， V为 系 统 的 势 函 数 。 适 用 范 围 ： 受 理 想 约 束 的 完 整 保 守 系 统 。 优 点 ： 数 学 形 式 紧 凑 ， 适 用 范 围 广 。 21 0tt Ldt 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立2.运 动 方 程 的 建 立 根 据 力 的 平 衡 条 件 建 立 动 力 平 衡 方 程 （ 刚 度 法 ） 以 图 示 单 自 由 度 体 系 为 例 。 取 质 量 体 为 研 究 对 象 。 注 意 ： 假 定 力 的 方 向 与 位 移 方 向 相 同 为 正 由 ， 得动 力 平 衡 方 程( ) ( ) ( ) 0I sF t F t P t 11( ) ( ) ( )my t k y t P t 质 量 体 受 力 图 ( )IF t( )sF t( )P t作 用 在 质 量 体 上 的 力 包 括 ： 动 力 荷 载 惯 性 力 弹 性 恢 复 力 ( )P t( ) ( )IF t my t 11( ) ( )sF t k y t 柔 度 系 数 图 示 1 11fm刚 度 系 数 图 示11k 1m记 体 系 的 刚 度 系 数 为 柔 度 系 数 为 11k11f单 自 由 度 体 系( )P t ( )y tm 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立2.运 动 方 程 的 建 立 根 据 几 何 （ 位 移 ） 条 件 建 立 运 动 方 程 （ 柔 度 法 ） 图 示 单 自 由 度 体 系 ， 取 结 构 （ 梁 ） 为 研 究 对 象 。 根 据 叠 加 原 理 ， 有 ( ) ( ) ( )IP Fy t y t y t 11 11( ) ( )If P t f F t 11 ( ) ( )f P t my t 将 上 述 方 程 变 形 ， 得上 式 的 本 质 是 结 构 体 系 在 质 量 点 的 位 移 条 件 ， 故 称 为 运 动 方 程 。考 虑 到 刚 度 系 数 与 柔 度 系 数 互 为 倒 数 ， 运 动 方 程 与 动 力 平 衡 方 程 在 数 学 表 达 形 式 上 是 一致 的 。 111( ) ( ) ( )my t y t P tf 结 构 受 力 图 ( )IF t( )P t作 用 在 梁 上 的 力 包 括 ： 动 力 荷 载 惯 性 力 ( )P t( ) ( )IF t my t ( )P t ( )y tm 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立 理 论 上 ， 刚 度 法 和 柔 度 法 的 适 用 范 围 没 有 区 别 ， 也 就 是 讲 ， 能 用 刚 度 法 建 立 动 力 平 衡方 程 的 体 系 ， 也 可 以 用 柔 度 法 建 立 运 动 方 程 ， 反 之 亦 然 。 但 两 种 方 法 用 于 特 定 的 体 系 ，有 简 单 和 复 杂 之 分 。 一 般 情 况 下 ， 静 定 结 构 计 算 柔 度 系 数 比 较 方 便 ， 宜 选 用 柔 度 法 ； 超 静 定 结 构 计 算 刚 度系 数 比 较 方 便 ， 宜 选 用 刚 度 法 。刚 度 法 和 柔 度 法 的 适 用 范 围 如 何 ？具 体 应 用 中 如 何 判 别 选 用 哪 种 方 法 比 较 简 便 ？【 例 】 试 用 分 别 用 刚 度 法 和 柔 度 法 两 种 方 法 建 立 图 示 两 个 单 自 由 度 体 系 的 运 动 （ 动 力 平 衡 ） 方 程 。 （ a） 静 定 结 构 （ b） 超 静 定 结 构( )P t( )P t EI cm l lEI cm l l 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立【 解 】 （ a） 图 示 静 定 结 构 柔 度 法 运 动 方 程 ： 11 1 cf yEI 21 1 2( ) ( ) 22 3l lEI 323lEI u 整 理 后 的 运 动 方 程 为 ： 刚 度 法 动 力 平 衡 方 程 ： 等 效 于 属 于 超 静 定 结 构 支 座 位 移 条 件 下 的支 座 反 力 计 算 。 采 用 什 么 方 法 计 算 ？属 于 静 定 结 构 位 移 计 算 的 范 畴11k11 11ku 刚 度 系 数 的 计 算 ：11k 11( ) ( ) ( )my t k y t P t 33 ( )2EI P ty yml m Ml l1 1 11P u 柔 度 系 数 的 计 算 ：11f 11( ) ( ) ( )y t f P t my t ( )P t EI cm l l 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立 刚 度 法 动 力 平 衡 方 程 ：u 刚 度 系 数 的 计 算 ： 1 2 1 231.5 1.5 00 1.5 1.5 0 2EI l0 （ 与 柔 度 法 建 立 的 运 动 方 程 相 同 ）u 整 理 后 的 动 力 平 衡 方 程 为 ： 33 ( )2EI P ty yml m 可 求 ， 11 332EIk l332EIl 11kB C232EIl 232EIl CB结 点杆 端 A B CAB BA BC分 配传 递 备 注支 座 位 移 条 件 下 的 弯 矩 分 配 法gMM终AB C 11k111k 11( ) ( ) ( )my t k y t P t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立 刚 度 法 动 力 平 衡 方 程 ：【 解 】 （ b） 图 示 超 静 定 结 构0.4 0.66 2.4 3.6 04.8 3.6 3.6 0 2EI l1.26 u 整 理 后 的 动 力 平 衡 方 程 为 ： 316.8 ( )EI P ty yml m 可 求 ， 11 316.8EIk l 2EIM l图 （ ）4.8 3.63.6 3.64.8 3.6 11 ?k EB结 点杆 端 A B EAB BA BE分 配传 递 备 注弯 矩 分 配 法 内 力 计 算gMM终 反 对 称半 结 构 11 2k1AB EAB CD 11k1( )P t EI cm l l u 刚 度 系 数 的 计 算 ：11k 11( ) ( ) ( )my t k y t P t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立 柔 度 法 运 动 方 程 ： 等 效 于 属 于 超 静 定 结 构 位 移 计 算 的 范 畴1 7 6 71 4 1 28 314 02 7 314 314 0 l1 281 4剪 力 静 定 杆 311 1 2 3 526 7 14 84c l l l lf y l lEI EI EI u 整 理 后 的 运 动 方 程 为 ： 384 ( )5 EI P ty yml m M虚 力 状 态 图l AB E1M位 移 状 态 图2 7l3 14l AB E1 2EB结 点杆 端 A B EAB BA BE分 配传 递 备 注弯 矩 分 配 法 内 力 计 算gMM终 11fAB E1 211f( )P t EI cm l l DAB C1P u 柔 度 系 数 的 计 算 ：11f 11( ) ( ) ( )y t f P t my t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立2.运 动 方 程 的 建 立 利 用 虚 功 原 理 建 立 动 力 平 衡 方 程【 例 】 试 建 立 图 示 体 系 的 动 力 平 衡 方 程 。 特 点 ： 质 量 分 布 （ 惯 性 力 ） 较 为 复 杂 。 虚 位 移 简 单 。具 有 分 布 质 量 的 刚 杆 体 系 最 适 合 于 用 虚 功原 理 建 立 平 衡 方 程 。 整 理 ， 得 动 力 平 衡 方 程8 ( )( 2 ) 43ml P tm c k l 虚 功 方 程 1 2( ) ( ) ( ) (2 )(2 ) (2 )2 3( ) ( ) (2 ) (2 ) 0P t l k l l m l l lm l l m l l c l l 虚 位 移A B CD E F1 l 2l 2l l l 2l平 衡 力 系黑 色 干 扰 力 ； 红 色 惯 性 力 ； 蓝 色 弹 性 恢 复 力 ； 粉 色 阻 尼 力( )k l (2 )m l ( )m l ( )m l (2 )c lmA B CD E Fmm m( )P t 取 AC杆 绕 A点 转 角 为 广 义 位 移 ，并 设 顺 转 为 正 。 2k c2l2l2l2lll mA B CD E Fmm EI EI EI mEI ( )P t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立3.单 自 由 度 体 系 动 力 平 衡 （ 运 动 ） 方 程 的 一 般 形 式 实 际 工 程 中 单 自 由 度 体 系 很 多 ， 如 ： 支 承 在 梁 上 的 电 机 ， 当 电 机 重 梁 重 时 ； 支 承 在 弹 性 地 基 上 的 块 式 基 础 ； 等 等 。 一 切 单 自 由 度 体 系 均 可 用 “ 弹 簧 质 量 粘 壶 ” 模 型 比 拟 。 取 质 量 体 为 研 究 对 象 ， 其 上 的 力 有 11( ) 0W P t k y cy my 运 动 方 向 力 的 平 衡11 ( )d d dmy cy k y P t ( )P tm11k c不 管 什 麽 单 自 由 度 结 构 ， 运 动 方 程 的 最 终 形 式 都 是 一 样 的 。可 见 动 位 移 微 分 方 程 与 重 力 无 关 ， 通 常 略 去 下 标 ， 简 写 为11 ( )my cy k y P t du 重 力u 干 扰 力u 弹 性 恢 复 力u 阻 尼 力u 惯 性 力 ( )P t 11( ) ( )sF t k y t( ) ( )DF t cy t ( ) ( )IF t my t Wmy ( )P tWcy11k y而 ， 与 时 间 无 关 ， 即 ， ； 同 时 考 虑 到 静 力 平 衡 条 件 。 代 入 上 式 ， 有0jy 0jy 11 jk y Wjy所 以 ， 11( ) ( ) ( ) ( )d j d j d jm y y c y y k y y W P t 其 中 ， 为 动 位 移 ； 为 静 位 移 。( ) ( ) ( )d jy t y t y t ( )dy t ( )jy t 2021-4-20 结 构 力 学 10-3 单 自 由 度 体 系 运 动 方 程 的 建 立4.小 结 刚 度 法 建 立 动 力 平 衡 方 程 的 一 般 步 骤 ： 柔 度 法 建 立 运 动 方 程 的 一 般 步 骤 ： 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动1.无 阻 尼 自 由 振 动 体 系 的 固 有 特 征 周 期圆 频 率频 率 2T 11 111km mf 1f T体 系 做 简 谐 运 动 ， 为 振 幅 ， 为 初 相 位 。C T C Cty 上 述 运 动 方 程 的 通 解 为 或 其 中 ， ， siny C t 2 1tg C C 1 2sin cosy C t C t 2 21 2C C C 无 阻 尼 自 由 振 动 时 ， 干 扰 力 和 阻 尼 力 均 为 零 ， 运 动 方 程 改 写 为 令 ， 则 11 0my k y 2 0y y 2 11km 上 一 节 已 指 出 ， 不 管 什 麽 结 构 、 用 什 麽 方 法 建 立 方 程 ， 单 自 由 度 体 系 最 终 运 动 方程 均 可 写 为 11 ( )my cy k y P t 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动1.无 阻 尼 自 由 振 动 运 动 方 程 的 通 解 为 或 其 中 ， ， 自 由 振 动 分 析 主 要 用 来 计 算 体 系 的 固 有 振 动 特 征 （ 频 率 、 振 型 等 ） 。 设 初 始 条 件 为 ： 初 位 移 初 速 度 可 得 ， 所 以 ， 0(0)y y 0(0)y v1 0C v 2 0C y 22 00 vC y 00ytg v 要 完 全 确 定 体 系 自 振 时 的 位 移 ， 需 要 根 据 初 始 条 件 确 定 和 。C siny C t 2 1tg C C 1 2sin cosy C t C t 2 21 2C C C 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动【 例 1】 悬 臂 梁 长 ， 自 由 端 有 质 量 的 机 械 。 梁 为 10号 工 字 钢 ， ， 忽 略 梁 重 不 计 ， 求 自 振 频 率 和 周 期 。 3 3 611 11 82 5.3 103 3 2.058 10 245 10lf m NEI 注 意 单 位 的 统 一 6111 1 43.5100 5.3 10 rad smf 2 0.145T s 【 解 】 静 定 结 构 ， 采 用 柔 度 法 计 算 。【 解 】 超 静 定 结 构 ， 采 用 刚 度 法 计 算 。 11k111 324EIk h 11 324k EIm mh 11k 312EIh 312EIh h EI EI1EI m【 例 2】 图 示 门 式 刚 架 ， 横 梁 总 重 ， 柱 子 质 量 忽 略 不 计 ， 试 求 刚 架 的 水 平 自 振 频 率 。m Ml EI ml2l m 100m kg 4245I cm8 22.058 10 /E kN m 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动【 例 3】 试 求 习 题 10-10(a)所 示 结 构 的 自 振 频 率 。 311 24mly t f y t 11 3lf EI【 解 】 静 定 结 构 ， 采 用 柔 度 法 建 立 运 动 方 程 。广 义 等 效 质 量 ： 分 布 质 量 关 于 右 支 座 点 的 惯 矩整 理 后 ， 运 动 方 程 为所 以 472EIml472 0EIy yml M 1研 究 对 象 （ 结 构 ）28ml y 324ml y 惯 性 力 2ml y m动 位 移 y tm（ 1） 质 量 是 多 少 ？（ 2） 刚 度 系 数 或 柔 度 系 数 如 何 确 定 ？11f11km EI m1EI 2ll 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动2.有 阻 尼 自 由 振 动(1) （ 小 阻 尼 情 况 ） ： 特 征 方 程 有 一 对 共 轭 复 根 运 动 方 程 通 解 为 式 中 ， 称 为 有 阻 尼 的 自 由 振 动 圆 频 率 ； 振 幅 和 初 相 位 是 积分 常 数 ， 与 初 始 条 件 有 关 。 可 见 ， 小 阻 尼 自 由 振 动 的 解 是 按 指 数 规 律 衰 减 的 简 谐 运 动 。 衰 减 的 速 度 随 、 增 大 而 加 快 。， 1 1 2( cos sin )= sin( )t td d dy e C t C t Ae t 21d A 由 常 系 数 常 微 分 方 程 理 论 可 设 由 此 可 得 特 征 方 程 为 方 程 的 两 个 根 为 运 动 方 程 的 解 与 大 小 有 关 。 sty e2 22 0r r 21,2 1r 运 动 方 程 为 上 式 可 改 为 其 中 ， 称 为 阻 尼 比 ， 为 固 有 频 率 。22 0y y y km0my cy ky 2 Cmk （ 底 数 为 欧 拉 数 e 的 指 数 函 数 ） 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动2.有 阻 尼 自 由 振 动 由 此 可 得 ， crCC (3) （ 临 界 阻 尼 情 况 ） ： 特 征 方 程 有 两 个 重 实 根 运 动 方 程 通 解 为 式 中 ， 和 是 积 分 常 数 ， 与 初 始 条 件 有 关 。 上 式 同 样 不 含 简 谐 振 动 因 子 ， 是 非 周 期 函 数 ， 说 明 这 时 体 系 不 发 生 振 动 荡 。 这 时 的 阻 尼 系 数 称 为 临 界 阻 尼 系 数 。2 2crC mk m 1 1 2( )ty e C C t 1C 2C (2) （ 大 阻 尼 情 况 ） ： 特 征 方 程 有 两 个 实 根 运 动 方 程 通 解 为 式 中 ， ； 和 是 积 分 常 数 ， 与 初 始 条 件 有 关 。 上 式 不 含 简 谐 振 动 因 子 ， 是 非 周 期 函 数 ， 说 明 这 时 体 系 不 发 生 振 荡 ， 从 工 程角 度 没 有 意 义 。1 1 2( sh ch )t d dy e C t C t 2 1d 1C 2C （ 双 曲 函 数 ） 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动2.有 阻 尼 自 由 振 动 一 般 钢 筋 混 凝 土 结 构 0.05， 钢 结 构 (0.020.03)。 外 部 激 励 起 振 后 ， 体 系 做 有 阻 尼 自 由 振 动 ， 实 验 实 测 位 移 时 程 曲 线 如 下 ：tty Ae dt nTt nTy Ae 所 以 ， ln 2 tt nTy ny 通 常 阻 尼 比 很 小 ， ， 从 而 d ln 2tt nTy ny 两 式 相 除 ， 取 自 然 对 数 ， 有 2ln t dt nT dy nT ny t dnT ty dt nTy 由 此 可 量 测 得 时 刻 和 周 后 的 振 幅分 别 为 和 。 （ 一 般 测 峰 值 位移 ） t nty dt nTy y t t 阻 尼 比 的 实 验 确 定 法 2021-4-20 结 构 力 学 10-4 单 自 由 度 体 系 自 由 振 动3.单 自 由 度 体 系 自 由 振 动 小 结由 于 结 构 阻 尼 很 小 ， 因 此 可 近 似 认 为 阻 尼 频 率 、 周 期 和 无 阻 尼 的 相 等 。21d km 改 变 系 统 质 量 或 刚 度 可 改 变 固 有 频 率 。 不 管 具 体 结 构 如 何 ， 在 同 样 干 扰 下 相 同 频 率 结 构 的 反 应 相 同 。结 构 固 有 频 率 和 阻 尼 频 率 严 格 说 不 相 等 ， 阻 尼 使 减 少 ， 从 而使 周 期 增 长 。 d ddT 2021-4-20 结 构 力 学 10-5 单 自 由 度 体 系 强 迫 振 动1.简 谐 荷 载 作 用 下 无 阻 尼 强 迫 振 动 设 时 ， ， ， 则 0(0)y y 0t 0(0)y y01 2 2( )y PC m 2 0C y 通 解 ， 其 中 和 是 积 分 常 数 ， 由 初始 条 件 决 定 。 2C1C1 2 2 2sin cos sin( )Py C t C t tm 特 解 可 用 待 定 系 数 法 确 定 。 设 ， 代 入 方 程 ， 得 到 关 于 待 定 系 数 的 线 性 方 程 ， 可 求2 2( )PD m D* siny D t y 由 微 分 方 程 理 论 可 知 ， 通 解 。 为 齐 次 方 程 通 解 （ 自 由 振 动 解 ） ， 为 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 。 可 见 关 键 在 如 何 求 得 特 解 。*y *y y y 运 动 方 程 为 或 （ 线 性 非 齐 次 微 分 方 程 ）2 sinPy y tm 11 sinmy k y P t 2021-4-20 结 构 力 学 10-5 单 自 由 度 体 系 强 迫 振 动1.简 谐 荷 载 作 用 下 无 阻 尼 强 迫 振 动 运 动 方 程 解 为 解 答 中 的 第 一 、 二 项 为 初 始 条 件 引 起 的 自 由 振 动 。 第 三 项 为 荷 载 （ 干 扰 力 ） 引 起 的 自 由 振 动 （ 称 作 伴 生 自 由 振 动 ） 。 第 四 项 是 以 干 扰 频 率 进 行 的 等 幅 振 动 ， 称 “ 纯 受 迫 振 动 ” 。 为 荷 载 幅 值 作 用 下 的 静 位 移 ， 称 为 位 移 放 大 系 数 （ 也 称 动 力 系 数 ） 。sty 稳 态 解 可 写 为 ， 其 中 ，2st Py m 211 sinsty t 22 sin1Py tm 前 三 项 的 频 率 都 是 结 构 自 振 频 率 ， 考 虑 阻 尼 后 都 按 指 数 规 律 衰 减 。 因 此 一段 时 间 后 ， 都 将 逐 渐 消 失 。 自 由 振